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2014年上海各区一模分类汇编3-三角比与三角函数


第三部分 三角比与三角函数
一、 三角比

1.

【2014 年金山区一模文理第 2 题】若 α ∈ (

3π 4 ,2 π ) , t an α = - ,则 sin α = 2 3

【答案: 2.

】 , , 则 的

【2014 年静安区

一模理科第 2 题】 已知 值是

【答案: 3.

7 】 17

【2014 年松江区一模文第 3 题】已知 sin(? ? ▲ .

?

1 ? ) ? , ? ? (? , 0) ,则 tan ? ? 2 3 2

【答案: ?2 2 】 4. 【2014 年浦东新区区一模文理第 4 题】已知 tan ?、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两 根,则 tan(? ? ? ) =_______. 【答案:1】 5. 【2014 年青浦区一模文理第 5 题】

已知 cos(

π 5π 1 π π ? ? ) ? ,且 ? π ? ? ? ? ,则 cos( ? ? ) ? cos(??)? 12 12 3 2 12



【答案: ?

2 2 】 3
4 ,则 5

6.

?? 【 2014 年 嘉 定 区 一 模 文 理 第 6 题 】 已 知 ? 为 第 二 象 限 角 , s i n

?? ? t an ?? ? ? ? ____________. 4? ?
【答案: ?

1 】 7

7. 【2014 年宝山区一模文理第 15 题】设 为任意实数,则下列各式正确的 是?????????????( ) (A) (B)
1

(C)
【答案: A】

(D)

8. 【2014 年崇明区一模文理第 8 题】若 tan ?

?? ? 1 ? cos ? ? ?? ? ? , 则 sin ?4 ? 2

【答案:



9. 【2014 年静安区一模理科第 11 题】 已知

, 且

, 则

的值用 表示为 【答案: 2 a 】

.

10. 【2014 年静安区一模文科第 20 题】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满 分 6 分,第二小题满分 8 分; 求证: (1)

sin (? ? ? ) ? tan? ? tan ? cos? cos ?

(2)

1 1 1 1 cos10 ? ? ? ? ? ? cos00 cos10 cos10 cos 20 cos 20 cos30 cos880 cos890 sin 2 10

【答案:(文)证明:(1)

?????? 3 分

????????? 6 分

(2)由(1)得



)????????8 分

可得

???10 分

2

????????? 12 分



.

????????? 14 分】 11. 【 2014 年 虹 口 区 一 模 文 理 第 20 题 】( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知

A(cos? , sin ? ) . B(cos ? , sin ? ) ,其中 ? 、 ? 为锐角,且 AB ?
(1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 tan

10 . 5

?
2

?

1 ,求 cos? 及 cos ? 的值. 2

【答案: (1)由 AB ?

10 10 2 2 ,得 (cos? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? , 5 5

2 4 ,得 cos( ? ? ? ) ? .????4 分 5 5 ? 1 1 ? tan2 1? ? 1 2 ? 4 ? 3 .?????6 分 (2)? tan ? ,? cos? ? ? 1 5 2 2 1 ? tan2 1? 2 4 4 3 ? sin ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ????10 分 5 5 3 sin(? ? ? ) ? 当 时 5 24 cos ? ? cos[ ? ? (? ? ? )] ? cos ? ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? . 25 3 sin(? ? ? ) ? ? 当 时 5
得 2 ? 2(cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ) ?





cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? c ? ? c

? ? ? ) ? s o? ? s o ? ? ? ) ? 0 . i s

i s

n

n (

? ? 为锐角,? cos ? ?

24 ????????????14 分】 25

二、

反三角函数与最简三角方程

3

1. 【 2014 年 杨 浦 区 一 模 文理 第 2 题 】 若 直 线 y ? 3x ? 1 ? 0 的 倾 斜 角 是 ? , 则 ? ? ________(结果用反三角函数值表示). 【答案: arctan 3 】 2. 【2014 年徐汇区一模理第 4 题】已知 sin x ? 果用反三角函数表示) 【答案: ? ? arcsin 3.

3 ?? ? , x ? ? , ? ? ,则 x= 5 ?2 ?

.(结

3 】 5

【2014 年闸北区一模文理第 5 题】5.已知直线 l 的一个法向量 n ? ?a, b?,其中 ab ? 0 , 则 l 的倾斜角为 .

【答案: ? ? arctan ??

? a? ?】 ? b?
,则当 时,

4. 【2014 年静安区一模理科第 8 题】已知方程 用列举法表示方程的解的集合是 .

【答案: 5.



【2014 年松江区一模文第 18 题】下列四个命题,其中正确的是

①已知向量 ? 和 ? ,则“ ? ? ? ? 0 ” 的充要条件是“ ? ? 0 或 ? ? 0 ” ; ②已知数列 {an } 和 {bn } ,则“ lim an bn ? 0 ”的充要条件是“ lim an =0 或 lim bn ? 0 ” ;
n ?? n ?? n ??

③已知 z1 , z2 ? C ,则“ z1 ? z2 ? 0 ” 的充要条件是“ z1 ? 0 或 z2 ? 0 ” ; ④已知 ? , ? ? R ,则“ sin ? ? cos ? ? 0 ” 的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) 或

??

?
2

? k? ( k ? Z ) ” .
B.②③ C.①④ D.③④

A.①② 【答案:D】

三、三角函数

1.

? ? ? 【2014 年闸北区一模文理第 1 题】设 ? ? 2014 ? 360 ? k , ? ? 2014 ,若 ? 是与 ?

终边相同的最小正角,则 k ? ______.
4

【答案:5】 2. 【2014 年徐汇区一模文理第 2 题】函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 .

【答案: 3.

【2014 年闸北区一模文理第 3 题】 设 a ? ?3,?1? , 则函数 f ( x) ? a ? b b ? ?cos x, sin x?, 的最小正周期为_______. 【答案: 2? 】

? 】 2

4.

【2014 年虹口区一模文理第 3 题】如果 ? ? sin x ? cos x 对一切 x ? R 都成立,则实

数 ? 的取值范围是
【答案: ( 2 ,



? ?) 】

5. 【2014 年宝山区一模文理第 3 题】函数
【答案: 6. 】

的最小正周期是



【2014 年奉贤区一模文第 5 题】函数 y ? A sin ??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0) 图像上一个最高 点为 P? ,1? , 相邻的一个最低点为 Q? ,?1? ,则 ? ?

?1 ? ?2 ?

?1 ?4

? ?

【答案: 4? 】 7. 【2014 年奉贤区一模理第 5 题】函数 y ? A sin ??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0) 图像上一个最高 点为 P? ,1? , 相邻的一个最低点为 Q? ,?1? ,则 ? ? 【答案: 4? 】 8. 【2014 年松江区一模文第 5 题】 函数 f ( x) ?

?1 ? ?2 ?

?1 ?4

? ?

2sin x 3 的最小正周期为 cos 2 x cos x





【答案: ? 】 9. 【2014 年闵行区区一模文理第 5 题】

函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期 T 为 【答案 ? 】 10. 【2014 年长宁区一模文理第 7 题】设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[- 递增 ,则ω 的取值范围是________. 【答案: (0, ] 】

? ?

, ]上单调 3 4

3 2

5

11. 【2014 年徐汇区一模理第 16 题】为了得到函数 y ? 2sin ?

?x ?? ? ? , x ? R 的图像,只需 ?3 6?


把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所有的点------------------------------( (A) 向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? 1 (C) 向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
【答案: B 】 12. 【2014 年杨浦区一模文第 9 题】 已知函数 f ( x) ? sin x cos x , 则函数 f ( x) 的最小正周 期为__________. 【答案:

?】
2

13. 【2014 年杨浦区一模理第 9 题】已知函数 f ( x) ? ?sin ?x ? cos?x? ? 1 的最小正周期 为 ? ,则 ? ? _________. 【答案: ? 1 】 14. 【2014 年松江区一模理第 17 题】已知函数 f ( x) ?

2sin x m 的图像关于直线 cos 2 x cos x

x?

?
8

对称,则 f ( x ) 的单调递增区间为 B. [k? ?

3? ? , k? ? ] ( k ? Z ) 8 8 3? ? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) C. [2k? ? 4 4
A. [ k? ? 【答案:A】

3? ] (k ? Z ) 8 8 ? 3? ] (k ? Z ) D. [2k? ? , 2k? ? 4 4 , k? ?

?

15. 【2014 年嘉定区一模文第 17 题】若将函数 y ? sin x ? 3 cos x( x ? R )的图像向左 平移 m ( m ? 0 )个单位后,所得图像关于原点对称,则 m 的最小值是( A. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案:C 】 16. 【2014 年嘉定区一模理第 17 题】将函数 y ? sin 2 x ( x ? R )的图像分别向左平移 m ( m ? 0 ) 个单位,向 右平移 n ( n ? 0 ) 个单位,所 得到的两个 图像都与函 数
6

?? ? y ? sin? 2 x ? ? 的图像重合,则 m ? n 的最小值为??????????( 6? ? 2? 5? 4? A. B. C. ? D. 3 6 3
【答案:C 】 17. 【2014 年普陀区一模文理第 17 题】将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移



? 个单位,再向 4

上平移 1个单位后得到的函数对应的表达式为 y ? 2 sin 2 x , 则函数 f ( x ) 的表达式可以 是???????????????( )

( A) 2 sin x .
【答案:C】

( B ) 2 cos x .

(C ) sin 2 x .

( D ) cos 2 x .

18. 【2014 年闵行区一模文第 11 题】 函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在 [0, ] 上单调递增, 且 最大值是 3 求 ? 的值 【答案 .

π 4

4 】 3
π 4

19. 【2014 年闵行区区一模理 11 题】 函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在 [0, ] 上单调递增, 求

? 取值范围
【答案 (0, 2] 】 20. 【 2014 年 普 陀 区 一 模 文 第 13 题 】 若 函 数 f ( x) ? 1 ? x c o s

??x
2

, 则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (1 0 )0 ?
【答案:150】

.

21. 【2014 年宝山区一模文理第 13 题】函数 是
【答案: 】

的值域

.

x?si n x, 22. 【 2014 年 嘉 定 区 一 模 理 第 20 题 】 设 x ? R , 函 数 f ( x) ? c o s g ( x) ? cos x ? sin x .
(1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
2

7

(2)若 f ( x) ? 2 g ( x) ,求

1 ? sin 2 x 的值. cos2 x ? sin x cos x
????(1 分)

【答案: (1) F ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? (cosx ? sin x) 2

?? ? (2 分) ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 ,? 4? ?
所以,函数 F ( x) 的最小正周期为 ? . 由 2k? ? ????????(2 分)

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ?Z ) ,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) , (2 分) 8 8

所以函数 F ( x) 的单调递增区间是 ?k? ?

? ?

3? ?? . ??????(1 分) , k? ? ? ( k ? Z ) 8 8?

(2)由题意, cos x ? sin x ? 2(cosx ? sin x) , 3 sin x ? cos x ,????(1 分) 所以, tan x ?

1 . 3

????????????(1 分)

1 ? sin 2 x cos2 x ? 2 sin 2 x 1 ? 2 tan2 x 11 ? ? ? . ??(4 分) 所以, 1 ? tan x 6 cos2 x ? sin x cos x cos2 x ? sin x cos x
(中间步骤每步 1 分,答案 2 分) 】 23. 【2014 年嘉定区一模理第 20 题】已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ,

x?R.
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ( A) ? 1 , AB ? AC ?
2

2 ,求△ ABC 的面积.
? ?

【解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? 3 cos x2 x ? 2 sin? 2 x ? 所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . 由 2k? ? 得 k? ? ????????????(1 分)

??

?, 3?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ?Z ) ,

???????????????(2 分) ????????????????(2 分)

5? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) , 12 12

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ? (2)由已知, f ( A) ? 2 sin? 2 A ?

? ?

5? ?? . ?????(1 分) , k? ? ? ( k ? Z ) 12 12?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 1 ,所以 sin ? 2 A ? ? ? , ?????(1 分) 3? 3? 2 ?
8

因为 0 ? A ?

?
2

,所以

?
3

? 2A ?

?
3

?

4? ? 5? ? ,所以 2 A ? ? ,从而 A ? . ?(2 分) 3 3 6 4
,所以,| AB | ? | AC |? 2 , ??????(1 分) 2,

又 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A ? 所以,△ ABC 的面积 S ?

1 1 2 2 . ????(2 分) 】 ? | AB | ? | AC | ? sin A ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

24. 【2014 年黄浦区一模文理第 20 题】已知函数 f ?x? ? 3 sin?x ? cos?x ? c ( ? ? 0, x ? R , c 是实数常数)的图像上的一个最高点 ?
? 2? ? , ?3 ? , ? 3 ? ? (1)求函数 f ?x ? 的解析式及其单调增区间;

?? ? ,1? ,与该最高点最近的一个最低点是 ?6 ?

1 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? ac ,角 A 的取值范围 2 是区间 M,当 x ? M 时,试求函数 f ?x ? 的取值范围.

【解(1)∵ f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? c , ∴ f ( x) ? 2sin(? x ? ∵(

?
6

)?c.

?
6

,1) 和 (

2? , ?3) 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点, 3

? T 2? ? ?2 ? 3 ? 6 , ?T ? ? , ? 2? ? ? , ∴ ?? ? 解得 ?c ? ?1, T ? ?? ? 2. ? ? ? ? 2sin( ? ? ? ) ? c ? 1. ? 6 6 ?
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

) ?1 .

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ? (2)∵在 ?ABC 中, AB ? BC ? ? ∴ ac cos(? ? B ) ? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 3 6

?

1 ? ac.0 ? B ? ? , B ? . 2 3 2? 2? , 0 ? C ,即 0 ? A ? ∴ A?C ? . 3 3 2? ). ∴ M ? (0, 3 ? ? 3 ? ? 2 x ? ? , 考 察 正 弦 函 数 y ? sin x 的 图 像 , 可 知 , 当 x?M 时 , 6 6 2
9

1 ac , 2

?1 ? sin(2 x ?

?
6

) ? 1.

∴ ?3 ? f ( x) ? 1 ,即函数 f ( x ) 的取值范围是 (?3,1] .】

25. 【2014 年浦东新区区一模文理第 21 题】 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) y 如图, 设 A(

3 1 一个动点从点 A , ) 是单位圆上一点, 2 2
O

A x

出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一 周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P .设

P ( x, y )















y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 【答案: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

?
2

2? ? ? , 12 3

所以,点 B 的坐标是(0,1) ????????????????????2 分 又 t 秒时, ?XOP ?

?
6

?

?
6

t

?????????????????????4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . ??????????????????????6 分 6? ?6
(2)由 A ?

? 3 1? ? 3 1? , , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ?, ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ? ? ? ,??????????8 分 ? 6? 2 6 ? 2? ?6 ?6 ? ?

? AP ? AB ?

3 3 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6

10

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ????????????10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,?sin ? t ? ? ? ?? ,1? ????12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ?0, ? 2

? 3? ? ?

????????????14 分】

26. 【2014 年普陀区一模文理第 20 题】 已知函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x (1) 【文科】求函数 f ( x ) 的值域,并写出函数 f ( x ) 的单调递增区间; 【理科】求函数 f ( x ) 的最大值,并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

【解: (1) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 【文科】由于 ? 2 ? 2 sin( 2 x ? 由?

?

?

6

) ??????2 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

) ? 2 ,所以函数 f ( x) 的值域为 [?2, 2] ???4 分 )?

?
2

6

? 2k? 得 ?

?
?
3

? k? ? x ? , k? ?

?
6

? k?

所以函数 f ( x) 的单调的增区间为 [ k? ?

?
6

3

] , k ? Z ???6 分

(文科不写 k ? Z ,不扣分;不写区间,扣 1 分) 【理科】由 0 ? x ?

?
2

得,

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以当 2 x ?

?
6

?

?

7? ???4 分 6

2

时, f ( x) max ? 2 ,此时 x ?

?
6

???6 分

(2)由(1)得, f (? ) ? 2 sin( 2? ? 其中

?
6

)?

?
6

? 2? ?

?
6

?

?
2

得 cos( 2? ?

?
6

4 ? 2 ,即 sin( 2? ? ) ? ?????8 分 3 6 3

) ? 0 ??????10 分

所以 cos(2? ?

?
6

)?

5 ?????11 分 3

cos 2? ? cos[( 2? ?

?
6

)?

?
6

] ??????13 分

?

5 3 2 1 15 ? 2 ? ? ? ? ??????14 分】 3 2 3 2 6
11

27. 【2014 年奉贤区一模文第 20 题】已知函数 f ( x) ? sin (1)求方程 f ( x) ? 0 的解集; (8 分) (2)当 x ? ?0,

x x x cos ? 3 cos 2 . 2 2 2

? ?? ,求函数 y ? f ( x) 的值域。 (6 分) ? 2? ?

【答案: (1)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 cos ? sin 由 cos

x? 2?

x x? ? 3 cos ? ? 0 2 2?
4分

x x ? ? 0 ,得 ? k? ? , x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 2 2 x x 由 sin ? 3 cos ? 0 , 2 2 x x ? 2? 得 tan ? ? 3 , ? k? ? , x ? 2k? ? (k ?Z ) . 2 2 3 3
所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? 2k? ? ? 或x ? 2k? ?

7分

? ?

? 2? , k ? Z? 3 ?

8分

解法二: f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ? ? ?

4分

由 f ( x) ? 0 ,得 sin? x ?

??

? 3 k ? , x ? ? k? ? ( ?1) ,k ?Z , ??? 3 3 3? 2
? ?

所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? k? ? (?1) k

?
3

?

?

? , k ? Z? 3 ?

8分

(2) f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ?
所以 x +

因为 x ? ?0,

? ?? ? 2? ?

?

? ? 5? ? ?? , ? 3 ?3 6 ?

所以 sin( x ?

?

?1 ? ) ? ? ,1? 3 ?2 ?

12 分

所以 f ( x) ? ?

?1 ? 3 3? ,1 ? ? 2 ? ? 2
x x x cos ? 3 cos 2 . 2 2 2

28. 【2014 年奉贤区一模理第 20 题】已知函数 f ( x) ? sin (1)求方程 f ( x) ? 0 的解集; (8 分)

12

(2)当 x ? ?0,

? ?? ,求函数 y ? f ( x) 的值域。 (6 分) ? 2? ?

【答案: (1)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 cos ? sin 由 cos

x? 2?

x x? ? 3 cos ? ? 0 2 2?
4分

x x ? ? 0 ,得 ? k? ? , x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 2 2 x x 由 sin ? 3 cos ? 0 , 2 2 x x ? 2? 得 tan ? ? 3 , ? k? ? , x ? 2k? ? (k ?Z ) . 2 2 3 3
所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? 2k? ? ? 或x ? 2k? ?

7分

? ?

? 2? , k ? Z? 3 ?

8分

解法二: f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ? ? ?

4分

由 f ( x) ? 0 ,得 sin? x ?

??

? 3 k ? , x ? ? k? ? ( ?1) ,k ?Z , ??? 3 3 3? 2
? ?

所以方程 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? k? ? (?1) k

?
3

?

?

? , k ? Z? 3 ?

8分

(2) f ( x) ?

1 3 ?? 3 ? sin x ? (cosx ? 1) ? sin? x ? ? ? 2 2 3? 2 ?
所以 x +

因为 x ? ?0,

? ?? ? 2? ?

?

? ? 5? ? ?? , ? 3 ?3 6 ?

所以 sin( x ?

?

?1 ? ) ? ? ,1? 3 ?2 ?
14 分 】

12 分

所以 f ( x) ? ?

?1 ? 3 3? ,1 ? ? 2 ? ? 2

四、

解三角形

1. 【2014 年普陀区一模文理第 3 题】在△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、

c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ?
【答案: 4 】

?
3

,则 b ?

.

13

2.

【2014 年奉贤区一模文第 6 题】 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设 向量 p ? ?a ? c, b? , q ? ?b ? a, c ? a? ,若 p ∥ q ,则角 C 的大小为
? ?



【答案:

? 】 3

3. 【2014 年奉贤区一模理第 6 题】 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,设 向量 p ? ?a ? c, b? , q ? ?b ? a, c ? a? ,若 p ∥ q ,则角 C 的大小为 【答案: 4.
? ?



? 】 3

【2014 年杨浦区一模文理第 17 题】设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长 分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 ???( ).

( A)

?

2 , 3 . ( B)

?

?1 , 3 ? . (C )

?

2 , 2 . ( D ) ?0 , 2? .

?

【答案: A】 5. 【2014 年浦东新区区一模文理第 9 题】在锐角 V ABC 中, AC ? 4, BC ? 3 ,三角形的 面积等于 3 3 ,则 AB 的长为___________. 【答案: 13 】 6. 【2014 年闸北区一模文理第 6 题】相距 480 米有两个垂直于水平地面的高塔 AB 和

CD ,两塔底 B 、 D 的中点为 P ,已知 AB ? 280 米, CD ? 320 米,则 cos ?APC
的值是 【答案: 7. .

2 85 】 85
2 2

【2014 年长宁区一模文第 11 题、理第 9 题】在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别

. 是 a ,b,c.若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则角 A = _________
【答案:

? 】 6

8. 【2014 年杨浦区一模文第 18 题】若式子 ? (a, b, c) 满足

? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称式.给出如下三个式子:
① ? (a, b, c) ? abc; ② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ;
2 2 2

2 ③ ? ( A, B, C) ? cosC ? cos(A ? B) ? cos C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .

14

其中,为轮换对称式的个数是

???( ).

( A) 0

.

( B) 1 .

(C ) 2 .

(D) 3

.

【答案: C】 9. 【2014 年青浦区一模文理第 19 题】在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、

c,向量 m ? (cos
且m?n.

u r

r C ,1) , n ? (?1,sin( A ? B)) , 2

u r

r

(1)求角 C 的大小;

3 , 且 a ? b ? 4 ,求 c 的边长. 2 C 【解: (1) m ? n ,? m ? n ? 0 ,?? cos ? sin( A ? B ) ? 0 ???????2 分 2 C C C C ?? cos ? sin C ? 0 ,?? cos ? 2sin cos ? 0 ,???????????4 分 2 2 2 2 C ? C ? ? C C 1 且 0 ? C ? ? ? 0 ? ? ,? cos ? 0 ? sin ? ,? ? ? C ? ??6 分 2 2 2 6 3 2 2 2 1 3 (2) CA ? CB ? ab cos C ? ab ? ? ab ? 3 , ????????????8 分 2 2
(2)若 CA ? CB ? 又

uur uur

a ? b ? 4 ,?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? ab ? 16 ? 9 ? 7 ??11 分
???????????????????????12 分】

?c ? 7

,B,C 的对边分别为 10. 【 2014 年闸北区一模文理第 14 题】设 ?ABC 的三个内角 A

3 cos A A (1)求角 的大小;
(2)若 2 sin
2

a,b,c ,满足:

a

?

b . sin B

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状,并说明理由. 2 2 a c c 【答案:14.解: (1)由条件结合正弦定理得, ? ? sin A 3 cos C sin C 从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,-----------------------------------------------4 分 ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? .--------------------------------------------------------------2 分 3 C 2 B ? 2 sin 2 ? 1 (2)∵ 2 sin 2 2 ∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 , ∴ cos B ? cos C ? 1 , ------------------------------------3 分 2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin( B ? ) ? 1 , --------------------------------------3 分 即 cos B ? cos( 3 6

15

?0 ? B ?

? ?ABC 为等边三角形.

2? 3

?

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?B ?

?
6

?

?
2

?B ?

?
3

----------------3 分

-------------------------------------------------------------1 分】

11. 【2014 年静安区一模文理第 19 题】 (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用 的经验公式为:弧田面积= (弦?矢+矢 ).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公
2

式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 弦长等于 9 米的弧田. (1)计算弧田的实际面积;



(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际 面积相差多少平方米?(结果保留两位小数)

【答案:19 解:(1) 扇形半径

,????????? 2 分

扇形面积等于

????????? 5 分

弧田面积=

(m )????????? 7 分

2

(2)圆心到弦的距离等于

,所以矢长为

.按照上述弧田面积经验公式计算得

(弦?矢+矢 )=
2

.?????????10 分

16

平方米????????? 12 分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米.】

12. 【2014 年徐汇区一模理第 19 题】在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程

x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 A ? B ? 120 ,求△ABC 的面积及 AB 的长.
【答案: C ? 180 ? 120 ? 60 , S?ABC ? 由

1 3 3 , ? 2? ? 2 2 2

? ?a ? b ? 2 3 ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? ? ?a ? b ? 2

? (a ? b)2 ? 3ab ? (2 3)2 ? 6 ? 6 ,? AB ? 6 .】
13. 【2014 年崇明区一模文理第 20 题】 (本大题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2) 小题 8 分) 在? 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是该三角形的面积 ABC (1)若 a ? sin ? cos, ? ?, b ? 1 , sin ? cos ,a // b ,求角 B 的度数 ? ? ?

? ?

B 2

B 1 ? 2 2 ?

? ?

B 2

B ? 2 ?

(2)若 a=8,B=

2? ,S= 8 3 ,求 b 的值 3
的对边分别为 , 得

【答案:(1)解:角

,所以

,从而



(2)由 所以 。

得,

17



,解得



14. 【2014 年宝山区一模文理第 20 题】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满
分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

在△

中,

所对的边分别为







(1)求



(2)若

,求 , , .

【答案: (1)由



??2 分

则有

=

???4 分





.?????????????????7 分

(2) 由

推出





,即得

,?????????9 分



(用其它边角关系等同)??????11 分

则有

?????????????????12 分

18

解得

. ???????????????????14 分】

15. 【2014 年长宁区一模文第 20 题】在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证 tan B ? 3tan A ; (2)若 tan A ?

1 ,求 tan C 的值。 2

【答案:(1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B , 即 AC cos A=3BC cos B . 由正弦定理,得 ????2 分

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B . ????4 分 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3 cos B cos A
????6 分

(2)? tan A ? 因此

1 3 ,由(1)得 tan B ? ,????8 分 2 2

tanC ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? t a nA (? B) ????10 分

1 3 ? tan A ? tan B 2 2 ? ?8 ????14 分】 ?? =? 1 3 1 ? tan A tan B 1? ? 2 2
16. 【2014 年长宁区一模理第 20 题】在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证 tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求角 A 的大小. 5

[来

【答案:(1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B , 即 AC cos A=3BC cos B . 由正弦定理,得 ????2 分

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B . ????4 分 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3 cos B cos A
????6 分

19

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? .∴ tan C ? 2 .????8 分 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . ????10 分 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ????12 分 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? . 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

????14 分】

17. 【2014 年金山区一模文理第 20 题】如图, D 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的点, AB = AD ,记 ∠CAD =α , ∠ABC = β 。 (1)求证: sin α + cos2 β = 0 ; (2)若 AC = 3DC ,求 β 的值。

【答案:

(1) 证明:由于 AB=AD,所以 ?BDA=?,所以 ?=?+?C,……………………2 分 因为∠ BAC=90?,所以 ?C=90?–?,所以 ?=?+90?–?,即 2?=90?+?,………4 分 故 cos2?=cos(90?+?)= –sin?,即 sin?+cos2?=0;……………………………6 分

(2) 在△ ABC 中,由正弦定理得:

,即



则 sin?=

sin?,……………………………………………………8 分

由(1)可得:sin?= –

cos2?=–

(1–2sin2?),即:2

sin2?–sin?–

=0,11 分

解得:sin?=

或 sin?=

(舍),所以 ?=60?.………………14 分】

18. 【2014 年松江区一模理第 21 题】如图,相距 200 海里的 A、B 两地分别有救援 A 船和
20

B 船.在接到求救信息后,A 船能立即出发,B 船因港口原因需 2 小时后才能出发,两船的航 速都是 30 海里/小时.在同时收到求救信息后,A 船早于 B 船到达的区域称为 A 区,否则 称为 B 区.若在 A 地北偏东 45 ? 方向,距 A 地 150 2 海里处的 M 点有一艘遇险船正以 10 海里/小时的速度向正北方向漂移. ⑴求 A 区与 B 区边界线(即 A、B 两船能同时到达的点的轨迹)方程; ⑵问: ①应派哪艘船前往救援? ②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇? (精确到 0.1 小时)

【答案:⑴设点 P 为边界线上的点,由题意知

PA PB ? ? 2 ,即 PA ? PB ? 60 , 30 30
??? ????? 3 分
2

即动点 P 到两定点 A 、 B 的距离之差为常数, ∴点 P 的轨迹是双曲线中的一支。 由 2c ? 200, 2a ? 60 得 a ? 30 , b ? 100 ? 30 ? 9100
2 2

x2 y2 ? ? 1( x ? 0 ) ∴方程为 ??????? 6 分 900 9100 ⑵① M 点的坐标为 M (50,150) , A 点的坐标为 A(?100,0) , B 点的坐标为 B(100,0) ,∴

MA ? 150 2 ? 212.1

, MB ? 50 ? 150 ? 158.1 ,
2 2

,即 MA ? MB ?? 212.1?158.1 ? 54 ? 60 ,∴点 M 在 A 区,又遇险船向正北方向漂移, 遇险船始终在 A 区内,∴应派 A 船前往救援 ???????8 分 ②设经 t 小时后, A 救援船在点 N 处与遇险船相遇。在 ?AMN 中, AM ? 150 2 , MN ? 10t , AN ? 30t , ?AMN ? 135? ??????? 9 分 ∴ (30t )2 ? (10t )2 ? (150 2)2 ? 2 ?10t ?150 2 cos135? 整理得 4t ? 15t ? 225 ? 0 ,
2

15 ? 15 17 15 ? 15 17 ? 9.606 或 t ? (舍) 8 8 ∴A 救援船需 9.6 小时后才能与遇险船相遇.
解得 t ?

??????? 13 分 ???????14 分】

21


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