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12.1曲线和方程(1)(2)


两条直线相交,平行,重合

二元一次方程组有一解,无解,有无穷多解
借助于平面直角坐标系用代数得方法研究 平面上图形性质的学科称为平面解析几何

学习目标
理解曲线和方程

新课
Q1、什么是解析几何?
用代数方法研究几何问题的一门学科

Q2、解析几何的工具是什么?
它的工具是坐标系,坐标系体现了数形结合思想

Q3、平面解析几何研究的主要问题是什么?
(1)根据已知条件,求出表示平面坐标系中曲线的方程 (2)通过方程,研究平面曲线的性质。

回顾:直线与方程
若二元方程ax+by+c=0(a,b不全为 l :ax+by+c=0 0)与直线l满足以下两个关系: (1)直线l上的点的坐标都是方程 ax+by+c=0(a,b不全为0)的解; (即:直线l上的点都满足方程 ax+by+c=0(a,b不全为0) ) (2)以方程ax+by+c=0(a,b不全为0)的 解为坐标的点都在直线l上. 那么这个方程ax+by+c=0(a,b不全为0)就叫 做这条直线l的方程; 这条直线l就叫做这个方程ax+by+c=0(a,b不全 为0)的直线.

在描述曲线所满足的某种性质时,我们也可用方程 来表示文字叙述,如:

圆的描述: 设定点为A(a, b),定长为r (r ? 0)
满足条件的任意一点为 P( x, y)

语言叙述:到某一定点的距离等于定值

代数表示:
整理得:

?x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

?r

? x ? a ? ? ? y ? b?
2

2

? r2

(1)

(1)以方程(1)的任意一组解(x,y)为坐标的 点都满足“到定点A的距离为r”

(2)反之,满足“到定点A的距离为r” 的点的坐标都满足方程(1)
1-1对应

圆A上的点

方程(1)的解

曲线与方程

一般地,如果曲线C与方程 F ? x, y ? ? 0之间有以下两 个关系: ①曲线C上的点的坐标都是方程 F ? x, y ? ? 0 的解; ②以方程 F ? x, y ? ? 0的解为坐标的点都是曲线C上 的点. 此时,把方程 F ? x, y ? ? 0 叫做曲线C的方程,曲线C 叫做方程 F ? x, y ? ? 0 的曲线.

曲线的方程与方程的曲线定义
直角坐标系中,如果某曲线C上的点与 一个方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的 关系: 条件: ①曲线C上的点的坐标,都是方程F(x,y)=0 的解; 条件: ②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,都是 曲线C上的点。 结论: 那么,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程,曲 线C叫做方程F(x,y)=0的曲线。

前提:

注:(1)两个条件缺一不可; (2)两个结论同时成立.

用集合的关系来理解:

?x, y? F ?x, y? ? 0? 方程的解集 Q ??
?1?中描述了:P ? Q ?2?中描述了:Q ? P
以上两点均成立,则 P?Q

设曲线为点集 P ? ?x, y??x, y?为曲线上的点的坐标

?

?

简言之:

曲线的方程 1.曲线上的点都是方程的解 2.方程的解都是曲线上的点

练习:
如果曲线C上任意一点的坐标都是方程F(x,y)=0

的解,那么下列命题正确的是(

B



(A)曲线C的方程是F(x,y)=0;

(B)曲线C上的点都在方程F(x,y)=0的曲线上;
(C)方程F(x,y)=0的曲线是C;

(D)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点
都在曲线C上.

运用反例,揭示内涵
下述方程分别表示图1曲线吗? 为什么?


x ? y ?0
Y 1



|x|-|y|=0
Y



x-|y|=0
Y Y 1 1 X O -1 C 1 X

1 1 X O 1 X 1

1 O 1

O

图1

A

B

例 证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆O的方 程是x2 +y2 = 25,并判断点A(3,-4),B(-3,2)是否在 这个圆上.
证明:(1)设M1(x1,y1)是圆O上任意一点.那么点M1到坐标原
点的距离等于5,所以

x1

2

? y1

2

? 5, 得x12 +y12 = 25.
(满足条件1)

即 (x1,y1) 是方程x2 +y2 = 25的解.

(2)设 (x2 ,y2) 是方程x2 +y2 = 25的任意一个解, 那么x22 +y22 = 25,两边开方,得

x 2 ? y2 ? 5,

2

2

即点M2 (x2,y2)到坐标原点的距离等于5,点M 2(x2,y2)是这个圆上的一点. (满足条件2)

根据曲线方程的定义,由(1)、(2)可知, x2 +y2 = 25是以坐标原点为圆心,半径等于5的 圆的方程.

归纳:
(一) 证明已知曲线的方程的方法和步骤

第一步,设M1 (x1,y1)是曲线C上任一点, 证明(x1,y1)是f(x,y)=0的解;
第二步,设(x2,y2)是F(x,y)=0的任意一 个解,证明点M2 (x2,y2)在曲线C上. (二)要判断点是否在曲线上,只要看其坐 标是否满足曲线的方程即可。 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲 线C上的充要条件是f(x0,y0)=0

例2 求证:到两坐标轴距离相等的点的轨 迹C的方程不是x-y=0.
证明:设点 M( , 1) , 0 ?1
?点M0到两坐标轴的距离相等 ?点M( , 1)是轨迹 C上的点 0 ?1

但 ? 1 ? 1 ? 0,即(? 1, 1)不是方程 x ? y ? 0的解
(不满足条件1)

所以,由曲线方程的定 义可知,轨迹 C的 方程不是 x? y ?0

学习目标
掌握求曲线方程的一般步骤

回顾

曲线的方程 1.曲线上的点都是方程的解 2.方程的解都是曲线上的点

求曲线方程的一般步骤:
①建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步 骤省略) )---建系 ②设曲线上任意一点的坐标为(x,y)---设点; ③根据曲线上点所适合的条件,写出等式--列式 ④用坐标x、y表示这个等式(方程),并化简--化简; ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点---证明.(在本教材中,这一步不 作要求)

例题

例 1. 已知两定点 P 1 (?1,0)和P 2 (3,0),求到点 P 的点的轨迹 . 1和P 2的距离的平方和是 16
直接法:直接通过建立x,y之间的关系, 化简得F(x,y)=0.

例题
例2.动点M 与距离为4的两个定点A, B满足MA ? MB ? 5, 建立适当的坐标系,并求动点M的轨迹方程。

建系方法: (1)定点、定线段选在坐标轴上; (2)原点有时选在定点; (3)充分利用对称性,坐标轴可选为对称轴。

例题
例3.在?ABC中, A (-2,0),B(2,0), BC边的中线长 AD=3, 求顶点C的轨迹方程.
考虑实际情况,具体确定x或y的范围.

例题
例4、已知定点A(4,0)和曲线x ? y ? 1上的动点B,
2 2

求线段AB的中点P的轨迹方程。
代入法:设所求曲线的点,且得到已知曲线上 相关点的坐标,将相关点代入已知曲线方程.

探究:
1.求曲线y=x2关于y =x的对称图形的方程 y2=x 2.求曲线y=x3?x关于点(1,2)的对称曲线的方程 4 ?y=(2?x)3? (2?x)

求对称曲线的方程:设所求方程上的任意一点, 利用对称性转化到已知曲线上。

小结:
1.求曲线的方程的一般步骤(需要建系) 2.求曲线的方程的一般方法:直接法和代入法

3.注意求曲线的方程时,有时需要考虑范围

作业


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