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16-17版1.3+三角函数的诱导公式


1.3

三角函数的诱导公式

1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二,并由此探究 相关的其他诱导公式.(难点) 2.诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用.(重点) 3.各种诱导公式的特征.(易混点)

[基础· 初探] 教材整理 1 诱导公式二~公式四

阅读教材 P23~P24 例 1

以上内容,完成下列问题. 1.诱导公式二 (1)对应角终边之间对称关系 在平面直角坐标系中, π +α 的终边与角 α 的终边关于原点对称. (2)诱导公式二 sin(π +α)=-sin α ;cos(π +α)=-cos α ;tan(π +α )=tan α . 2.诱导公式三 (1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中,-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称. (2)诱导公式三 sin(-α)=-sin α ;cos(-α)=cos α ;tan(-α)=-tan α .

3.诱导公式四 (1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中,π -α 的终边与角α 的终边关于 y 轴对 称. (2)诱导公式四 公式四:sin(π -α)=sin α ;cos(π -α)=-cos α ; tan(π -α)=-tan α . (3)公式一~四可以概括为: α +k· 2π (k∈Z),-α,π ±α 的三角函数值,等于 α 的同名函 数值,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号.

判断(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角 函数值.( ) ) )

(2)对于诱导公式中的角 α 一定是锐角.( (3)由公式三知 cos[-(α-β)]=-cos(α-β).( (4)在△ABC 中,sin(A+B)=sin C.( )

【解析】 (1)由公式三可知该结论成立. (2)诱导公式中的角 α 是任意角,不一定是锐角. (3)由公式三知 cos[-(α-β)]=cos(α-β), 故 cos[-(α-β)]=-cos(α-β)是不正确的. (4)因为 A+B+C=π,所以 A+B=π-C,

所以 sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 【答案】 (1)√ 教材整理 2 (2)? (3)? (4)√

诱导公式五、六

阅读教材 P26 第七行以下至“例 3”以上内容,完成下列问题. 1.公式五:sin?
? ?π ? ?π ? ?=cos α ,cos? -α?=sin α . - α 2 2 ? ? ? ? ?π ? ?=cos α ,cos? +α?=-sin α . + α 2 2 ? ? ?

2.公式六:sin?
?



3.公式五和公式六可以概括为: π 2 ±α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值, 前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 公式一~六都叫做诱导公式.

?π ? 1 若 cos(π +α)=3,则 sin? +α?=________. ?2 ?

1 【解析】 cos(π+α)=-cos α=3, 1 ∴cos α=-3,
?π ? 1 sin? +α?=cos α=-3. ?2 ?

1 【答案】 -3 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]

给角求值问题 (1)求下列各三角函数值.
? 10π ①sin?- 3 ? ? 29 ?;②cos 6π; ?

? ? 2π ? 4π ? (2)求 sin?2nπ + ??cos?nπ + ?(n∈Z)的值. 3 ? 3 ? ? ?

【精彩点拨】 (1)先化负角为正角, 再将大于 360°的角化为 0° 到 360°内的角,进而利用诱导公式求得结果.(2)分 n 为奇数、偶数 两种情况讨论. 【自主解答】 =-sin
? 10π? ? (1)①sin?- 3 ? ?

? 10π 4π 4π? ?2π+ ?=-sin =- sin 3 3 3 ? ?

? π π? 3 =-sin?π+ ?=sin 3 = 2 . 3? ?

? 5π 5π? 29 ②cos 6 π=cos?4π+ ?=cos 6 6 ? ? ? π π? 3 =cos?π- ?=-cos 6 =- 2 . 6? ?

(2)①当 n 为奇数时,
? ? 2π ? 4 ? π? ? π?? 原式=sin 3 ·?-cos 3π?=sin?π- ?·?-cos?π+ ??=sin 3? ? 3 ?? ? ? ? ?

π π 3 1 3 · cos = ? = 3 3 2 2 4; 2 4 ②当 n 为偶数时,原式=sin 3π·cos 3π
? ? π ? π? π? π? 3 ? 1? =sin?π- ?·cos?π+ ? =sin 3 ·?-cos ?= 2 ??-2? = 3? 3? 3? ? ? ? ? ?

3 -4.

1.已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数 值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角 函数化为正角的三角函数,同时,准确记忆特殊角的三角函数值. 2.凡涉及参数 n 的三角函数求值问题.由于 n 为奇数、偶数时, 三角函数值有所不同,故考虑对 n 进行分类讨论.其次,熟记诱导公 式,熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键. [再练一题] 1.求下列各三角函数值. 17 (1)tan(-855°);(2)sin 6 π ;

2 ? 4 ? ? ? (3)cos?2nπ +3π ??sin?nπ +3π ?(n∈Z). ? ? ? ? 【解】 (1)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2?360°+135°) =-tan 135°=-tan(180°-45°)=tan 45°=1. 5 ? ? 17 5 (2)sin 6 π=sin?2π+6π?=sin 6π ? ? =sin? =cos


π? ? + 3? ?2 π 1 3 =2.

2π ? 4π? ? (3)①当 n 为奇数时,原式=cos 3 ·?-sin 3 ? ?
? ? π? ? π?? =cos?π- ?·?-sin?π+ ?? 3? ? 3 ?? ? ?

=?-cos
?

?

π π? 1 3 3 ?·sin =- ? =- 3 2 2 4. 3?

2π 4π ②当 n 为偶数时,原式=cos 3 ·sin 3
? ? π? π? =cos?π- ?·sin?π+ ? 3? 3? ? ?

=?-cos
?

?

π? ? π? ?·?-sin ? 3? ? 3?

? 1? ? 3 3? =?-2???- ?= 4 . 2? ? ? ?

给值(式)求值问题
?π ? 1 已知 cos(π +α)=-2,求 cos? +α?的值. ?2 ?

【精彩点拨】

由已知求cos α的值 →
?π ? ?的值 2 +α ? ?

讨论α所在 → 的象限

根据诱导公式求cos? 【自主解答】

1 ∵cos(π+α)=-cos α=-2,

1 ∴cos α=2,∴α为第一或第四象限角. ①若 α 为第一象限角, 则 cos?
? ?π ?=-sin α=- 1-cos2α 2 +α ? ?1?2 3 1-?2? =- 2 . ? ? ?

=-

②若 α 为第四象限角, 则 cos?
? ?π ?=-sin α= 1-cos2α + α 2 ? ?



?1?2 3 1-?2? = 2 . ? ?

1.已知一个角的某种三角函数值,求这个角的其他三角函数值, 若给定具体数值,但未指定角 α 的取值范围,就要进行讨论. π π π π π 2.常见的互余关系有: 3 -α 与 6 +α; 3 +α 与 6 -α; 4 +α π 与 4 -α 等. π 2π π 3π 3.常见的互补关系有: 3 +θ 与 3 -θ; 4 +θ 与 4 -θ 等. [再练一题]

7 ? ?5 ? ? 2.(1)已知 sin?6π -α?=a,则 sin?α +6π ?=( ? ? ? ? A.a C.±a B.-a D.不确定 )

)

(2)若 cos 165°=a,则 tan 195°=( A. 1-a
2

1-a2 B.- a 1+a2 D. a
? ?

1-a2 C. a

7 ? ? 5 【解析】 (1)因为6π-α+?α+6π?=2π,
?5 ? 7 所以 α+6π=2π-?6π-α?, ? ?

7 ? ? 所以 sin?α+6π?
? ? ? ?5 ?? =sin?2π-?6π-α?? ? ? ?? ? ?5 ?? =sin?-?6π-α?? ? ? ?? ?5 ? =-sin?6π-α?=-a. ? ?

(2)cos 165° =cos(180°-15°) =-cos 15°=a, 故 cos 15°=-a(a<0), 得 sin 15°= 1-a2, tan 195°=tan(180°+15°)

1-a2 =tan 15°= . -a 【答案】 (1)B (2)B

利用诱导公式证明三角恒等式 tan(2π -α)sin(-2π -α)cos(6π -α) 求证: =- cos(α-π )sin(5π -α) tan α . 【导学号:00680012】 【精彩点拨】 观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手, 利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边. 【自主解答】 原式左边= sin(2π-α) · sin(-α)· cos(-α) cos(2π-α) cos(π-α)sin(π-α) = -sin α·(-sin α)· cos α -sin α = cos α·(-cos α)· sin α cos α

=-tan α=右边. 原式得证.

关于三角恒等式的证明,常用方法: (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪 种方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差 异.

[再练一题] 3.已知 tan(7π +α)=2, 2cos(π -α)-3sin(3π +α) 求证 =2. 4cos(-α)+sin(2π -α)

【证明】 ∵tan(7π+α)=2,∴tan α=2, ∴ 2cos(π-α)-3sin(3π+α) -2cos α+3sin α = = 4cos(-α)+sin(2π-α) 4cos α-sin α

-2+3tan α -2+3?2 = =2. 4-tan α 4-2 [探究共研型]

诱导公式中的分类讨论思想 探究 1 利用诱导公式能否直接写出 sin(kπ +α)的值? 【提示】 不能.因为 k 是奇数还是偶数不确定. 当 k 是奇数时, 即 k=2n+1(n∈Z), sin(kπ+α)=sin(π+α)=- sin α; 当 k 是偶数时,即 k=2n(n∈Z),sin(kπ+α)=sin α.
?k ? 探究 2 如何化简 tan?2π +α?呢? ? ?

【提示】 当 k 为奇数时,即 k=2n+1(n∈Z),

?π ? ? +α? sin ?kπ ? ?π ? cos α 1 ?2 ? tan? +α?=tan? +α?= ? = = ; ? -sin α -tan α π ? 2 ? ?2 ? cos? +α? ?2 ?

当 k 为偶数时,即 k=2n(n∈Z), tan?
?kπ

+α?=tan α. ? 2 ? 1

?

?kπ ? ? 所以 tan? +α?=?-tan ? 2 ?

α

,k为奇数,

?tan α,k为偶数.

设 k 为整数,化简: sin(kπ -α)cos[(k-1)π -α] . sin[(k+1)π +α]cos(kπ +α) 【精彩点拨】 本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常 用的解决方法有两种:①为了便于运用诱导公式,必须把 k 分成偶数 和奇数两种情况讨论;②观察式子结构,kπ-α+kπ+α=2kπ,(k +1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,可使用配角法. 【自主解答】 法一:当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z),则原式 = sin(2mπ-α)cos[(2m-1)π-α] sin(-α)cos(π+α) = sin[(2m+1)π+α]cos(2mπ+α) sin(π+α)cos α

(-sin α)(-cos α) = =-1; -sin αcos α 当 k 为奇数时,设 k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1. 法二:由于 kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α =2kπ, 故 cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α), sin[(k +1)π+α]=-sin(kπ+α),sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).

-sin(kπ+α)[-cos(kπ+α)] 所以原式= =-1. -sin(kπ+α)cos(kπ+α)

由于 k∈Z 的任意性,对于不同的 k 值,可能导致不同的结果, 因而要加以分类讨论,正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析. [再练一题] sin(nπ +α)cos(nπ -α) 4.化简 (n∈Z)的结果为________. cos[(n+1)π -α] 【解析】 (1)当 n=2k(k∈Z)时, sin(2kπ+α)cos(2kπ-α) sin αcos α 原式= = cos[(2k+1)π-α] -cos α =-sin α. (2)当 n=2k+1(k∈Z)时, sin[(2k+1)π+α]cos[(2k+1)π-α] 原式= cos[(2k+2)π-α] = -sin α(-cos α) =sin α. cos α

所以化简所得的结果为(-1)n+1·sin α. 【答案】 (-1)n+1sin α [构建· 体系]

1.下列各式不正确的是( A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β)

)

【解析】 cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β), 故 B 项错误. 【答案】 B 2.(2016· 梅州抽检)sin 600°的值为( 1 A.2 3 C. 2 1 B.-2 3 D.- 2 )

【解析】 sin 600°=sin(720°-120°)=-sin 120° 3 =-sin(180°-60°)=-sin 60°=- 2 .故选 D.

【答案】

D ) B.-cos 50° D.-sin 50°

3.cos 1 030°=( A.cos 50° C.sin 50°

【解析】 cos 1 030°=cos(3?360°-50°) =cos(-50°)=cos 50°. 【答案】 A )

?π ? ?π ? 4.若 sin? +θ?<0,且 cos? -θ?>0,则 θ 是( ?2 ? ?2 ?

A.第一象限角 C.第三角限角

B.第二象限角 D.第四象限角

?π ? 【解析】 由于 sin? +θ?=cos θ<0, ?2 ?

cos?
?



?=sin θ>0,所以角 θ 的终边落在第二象限,故选 B. 2 -θ ?

?

【答案】 B
?11π ? 6 ?+sin(3π -φ)的值. 5.已知 sin φ =11,求 cos? + φ ? 2 ?

【导学号:00680013】 【解】 ∴cos? 6 ∵sin φ=11,

?11π

? ? ? π ?=cos?6π- +φ? + φ 2 ? 2 ? ? ?

? π ? =cos?- +φ? ? 2 ?

=cos?
?



? 6 ?=sin φ= , - φ 11 2 ?

∴cos?

?11π

? 6 ?+sin(3π-φ)= +sin(π-φ) + φ 11 ? 2 ?

6 12 =11+sin φ=11.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)


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