当前位置:首页 >> 数学 >>

模块8-1《解析几何1》


PANGJUN

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【归纳·知识整合】 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①一个前提:直线 l 与 x 轴相交; 一个基准:取 x 轴作为基准; 两个方向:x 轴正方向与直线 l 向上方向. ②当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为 0° . ③倾斜角的取值范围为[0,π).

(2)直线的斜率 ①定义:若直线的倾斜角 θ 不是 90° ,则斜率 k=tan_α. y2-y1 ②计算公式:若由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于 x 轴,则 k= . x2-x1 2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

3.直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 条件 斜率 k 与点(x0,y0) 斜率 k 与截距 b 两点 两点式 (x1,y1), (x2,y2) 截距式 截距 a 与 b 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1=x2) 和直线 y=y1(y1=y2) 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面直角坐标系内的直线 都适用

一般式

[探究]

1.直线的倾角 θ 越大,斜率 k 就越大,这种说法正确吗?

1 / 24

PANGJUN

π? ? π? 提示:这种说法不正确.由 k=tan θ? ?θ≠2?知,当 θ∈?0,2?时,θ 越大,斜率越大且 π ? 为正;当 θ∈? ?2,π?时,θ 越大,斜率也越大且为负.但综合起来说是错误的. [探究] 2.两条直线 l1,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话正确吗?

提示:不正确,当一条直线与 x 轴平行,另一条与 y 轴平行时,两直线垂直,但一条直 线斜率不存在. [探究] 3.过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示?

提示:当 x1=x2,或 y1=y2 时,由两点式方程知分母此时为零,所以不能用两点式方程 表示. 【自测· 牛刀小试】 1.(教材习题改编)若直线 x=2 的倾斜角为 α,则 α( A.等于 0 π C.等于 2 π B.等于 4 D.不存在 )

2.(教材习题改编)过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 C.1 或 3 B.4 D.1 或 4

)

3.过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( A.x-y-3=0 C.x+y+3=0

) B.x+y-3=0 D.x-y+3=0

4.直线 l 的倾斜角为 30° ,若直线 l1∥l,则直线 l1 的斜率 k1=________;若直线 l2⊥l, 则直线 l2 的斜率 k2=__________.

5.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x 等于________.

考点一

直线的倾斜角和斜率
2 / 24

PANGJUN

【例 1】 A.[0,π) π 0, ? C.? ? 4?

(1)直线 xsin α+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( π 3π 0, ?∪? ,π? B.? ? 4? ? 4 ? π π 0, ?∪? ,π? D.? ? 4? ?2 ?

)

(2)已知两点 A(m,n),B(n,m)(m≠n),则直线 AB 的倾斜角为________;

(3)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围为________.

若将 P(1,0)改为 P(-1,0),其他条件不变,求直线 l 的斜率的取值范围.

—————

—————————————— 斜率的求法

(1)定义法:若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值,一般根据 k=tan α 求斜率; y2-y1 (2)公式法: 若已知直线上两点 A(x1, y1), B(x2, y2), 一般根据斜率公式 k= (x ≠x ) x2-x1 1 2 求斜率.

1.直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 D.- 3 3

)

C.- 3

2.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 ) 1 B.- 3
3 / 24

PANGJUN

3 C.- 2

2 D. 3

考点二 【例 2】

直线的平行与垂直的判断及应用 若直线 ax+2y-6=0 与 x+(a-1)y+a2-1=0 平行,则 a=________.

—————

——————————————

用一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1 与 l2 垂直 的充要条件 l1 与 l2 平行 的充分条件 l1 与 l2 相交 的充分条件 l1 与 l2 重合 的充分条件
2 l1:A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2 l2:A2x+B2y+C2=0(A2 2+B2≠0)

A1A2+B1B2=0 A1 B1 C 1 = ≠ (A B C ≠0) A2 B2 C 2 2 2 2 A1 B1 ≠ (A B ≠0) A2 B2 2 2 A1 B1 C 1 = = (A B C ≠0) A2 B2 C 2 2 2 2

3. 已知 l1 的倾斜角为 45° , l2 经过点 P(-2, -1), Q(3, m), 若 l1⊥l2, 则实数 m=________.

4. 已知过点 A(-2, m), B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行, 则 m 的值为________.

考点三

直 线 方 程

【例 3】 (1)在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴 上,则直线 AB 的方程为( A.y-1=3(x-3) ) B.y-1=-3(x-3)
4 / 24

PANGJUN

C.y-3=3(x-1)

D.y-3=-3(x-1)

(2)直线 l 经过点 P(3,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点.△OAB 的面积为 12,则直线 l 的方程是________________________________________________.

—————

—————————————— 求直线方程的常用方法

(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中系数,写出直 线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的 方程(组)求系数,最后代入求出直线方程.

5.△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

1 个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 (1)任何的直线都存在倾斜角,但并不是任意的直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系:
5 / 24

PANGJUN

α k

0° 0

0° <α<90° k>0

90° 不存在

90° <α<180° k<0

3 个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点 (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线;两点式方程不能表示垂直于 x、y 轴的 直线; 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. 在应用时要结合题意选择合适的 形式,在无特殊要求下一般化为一般式. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中, 要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率存 在与否加以讨论.

易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点

【典例】

(2013· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为

_______________________________.

【变式训练】 已知直线 l 过(2,1),(m,3)两点,则直线 l 的方程为________________.

第二节 直线的交点坐标与距离公式

6 / 24

PANGJUN

【归纳·知识整合】 1.两条直线的交点 设两条直线的方程为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐 标就是方程组
?A1x+B1y+C1=0, ? ? 的解, ? ?A2x+B2y+C2=0

(1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标; (2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立. 2.距离 点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)之间的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2= 0 间的距离 |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2

|Ax0+By0+C| d= A2+B2 d= |C1-C2| A2+B2

[探究]

1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系?

提示:当两条直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两条直线平行,有无数个 交点时,两条直线重合. [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么? 提示: 使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式. 使用两条平行线间距离 公式时,要将两直线方程化为一般式且 x、y 的系数对应相等.

【自测· 牛刀小试】 1.(教材习题改编)原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( A.1 C.2 B. 3 D. 5 )

2. 点 A 在 x 轴上, 点 B 在 y 轴上, 线段 AB 的中点 M 的坐标是(3,4), 则 AB 的长为( A.10 C.8 B.5 D.6

)

7 / 24

PANGJUN

3.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+by=0 相交于一点,则 b=( A.-1 C.2 1 B.- 2 1 D. 2

)

4. 已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2,则直线 l1 的方程为 ________.

5.点(2,3)关于直线 x+y+1=0 的对称点是________.

考点一 【例 1】

两条直线的交点问题 (1)经过直线 l1:x+y+1=0 与直线 l2:x-y+3=0 的交点 P,且与直线 l3:

2x-y+2=0 垂直的直线 l 的方程是________________.

(2)已知两直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0,若 l1 与 l2 相交,则实数 m,n 满足的条件是__________.

若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”,试求 l 的方程.

—————

—————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法

经过两相交直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程中不包括直线 A2x+B2y+C2=0)或 m(A1x+B1y+ C1)+n(A2x+B2y+C2)=0.
8 / 24

PANGJUN

1.设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.

考点二 【例 2】已知点 P(2,-1).

距离公式的应用

(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由.

—————

—————————————— 求两条平行线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离. (2)利用两平行线间的距离公式.
9 / 24

PANGJUN

2.已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点 P,使|PA| =|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2.

考点三

对 称 问 题

【例 3】已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程.

—————

—————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法

(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直; (2)已知点与对称点的中点在对称轴上. 利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题.
10 / 24

PANGJUN

3.直线 y=2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若点 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的坐标.

1 条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 1 种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于点的对称,直线 关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决. 2 个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜 率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑; (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 别相等. |C1-C2| 的前提是将两方程中的 x, y 的系数化为分 A2+B2

创新交汇——新定义下的直线方程问题

【典例】(2013· 上海模拟)在平面直角坐标系中,设点 P(x,y),定义[OP]=|x|+|y|,其中 O 为坐标原点.
11 / 24

PANGJUN

对于以下结论: ①符合[OP]=1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设 P 为直线 5x+2y-2=0 上任意一点,则[OP]的最小值为 1; 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号).

【变式训练】 1 ? 四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0), A(6,2), B(4,6), C(2,6), 直线 y=kx? ?3<k<3? 把四边形 OABC 分成两部分,S 表示靠近 x 轴一侧那部分的面积. (1)求 S=f(k)的函数表达式; (2)当 k 为何值时,直线 y=kx 将四边形 OABC 分为面积相等的两部分.

第三节 圆的方程

【归纳·知识整合】
12 / 24

PANGJUN

1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. (2)确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件:圆心(a,b),半径 r; ②标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程 ①一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0; ②方程表示圆的充要条件为:D2+E2-4F>0; D E D2+E2-4F - ,- ?,半径 r= ③圆心坐标? . 2? ? 2 2 3.点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三个结论 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) ①(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点在圆上; ②(x0-a)2+(y0-b)2>r2?点在圆外; ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2?点在圆内. [探究] 1. 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定表示圆吗?

提示:不一定.只有当 D2+E2-4F>0 时,上述方程才表示圆. [探究] 2.如何实现圆的一般方程与标准方程的互化?

提示:一般方程与标准方程互化,可用下图表示: 圆的标准方程
展开 配方

圆的一般方程

【自测· 牛刀小试】 1.(教材习题改编)圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3) B.(-2,3) D.(2,-3) )

13 / 24

PANGJUN

2.已知方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围是( A.-1<k<4 C.k<-4 或 k>1 B.-4<k<1 D.k<-1 或 k>4

)

3.若点(2a,a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( A.-1<a<1 1 C.-1<a< 5 B.0<a<1 1 D.- <a<1 5

)

4.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( A.(x+1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8

)

B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=8

5.(教材习题改编)经过圆(x-1)2+(y+1)2=2 的圆心,且与直线 2x+y=0 垂直的直线 方程是______________.

考点一

求圆的方程

【例 1】(1)经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 ______________.

(2)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为________________.

—————

—————————————— 求圆的方程的两种方法

求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程,一般来说,求圆的方程有两种方法: ①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量. ②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解. 若条件中圆心坐标明确时,常设为圆的标准方程,不明确时,常设为一般方程.
14 / 24

PANGJUN

1.求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

考点二

与圆有关的最值问题

【例 2】已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最大值和最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值.

本例条件不变,求点 P(x,y)到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值.

—————

—————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法

(1)形如 u= 问题;

y-b 型的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值 x-a

?2?形如 t=ax+by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; ?3?形如?x-a?2+?y-b?2 型的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.
15 / 24

PANGJUN

1 2.由方程 x2+y2+x+(m-1)y+ m2=0 所确定的圆中,最大面积是多少? 2

考点三

与圆有关的轨迹问题

【例 3】已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程.

—————

—————————————— 求轨迹方程的一般步骤

(1)建系设点:建立平面直角坐标系,设动点坐标为(x,y); (2)列式:列出几何等式; (3)坐标化:用坐标表示得到方程; (4)化简:化简几何等式得到的方程; (5)证明作答:除去不合题意的点,作答.
16 / 24

PANGJUN

3.如图,已知点 A(-1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x2+y2=1 上的动点,连接 BC 并延长至 D,使得|CD|=|BC|,求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程.

1 种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关 于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值. 3 个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时, 借助于圆的几何性质, 往往会使得思路简洁明了, 简化思路, 简便运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.

创新交汇——与圆有关的交汇问题

【典例】

? ? m 2 2 2 ? (2011· 江苏高考)设集合 A=??x,y?? ? 2 ≤?x-2? +y ≤m ,x,y∈R ,B= ? ?

{(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________.

17 / 24

PANGJUN

【变式训练】 1.若直线 l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆 C:x2+y2+8x+2y+1=0,则 ab 的 最大值为( A.4 C.1 ) B.2 1 D. 4

2x-y+2≥0, ? ? 2. 如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0 的最小值为________.

上, 点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上, 那么|PQ|

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

【归纳·知识整合】 1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设 d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方
18 / 24

PANGJUN

程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 方法 位置关系 相交 相切 相离 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ =0 Δ<0

2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0). 方法 位置关系 相离 相外切 相交 相内切 内含 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法:两圆方程联立组成方程组的 解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

[探究] 1. 在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么? 提示:应首先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条; 若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,则切线不存在. [探究] 2. 若两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系? 提示:两圆的方程作差,消去二次项得到关于 x,y 的二元一次方程,就是公共弦所在 的直线方程.

【自测· 牛刀小试】 1.直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关系是( A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 )

2.(2012· 山东高考)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 B.相交

)

19 / 24

PANGJUN

C.外切

D.相离

3. 已知 p: “a= 2”, q: “直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切”, 则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

4.已知圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2-6x+6y+14=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 ( ) A.x-2y+1=0 C.x-y+3=0 B.2x-y-1=0 D.x-y-3=0

5.(2012· 重庆高考)设 A,B 为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 的两个交点,则|AB|=( A.1 C. 3 B. 2 D.2

)

考点一

直线与圆、圆与圆的位置关系

【例 1】 (1)(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

(2)(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直 线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的 最大值是________.

—————

——————————————
20 / 24

PANGJUN

判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法 (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何 法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几何法,尽 量不用代数法. (2)判断两圆的位置关系,可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解. 1.直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y-3=0 的位置关系是________.

2.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( A.抛物线 C.椭圆 B.双曲线 D.圆

)

考点二

有关圆的弦长问题

【例 2】(1)(2012· 北京高考)直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得的弦长为________.

(2)(2013· 济南模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被 圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________.

—————

—————————————— 求圆的弦长的常用方法

l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d ; ?2?代数方法:运用韦达定理及弦长公式:|AB|= 1+k 2 · |x1-x2|=

(1+k 2 )[( x1+x2 ) 2-4x1 x2 ] .
3.若直线 x-y=2 被圆(x-a)2+y2=4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为(

)
21 / 24

PANGJUN

A.-1 或 3 C.-2 或 6

B.1 或 3 D.0 或 4

4.已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0 与 圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________.

考点三
2 2

圆的切线问题

【例 3】已知圆 C:x +y +2x-4y+3=0. (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P( x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求点 P 的轨迹方程.

若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉,求直线 l 的方程.

—————

—————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法

(1)若该点在圆上,由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率,进而写出切线方程; 若切线的斜率不存在,则可直接写出切线方程 x=x0. (2)若该点在圆外,则过该点的切线将有两条.若用设斜率的方法求解时只求出一条, 则还有一条过该点且斜率不存在的切线.

5.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程;
22 / 24

PANGJUN

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值.

2 种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法 直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合. (1)从思路来看, 代数法侧重于“数”, 更多倾向于“坐标”与“方程”; 而“几何法” 则侧重于“形”,利用了图形的性质. (2)从适用类型来看,代数法可以求出具体的交点坐标,而几何法更适合定性比较和较 为简单的运算. 3 个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时,要考虑过切点的半径与切线垂直; (2)当直线与圆相交时,半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的 作用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用; (3)判断直线与圆相切,特别是过圆外一点求圆的切线时,应有两条.在解题中,若只 求得一条,则说明另一条的斜率不存在,这一点经常忽视,应注意检验、防止出错.

创新交汇——直线与圆的综合应用问题 (2011· 新课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标

【典例】

轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

23 / 24

PANGJUN

【变式训练】 1.已知直线 2ax+by=1(其中 a,b 是实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,O 是坐 标原点,且△AOB 是直角三角形,则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为( A. 2+1 C. 2 B.2 D. 2-1 )

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c =0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________.

24 / 24


相关文章:
模块8-1《解析几何1》
模块8-1《解析几何1》_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 模块8-1《解析几何1》_数学_高中教育_教育专区。PANGJUN 第一节 直线的...
解析几何8-1
解析几何1.8.2 暂无评价 51页 免费 高考数学复习8-解析几何1 64页 1财富值 ...第8 模块1节 [知能演练] 、选择题 1.已知直线 l 过点(a,1),(a...
8.解析几何(1)
【3 年高考 2 年模拟】 第八章 解析几何部分 三年高考荟萃 2012 年高考数学(1) 直线方程与圆的方程、选择题 错误!未指定书签。 .(2012 陕西理)已知...
高三文科数学一轮复习解析几何8-1
高三文科数学轮复习解析几何8-1 砀山铁路中学曹金停砀山铁路中学曹金停隐藏>> 命题要点:?1?直线的斜率与倾斜角?′11 年 1 考,′10 年 1 考?;?2?直线...
必修模块水平测试立体几何与解析几何1
必修模块水平测试立体几何与解析几何1 隐藏>> 必修模块水平测试 1 、选择题 ...2 8. 直线 (B). 2 ? 2 (C). 2 ? 1 (D). 1+ 2 ? 3 ? 2 x...
解析几何1
解析几何练习 1.过双曲线 C: (a>0,b>0)的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的条渐近线相交 于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点...
高三文数解析几何模块全面复习(1)
高三文数解析几何模块全面复习(1)_数学_高中教育_教育专区。高三文数解析几何模块...知识点 8):已知直线上两点 P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )...
2012届高三数学一轮复习_第八章《平面解析几何》8-1精品练习
2012届高三数学轮复习_第八章《平面解析几何》8-1精品练习 隐藏>> 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m=-2”是“直线(m+1)x+y-2=0 与...
2014届高三必过关题8 解析几何(1)
高三必过关题 8——解析几何昆山震川高级中学 、填空题考点:直线方程及直线与直线的位置关系 例 1.过点 P(1,2)的直线 l 与两点 A(2,3),B(4,-5)...
解析几何(1-
解析几何1 6页 免费 解析几何3-1 48页 免费 解析几何8-1 48页 免费 解析几何(1) 2页 1财富值 解析几何初步(1) 7页 2财富值 解析几何综合复习(1) 8页...
更多相关标签:
解析几何 | 解析几何第四版答案 | 空间解析几何 | 解析几何解题技巧 | 平面解析几何 | 高中解析几何秒杀公式 | 解析几何 pdf | 解析几何 丘维声 |