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第十五章 创新题目


2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学 新型题目汇编 一、选择题(共 9 题) 1.(北京卷)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时段,单位时间进出路口 A, B, C 的机动车辆 数如图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通 过路段 、 、 的机动车辆数(假设:单位时间

内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数

相 等),则 (A) x1 ? x2 ? x3 (B) x1 ? x3 ? x2 (C) x2 ? x3 ? x1 (D) x3 ? x2 ? x1

解:依题意,有 x1=50+x3-55=x3-5,?x1?x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10?x1?x2, 同理,x3=30+x2-35=x2-5?x3?x2 故选 C 2. (福建卷)对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 ,y 2 ),定义它们之间的 一种“距离”:‖AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖ +‖CB‖ =‖AB‖ ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 2

解析:对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“距离”:

| AB | ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 . ①若点 C 在线段 AB 上,设 C 点坐标为(x0,y0),
x0 在 x1 、 x2 之 间 , y0 在 y1 、 y2 之 间 , 则

AC ? CB ?| x0 ? x1 | ? | y0 ? y1 | ? | x2 ? x0 | ? | y2 ? y0 | = x2 ? x1 ? y2 ? y1 ? | AB | .
③在 ?ABC 中,

AC ? CB ?| x0 ? x1 | ? | y0 ? y1 | ? | x2 ? x0 | ? | y2 ? y0 | > | ( x0 ? x1 ) ? ( x2 ? x0 ) | ? | ( y0 ? y1 ) ? ( y2 ? y0 ) |
o = x2 ? x1 ? y2 ? y1 ? | AB | . ∴命题① ③成立,而命题②在 ?ABC 中,若 ?C ? 90 , 则

261

AC

2

? CB

2

? AB ; 明显不成立,选 B.

2

3 .(广东卷)对于任意的两个实数对 (a, b) 和 (c, d ) ,规定: (a, b) ? (c, d ) ,当且仅当

a ? c, b ? d ; 运 算 “ ? ” 为 : (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd , bc ? ad ) ; 运 算 “ ? ” 为 :
(a, b) ? (c, d ) ? (a ? c, b ? d ) ,设 p, q ? R ,若 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) ,则 (1,2) ? ( p, q) ?
A. (4,0) B. (2,0) C. (0, 2) D. (0, ?4)

解析:由 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) 得 ?

? p ? 2q ? 5 ?p ?1 ?? , ?2 p ? q ? 0 ?q ? ?2

所以 (1,2) ? ( p, q) ? (1,2) ? (1,?2) ? (2,0) ,故选 B. + 是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 a, b ? A 有 a ○ + b ?A, 4.(辽宁卷)设○ + 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭 则称 A 对运算○ 的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集

解析: A 中 1-2=-1 不是自然数,即自然数集不满足条件;B 中 1 ? 2=0.5 不是整数, 即整数集不满足条件;C 中有理数集满足条件;D 中 2 ? 2 ? 2 不是无理数,即无理数集 不满足条件,故选择答案 C。 【点评】本题考查了阅读和理解能力,同时考查了做选择题的一般技巧排除法。 5.(山东卷)定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B},设集合 A={0,1}, B={2,3},则集合 A⊙B 的所有元素之和为 (A)0 (B)6 (C)12 (D)18

解:当 x=0 时,z=0,当 x=1,y=2 时,z=6,当 x=1,y=3 时,z=12,故所有元素之 和为 18,选 D 6.(陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明 文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密 文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7

解析:当接收方收到密文 14,9,23,28 时,

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? a ? 2b ? 14 ?a ? 6 ? 2b ? c ? 9 ?b ? 4 ? ? 则? ,解得 ? ,解密得到的明文为 C. ? 2c ? 3d ? 23 ? c ?1 ? ? ? 4d ? 28 ?d ? 7
7.(上海卷)如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、q 分 别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p ,q )是点 M 的“距离坐标”.已 知常数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且 仅有 1 个;

l1
M ( p ,q ) O

l2 ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为( p , q )
的点有且仅有 2 个; ③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有 且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 解:选(D) ① 正确,此点为点 O ; (



② 正确,注意到 p,q 为常数,由 p,q 中必有

一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有 2 个点,这两点在其中一条直线上,且到另一直 线的距离为 q (或 p ); ③ 正确,四个交点为与直线 l1 相距为 p 的两条平行线和与直线

l 2 相距为 q 的两条平行线的交点;
8. (上海卷)如果一条直线与一个平面垂直, 那么, 称此直线与平面构成一个 “正交线面对” 。 在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个 数是 (A)48 (B) 18 (C) 24 (D)36

解析:若空间中有两条直线,若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若 “这两条直线没有公共点”,则 “这两条直线可能平行,可能为异面直线”;∴ “这两条直线 为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,选 A. 二、填空题(共 2 题) 9. (上海卷)如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p, q 分

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别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标”,根据上 述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________. 解析:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对”; 而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正 交线面对”,所以共有 36 个“正交线面对”; 10.(四川卷)非空集合 G 关于运算 ? 满足:(1)对任意 a 、 b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 c ? G ,使得对一切 a ? G ,都有 a ? c ? c ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融 洽集”。现给出下列集合和运算: ① G ? {非负整数}, ? 为整数的加法。 ② G ? {偶数}, ? 为整数的乘法。 ③ G ? {平面向量}, ? 为平面向量的加法。 ④ G ? {二次三项式}, ? 为多项式的加法。 ⑤ G ? {虚数}, ? 为复数的乘法。 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号)

解析:非空集合 G 关于运算 ? 满足:(1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G ,使得对一切 a ? G ,都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融 洽集”;现给出下列集合和运算: ① G ? ?非负整数? , ?为整数的加法 ,满足任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ,且令 e ? 0 , 有 a ? 0 ? 0 ? a ? a ,所以①符合要求; ② G ? ?偶数? , ?为整数的乘法 ,若存在 a ? e ? a ? e ? a ,则 e ? 1 ,矛盾,∴ ②不符合 要求; ③ G ? ?平面向量? , ?为平面向量的加法 ,取 e ? 0 ,满足要求,∴ ③符合要求; ④ G ? ?二次三项式? , ?为多项式的加法 ,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三 项式,所以④不符合要求; ⑤ G ? ?虚数? , ?为复数的乘法 ,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求, 这样 G 关于运算 ? 为“融洽集”的有①③。

?

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