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2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第10章第57讲 平面与平面垂直


【例1】 如 图 , 在 正 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中,点D,F分别是BC, BB1的中点. (1) 求 证 : 平 面 AC1D⊥ 平 面 BCC1B1; (2) 若 BB1 = BC , 求 证 : 平 面 FAC⊥平面ADC1.

用判定定理证明面 面垂直

【证明】1? 在正三棱柱ABC-A1B1C中,因为D是

? BC的中点,所以AD ? BC. 因为CC1 ? 平面ABC,AD ? 平面ABC, 所以C1C ? AD,所以AD ? 平面BCC1B1. 又AD ? 平面AC1D,所以平面AC1D ? 平面BCC1B1.

? 2 ?因为AD ? 平面B1BCC1,FC ? 平面B1BCC1,
所以AD ? FC.

又因为B1B=BC,所以四边形B1BCC1是正方形. 又F,D分别为B1B,BC的中点,所以FC ? DC1. 而AD ? C1D=D,所以FC ? 平面ADC1. 又FC ? 平面AFC,所以平面FAC ? 平面ADC1.

要证明面面垂直,只需在一 个平面内找一条直线与另一个平 面垂直即可.

【变式练习1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,PD=DC,E 是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. 求证:平面PBC⊥平面DEF.

【证明】因为侧棱PD ? 平面ABCD,且CD ? 平面ABCD,所以PD ? DC, 因为PD=DC,可知? PDC是等腰直角三角形, 而DE是斜边PC的中线,所以DE ? PC, 同样由PD ? 平面ABCD,得PD ? BC, 因为底面ABCD是正方形,有BC ? DC, 所以BC ? 平面PDC,而DE ? 平面PDC, 所以BC ? DE, 又由前面可知DE ? PC,PC ? BC=C, 所以DE ? 平面PBC,而DE ? 平面DEF, 所以平面PBC ? 平面DEF .

面面垂直的性质定 理的应用
【例2】 如下图,已知平面α、β、γ满足α⊥γ,β⊥γ, α∩β=l,求证:l⊥γ.

【证明】方法1:设α∩γ=AB,β∩γ=BC,如图 所示. 在γ内任取一点P,过P作直线m,n分别垂直于 直线AB,BC. 因为α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥α,n⊥β. 又α∩β=l,所以l?α且l?β,所以m⊥l,n⊥l. 而m∩n=P,所以l⊥γ.

方法2:设? ? ? =AB,? ? ? =BC,如图所示. 在?、?内分别作直线a、b,使得a ? AB,b ? BC. 由面面垂直的性质定理得a ? ? ,b ? ? . 所以a / / b,且a ? ?,b ? ? . 由线面平行的判定定理得a / / ? . 又因为a ? ?,? ? ?=l, 故由线面平行的性质定理得a / / l. 综上,有a ? ? ,a / / l,所以l ? ? .

本题题目文字少,但有一定难度.只有真正 对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应 手.面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线, 则垂直于平面”,所以已知面面垂直,首先应找 交线,看是否在某个平面内存在直线垂直于交线, 若无,肯定要向交线作垂线.在不同平面内向交 线作垂线都能解决问题,但难度显然不同,做题 前应认真分析.本题的方法1较简单,但方法2将 平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓 尽致,不失为一个训练的好题.

【变式练习2】 如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平 面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求证:平面 ABD⊥平面ACD.

【证明】因为平面ABC ? 平面BCD,DC ? BC, 且平面ABC ? 平面BCD=BC,DC ? 平面BCD, 所以DC ? 平面ABC. 又AB ? 平面ABC,所以DC ? AB. 因为AB ? AC,AC ? DC=C, 故根据线面垂直的判定定理得AB ? 平面ACD. 而AB ? 平面ABD,所以平面ABD ? 平面ACD.

【例3】 如图所示,在直四棱柱ABCD- A1B1C1D1 中 , DB = BC , DB⊥AC,点M是棱BB1上一点. (1)求证:MD⊥AC; (2)试确定点M的位置,使得平面 DMC1⊥平面CC1D1D.

与垂直有关的探 索性问题

【解析】1? 证明:因为BB1 ? 平面ABCD,AC ? ? 平面ABCD,所以BB1 ? AC. 又因为BD ? AC,且BD ? BB1=B, 所以AC ? 平面BB1 D. 而MD ? 平面BB1 D,所以MD ? AC.

? 2 ?当点M 为棱BB1的中点时,平面DMC1 ? 平面CC1D1D.
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连结NN1交DC1于O, 连结OM 、BN . 因为N 是DC的中点,BD=BC,所以BN ? DC. 又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线, 且平面ABCD ? 平面DCC1D1,所以BN ? 平面DCC1D1. 因为O是NN1的中点,所以BM / /ON 且BM=ON, 所以四边形BMON 是平行四边形,所以BN / / OM . 所以OM ? 平面CC1D1D, 因为OM ? 平面DMC1, 所以平面DMC1 ? 平面CC1D1D.

本题以立体几何中的棱柱为载体,重点考查 立体几何中的垂直关系的探索及推理论证.第(1) 问要证线线垂直,可通过线面垂直即可得证;第(2) 问是开放性探究问题.要使得平面DMC1⊥平面 CC1D1D,关键在于找出其中一个面的一条垂线, 而另一个平面恰过这条垂线,从而问题转化为寻 求平面CC1D1D的垂线.由条件DB=BC,可联想 到取DC的中点N,则BN就是平面CC1D1D的垂线, 再结合平面图形的特点,从而可确定M点的位置.

【变式练习3】 如图,四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是菱形,?BAD= ,若PA 3 =PD,平面PAD ? 平面ABCD.

?

?1? 求证:AD ? PB; ? 2 ? 若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,
使得平面DEF ? 平面ABCD,并证明你的结论.

【解析】1? 证明:取AD的中点O, ? 连结PO,BO,BD, 因为PA=PD,所以PO ? AD, 因为底面ABCD是菱形,?BAD= , 3 所以? ABD是等边三角形,又O是AD的中点, 所以AD ? OB, 又OB ? OP=O,所以AD ? 平面POB, 因为PB ? 平面POB,所以AD ? PB.

?

? 2 ?当F 是棱PC的中点时,平面DEF ? 平面ABCD.
连结OE,OC, 因为在菱形ABCD中,E为BC的中点,O是AD的中点, 所以DO / / CE,DO=CE, 所以四边形DOEC是平行四边形,设DE ? OC=M , 所以M 是OC的中点,连结FM . 又因为F 是棱PC的中点,所以FM / / PO; 因为平面PAD ? 平面ABCD,平面PAD ? 平面ABCD=AD, PO ? AD,所以PO ? 平面ABCD,所以FM ? 平面ABCD, 又因为FM ? 平面DEF,所以平面DEF ? 平面ABCD.

1.若l为一条直线,?、?、? 为三个互不重合   的平面,给出下面三个命题: ①? ? ? ,? ? ? ? ? ? ?; ②? ? ? ,? ? ? ? ? ? ?; ③l ? ?,l ? ? ? ? ? ? .
②③ 其中正确的命题有________________

2.三个平面两两垂直,且它们的三条交线 交于一点O,点P到三个平面的距离分别 是3、4、5,则OP的距离是 _______ 5 2

【解析】OP是以3、、为边长的长方体的体 45 对角线,OP=5 2.

3. 二 面 角 C - BD - A 是 直 二 面 角 , 且 DA⊥平面ABC,则△ABC是_______三 角形.(填“锐角”、“直角”、“钝 角”)

【解析】 ABC是直角三角形.如图, ? 平面CBD ? 平面ABD,平面CBD ? 平面ABD=BD,过点A作AE ? BD, 则AE ? 平面CBD,又因为BC ? 平 面CBD,所以AE ? BC; 因为DA ? 平面ABC,BC ? 平面ABC, 所以AD ? BC; 又因为AD ? AE=A,所以BC ? 平面ABD, 又因为AB ? 平面ABD,所以BC ? AB, 所以? ABC是直角三角形.

4.如图,设P是△ABC所在平面外一点, P到A、B、C的距离相等,∠BAC为直 角.求证:平面PBC⊥平面ABC.

【证明】过P作PH ? 底面ABC, 垂足为H,连结HA. 易知H 是? ABC的外心. 又因为?BAC为直角, 所以? ABC是直角三角形, 所以H 是斜边BC的中点, 即PH ? 平面PBC且PH ? 底面ABC. 由面面垂直的判定定理得平面PCB ? 平面ABC.

5.(2011· 通 一 模 ) 如 图 , 已 知 平 行 四 边 形 南 ABCD,直线 BC⊥平面 ABE,F 为 CE 的中点. (1)求证:直线 AE∥平面 BDF; (2)若∠AEB=90° 求证: , 平面 BDF⊥平面 BCE.

【证明】(1)设 AC∩BD=G,连接 FG.
由四边形 ABCD 为平行四边形, G 是 AC 的中点. 得 又因为 F 是 EC 中点, 所以在△ACE 中,FG∥AE. 因为 AE?平面 BFD,FG?平面 BFD,所以 AE∥平 面 BFD;

π (2)因为∠AEB=2,所以 AE⊥BE. 又因为直线 BC⊥平面 ABE,所以 AE⊥BC. 又 BC∩BE=B,所以直线 AE⊥平面 BCE. 由(1)知,FG∥AE,所以直线 FG⊥平面 BCE. 又直线 FG?平面 DBF,所以平面 DBF⊥平面 BCE.

面面垂直的性质的理解中三个条件也 不可缺少,即: ①两个平面垂直; ②其中一个平面内的直线; ③垂直于交线.所以无论何时见到已知两 个平面垂直,都要首先找其交线,看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线,这样就能目标明确,事半功倍.


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