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指数函数与对数函数


一、基础公式
1) a ? n am a ? 0, m, n ? N * , n ? 1 2) a
? m n

m n

?

?
*

?
n

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N , n ? 1?

3) a ? a ? a
m

m? n

4) a

? ?

m n

? a mn

n n 5) ? ab ? ? a b n

6) ab ? N ? loga N ? b . 7) loga ? MN ? ? loga M ? loga N 8) log a 说明: 1) a ? 0 ,且 a ? 1 2) N ? 0 3) 1 的对数是零; 4)底数的对数等于 1 ; 5)特别: log10 N ? lg N ; loge ? InN 6)恒等式: a
log a N

M ? log a M ? log a N N

? N , loga ab ? b

7)换底公式: log a N ?

log c N logc a 1 n n , loga b ? logan b , log a ? N ? ? n ? log a N , logb a

8)换底公式推论: log a b ?

log a n N ?

1 ? log a N n

9)分数指数幂与根式的关系:根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以 相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运

二、图像

1)指数函数的图像

①注意:指数函数底数变化与图像分布规律,在图中:

① y ? a x ,② y ? b x ,③ y ? c x ,④ y ? d x .则: 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .又即:

x ?? 0, ??? 时, b x ? a x ? d x ? c x (底大幂大). x ?? ??,0? 时, b x ? a x ? d x ? c x .
②特殊函数

?1? ?1? 请画出下列函数的图像: y ? 2 , y ? 3 , y ? ? ? , y ? ? ? 的图像: ?2? ? 3?
x x

x

x

2)对数函数:

①注意:对数函数底数变化与图像分布规律.

① y ? log a x .② y ? logb x .③ y ? logc x .④ y ? log d x .则有: 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .又 即: x ? ? 0,1? 时, loga x ? logb x ? logc x ? log d x . x ? ?1, ?? ? 时,

loga x ? logb x ? logc x ? logd x (底大对数小).
②备注: a.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按: 0 ? a ? 1 和

a ? 1 进行分类讨论.
b.换元时注意换元后“新元”的范围. c.画指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且 a ? 1? 的图象,应抓住三个关键点: ?1, a ? , ? 0,1? ,

1? ? ? ?1, ? . a? ?
d.画对数函数的图象应抓住三个关键点: ? a,1? , ?1,0 ? , ?

?1 ? , ?1? . ?a ?

三、复合函数(指数型对数型)
1)基本问题 ①简单、基本、初等函数中的变量“ x ”的范围,叫做函数的原始定义域. ②用代数式“ f ? x ? ”替换简单、基本、初等函数中的变量“ x ” ,生成的函数叫做“复合 函数” .其中“ f ? x ? ”一般称为“内层函数” ,有时叫做“中间函数” .如:

y ? lg ? x 2 ? 2 x ? 3? , y ? 2x ? 4 , y ? ex?2 .高中阶段所学习的函数仅仅只有五种简单、
基本、初等函数,而所有的函数都是复合函数. 2)复合函数问题的求解理念 ①原始函数(一般称为外层函数)的定义域,只与内层函数的值域发生直接联系,与内层 函数的自变量 x 仅仅是间接关系;

②求解复合函数 f ? ,都是指的内层函数 g ? x ? ? g ? x ?? ? 的问题(定义域、过定点、单调性) 中的“ x ” . ③复合函数 f ? ? g ? x ?? ? 的单调性的判断法则:同“号”为增,异“号”为减. ④备注:符合函数的单调性,奇偶性严格遵守函数的性质.

一、指数化简与运算
化简结果要求 1) 若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; 2) 若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; 3) 结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂.

【题干】

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x ? x3 x ?1
1 3

2

.

【答案】 【解析】 【点评】 【题干】已知 10? ? 2,100 ? ? 3 ,求 100
1 2? ? ? 3

的值

? 1 33 【答案】 16 ? ? 3 ? ?
【解析】 100

? ?. ? ? ?
? 1002 a ? 100 ? ?10
b 3 a 4

2 a ?b 3

? ? ?10 ?

2 b 3

? 1 ? ? 33 ? ? 16 ? 3 ? 16 x ? ? . ?3? ? ?
2 3

【点评】熟悉分数指数幂运算法则. 【题干】化简: (1) a ? 2a ; (2)
5

x x?3 x

6

【答案】 【解析】 【点评】

二、对数化简与运算
对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和

对数的换底公式进行.要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化. 【题干】若方程 lg2 x ? ? lg7 ? lg5? lg x ? lg7 ? lg5 ? 0 的两根是 a , b ,求 ab 的值. 【答案】

1 . 35 1 , 5

【解析】 lg2 x ? ? lg 7 ? lg5? lgx ? lg 7? lg5? ? lg x ? lg 7?? lg x ? lg5? ? 0, a , b 分别为

1 1 ,即 ab ? 7 35
【点评】 【题干】计算
7 5 (1) log 2 4 ? 2 .(2) lg 5 100 .(3) lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg50 ? log27 9 .

?

?

(4) 7lg 20 ? ? ?

?1? ?2?

lg0.7

; (5) 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 23 ? 52log5 3 . 9

【答案】 (1) 19 ; (2)

2 8 ; (3) ; (5) ?7 . 5 3

【解析】 (1)原式 ? log2 219 ? 19 . (2)原式 ? lg10 5 ?
2

2 . 5
2 lg 9 2lg 3 ? 1?1? . ? lg 2 ? lg 5 ? 1 ? 3 lg 27 3lg 3

(3)原式 ? lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? ? ? lg 5 ? 1? ? (5)原式 ? 2 log 3 2 ? log 3

32 32 ? log 3 23 ? 52log5 3 ? log 3 22 ? log 3 ? log 3 8 ? 32 9 9

9 ? ? ? log3 ? 22 ? ? 8 ? ? 9 ? ?7 . 32 ? ?
【点评】 【题干】用 loga x,loga y,loga z 表示下列各式 (1) log a

x2 y xy x ; (2) loga x3 y5 ; (3) log a ; (4) log a . 3 z yz z

【答案】 (1)原式 ? ? loga x ? loga y ? ? loga z ; (2)原式 ? 3loga x ? 5log a y ; (3)原式 ? 【解析】

1 log a x ? ? log a y ? log a z ? . 2

【点评】

三、指数函数的图像,性质题型
高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最基本问 题外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想. 【题干】已知函数 f ? x ? ? ?

?

1 1? 3 ?? x , ( a ? 0 且 a ? 1) . ? ? ? a x ? 1? 2 ? ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的定义域; (2)讨论函数 f ? x ? 的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f ? x ? ? 0 在定义域上恒成立. 【答案】 (1) ?x | x ? 0? ; (2)偶函数; (3) a ? 1 . 【解析】 (1)保证 a ? 1 不等于 0 ,所以 x 的定义域为: x 不等于 0 .
x

x 3 ? 1 ? 1 1 ? 3 ? a ? 1? ? x 1? 3 ? ? ? ??x? (2) f ? x ? ? ? x , ? ?? x ? f ? x ? ? ? ? x ? x ? ? a ? 1? 2 ? 2? 2 ? a ? 1? ? ? ? ? ? a ? 1? ?

?a ?

x

2 ? a x ? 1?

? 1? ? x3

? f ? x ? ,所以为偶函数.

x 3 ? 1 1 ? 3 ? a ? 1? ? x x 3 ? ? (3) f ? x ? ? ,所以 x 和 a ? 1 同号 .因为 x ? 0, x3 ? 0 , ? ?x ? x x ? ? a ? 1? 2 ? 2 ? a ? 1? ? ?

x ? 0, x3 ? 0 ,所以必须 x ? 0, a x ?1 ? 0; x ? 0, a x ?1 ? 0 ,所以 x ? 0 时 a ? 1 , x ? 0 时
a ? 1 .所以当 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 在定义上恒成立.
【点评】对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过求最值解 决.将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. 【题干】设 f ? x ? ?

ex a ? 是定义在 R 上的函数. a ex

(1) f ? x ? 可能是奇函数吗? (2)若 f ? x ? 是偶函数,试研究其在 ? 0, ??? 的单调性. 【答案】 (1)不可能.(2)若 a ? 1 时, f ? x ? 是增函数;若 a ? ?1 时, f ? x ? 是减函数.

【解析】 (1)因为 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,若其是奇函数,则 f ? 0? ? 0 , 即

1 ? a ? 0, a 2 ? ?1 ,所以不可能是奇函数; a

(2)因为 f ? x ? 是偶函数所以 f ? ?x ? ? f ? x ? ,

e? x a ex a ? ? x ? ? x ,解得 a ? ?1 或1 , a e a e

当 a ? 1 时, f ? x ? ? ex ? e? x , f ? ? x ? ? ex ? e? x 为单调递增,又因为 x ? 0 ,
x ?x 所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 为增函数;当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ? e ? e ,所以为减函

?

?

数; 【点评】 【题干】证明函数 y ? a x 和 y ? a ? x ? a ? 0, a ? 1? 的图象关于 y 轴对称. 【答案】见解析
x 1 【解析】设 P i ? xi , yi ? 是函数 y ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图象上任意一点,则 y1 ? a ,

x

y 轴的对称点 Q 是 ? xi , yi ? ,∴ y1 ? a x1 ? a 而P i ? xi , yi ? 关于
x

?? ? x1 ?

,即 Q 在函数 y ? a 的
?x

?x

图象上,由于 Pi 是任意取的,所以 y ? a 上任一点关于 y 轴的对称点都在 y ? a 的图象 上,同理可证: y ? a
?x

图象上任意一点也一定在函数 y ? a 的图象上,∴函数 y ? a 和
x x

y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称.
【点评】 【题干】函数 f ? x ? ? e ()
| x|

A.是奇函数,在 ? ??,0? 上是减函数 B.是偶函数,在 ? ??,0? 上是减函数 C.是奇函数,在 ?0, ??? 上是增函数 D.是偶函数,在 ? ??, ??? 上是增函数 【答案】B. 【解析】∵ u ?| x | 在 ? ??,0? 是减函数,在 ? 0, ??? 上是增函数,且 y ? e 是增函数
u

∴ f ? x ? ? e 在 ? ??,0? 是减函数,在 ? 0, ??? 上是增函数,又易知它是偶函数.
| x|

【点评】 【题干】若 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图象不经过(
x



A. 第一象限 C. 第三象限 【答案】A.

B. 第二象限 D. 第四象限

【解析】因为底数在 ? 0,1? 之间,故 a 递减,又因为 b ? ?1 ,故 f ? x ? ? a x ? b 的图像是
x

向下平移 b 个单位后经过了第二、三、四象限,没有经过第一象限. 【点评】 【题干】若对 x ??1,2? ,不等式 2 【答案】 ?m | m ? 0? 【解析】∴函数 y ? 2x 是 R 上的增函数,又∵对 x ??1, 2? ,不等式 2
x?m x?m

? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? 2 恒成立,

1 ∴对 x ??1, 2? ,不等式 x ? m ? 1 恒成立(∵ 2 ? 2 ) ,∴ y ? x ? m 在 ?1, 2? 上的最小值大

于 1 恒成立,而 y ? x ? m 在 ?1, 2? 上是增函数,它的最小值为 1 ? m ,∴ 1 ? m ? 1 , m ? 0 , ∴实数 m 的取值范围是 ?m | m ? 0? . 【点评】

四、对数函数的图像性质题型
x 对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a 互为反函数,它们的图像关于直线 y ? x 对称.

【题干】已知方程 10x ? 10 ? x, lgx ? x ? 10 的实数解分别为 ? 和 ? ,则 ? ? ? 的值是 ________.

【答案】 10 .
x x 【解析】 lg x ? 10 ? x , 10 ? 10 ? x , lg x 和 10 的图像关于 y ? x 对称, 10 ? x 的图像

b b 关于 y ? x 对称,所以两个交点关于 y ? x 对称,即 a ? 10 , a ? b ? 10 ? b ? 10 .

【点评】 【题干】设函数 f ? x ? ? log 1
2

x ?1 . x ?1

(1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性,并证明; (2)证明函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数;

?1? (3)若 x ??3, ??? 时,不等式 f ? x ? ? ? ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?2?
【答案】 (1)见解析.(2)见解析.(3) m ? ? 【解析】 (1)函数 f ? x ? 是奇函数,由

x

x ?1 ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?1 ,又因为 x ?1

9 . 8

f ? ? x ? ? log 1
2

?x ?1 ? ? f ? x ? ,∴函数 f ? x ? 是奇函数. ?x ?1

(2)不妨设 u ? x ? ?

2 ? x2 ? x1 ? x ?1 ,1 ? x1 ? x2 ,则 u ? x1 ? ? u ? x2 ? ? , x ?1 ? x1 ?1?? x2 ?1?

∵ 1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0 . x2 ? x1 ? 0 ,∴ u ? x1 ? ? u ? x2 ?

?

2 ? x2 ? x1 ? ? 0 ,∴ u ? x1 ? ? u ? x2 ? .又因为 f ? x ? ? log 1 u ? x ? ,∴函数 f ? x ? 在 ? x1 ?1?? x2 ?1? 2

?1, ??? 上是增函数;
?1? (3)由题意, x ??3, ??? 时,不等式 f ? x ? ? ? ? ? m 恒成立,等价于 ?2?
9 ?1? f ? 3? ? ? ? ? m ,解得 m ? ? . 8 ?2?
【点评】 【题干】已知函数 f ? x ? ? loga ? x ?1? , g ? x ? ? loga ?1 ? x ? 其中 ? a ? 0 且 a ? 1? . (1)求函数 f ? x ? ? g ? x ? 的定义域; (2)判断 f ? x ? ? g ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (3)求使 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立的 x 的集合. 【答案】 【解析】 【点评】
3 x

【题干】若 a , b 为不等于 1 的正数,且 a ? b ,试比较 log a b 、 log a 【答案】当 1 ? a ? b 时,所以 log a

1 1 、 log b . b b

1 1 ? logb ? log a b .当 0 ? a ? b ? 1 时,则 b b

logb

1 1 1 1 1 ? log a ? log a b .当 0 ? a ? 1 ? b 时,若 b ? ,所以 log a b ? logb ? log a ; b b a b b 1 1 1 1 1 1 ,所以 log a b ? log b ? log a ;若 b ? ,所以 log b ? log a b ? log a . a b b a b b

若b ?

1 1 ? ?1 ,所以只需比较 loga b 、 log a 、 ?1 的大小.当 1 ? a ? b 时, b b 1 1 1 1 loga b ? 1 , log a ? log a ? ?1 ,所以 log a ? logb ? log a b .当 0 ? a ? b ? 1 时, b a b b 1 1 1 1 0 ? loga b ? 1 , ?1 ? log a ? log a ? 0 ,则 logb ? log a ? log a b .当 0 ? a ? 1 ? b a b b b 1 1 1 时, log a ? 0 , loga b ? 0 .若 b ? ,则 log a b ? log a ? ?1 , b a a 1 1 1 1 所以 log a b ? log b ? log a ;若 b ? ,则 log a b ? log a ? ?1 , b b a a 1 1 1 1 所以 log a b ? log b ? log a ; 若 b ? ,则 log a b ? log a ? ?1 , b b a a 1 1 所以 log b ? log a b ? log a . b b
【解析】因为 log b 【点评】 【题干】已知 log a 【答案】 ? 0,

2 ? 1 ,求 a 的取值范围. 3

? ?

2? ? ? ?1, ? ? ? 3?

2 2 ? 1 ? log a a ,∴当 a ? 1 时,根据 loga x 是增函数得 ? a , 3 3 2 所以 a ? 1 ;当 0 ? a ? 1 时,根据 log a x 是减函数得 ? a ? 0 . 3
【解析】法一:∵ log a 综上所述, a ? ? 0,

? ?

2? ? ? (1, ? ?) ; 3?
2 2 ? 0 ? 1 ;当 0 ? a ? 1 时,当 a ? 时, 3 3

法二:结合对数函数的图象知,当 a ? 0 时, loga 有 log a

2 ? 1 ,结合图象知,当此曲线向 y 轴靠近时,满足题意,此时 a 逐渐减小, 3 2 ? 2? .综上所述, a ? ? 0, ? ? ?1, ? ? ? . 3 ? 3?

故0 ? a ?

y x=2 y=1
P1 P2 2 3 1 P3 P4

O

x

【点评】在上面的对数函数图象中,共有四条对数函数 y ? log a x ,底数 a 的大小比较可 以通过作一条直线: y ? 1 ,于四条曲线分别交于点 P 1, P 2, P 3, P 4 ,易知,这四点的横坐标 即对应相应的底数的值,故比较这四点的横坐标即可. 【题干】设 0 ? a ? 1 , x, y 满足: loga x ? 3log x a ? log x y ? 3 ,如果 y 有最大值 求此时 a 和 x 的值. 【答案】 a ?

2 , 4

1 1 ,x ? 4 8

【解析】由已知条件得

log a y 3 3? 3 ? log a x ? ? ? 3 ? log a y ? log a 2 x ? 3log a x ? 3 ? ? log a x ? ? ? , log a x log a x 2? 4 ?
当 log a x ?
3 4
3 3 3 0 ? a ? 1 y a 时, log a y 有最小值 ,∵ ,∴ 有最大值 4 ,依题意得 2 4

2

3 3 ? 1 2 ? 1 ?2 ? 1 ?4 ? 1 ?2 1 2 a ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ,∴ a ? ,此时 x ? a 2 ? ? ? ? . 4 4 8 ?2? ?4? ?4?

3

3

3

【点评】

五、指对数值比较大小题型
对数值的大小比较方法 1)化同底后利用函数的单调性. 2)作差或作商法.

3)利用中间量( 0 或 1 ) . 4)化同真数后利用图象比较. 5)利用图像规律变化规律比较(画图) 【题干】已知 f ? x ? 是定义在 ? ??, ??? 上的偶函数,且在 ? ??,0? 上是增函数,设

a ? f ? log4 7 ? , b ? f (log 1 3), c ? f ? 0.2?0.6 ? ,则 a, b, c 的大小关系是(
2

) .

A. c ? a ? b C. b ? c ? a 【答案】B. 【解析】由题意 f ? x ? ? f

B. c ? b ? a D. a ? b ? c

? x ? ,∵ log 4 7 ? log 2
?0.6

7 ? 1, log 1 3 ? log 2 3 ,
2
? 3 5

又∵ 2 ? log2 4 ? log2 3 ? log2 7 ? 1 . 0.2 ∴ 0.2
?0.6

?1? ?? ? ?5?

? 5 5 ? ? 53 ? 5 ? ? 25 ? 5 ? 2 ,

3

1

1

? log2 3 ? log4 7 ? 0 .又∵ f ? x ? 在 ? ??,0? 上是增函数且为偶函数,

∴ f ? x ? 在 ?0, ??? 上是减函数,∴ a ? b ? c . 【点评】利用函数单调性或插入中间值比较大小. 【题干】利用函数性质比较 30.2 ,log3 2,log5 4 值的大小:____________. 【答案】 【解析】 【点评】
1 1 1

【题干】利用函数的性质比较 2 2 ,33 , 6 6 的大小_________. 【答案】 【解析】 【点评】 【题干】已知 a ? log0.7 0.8, b ? log1.1 0.9, c ?1.1 A. a ? b ? c C. b ? a ? c 【答案】C.
0.9

,则 a, b, c 的大小关系是( B. a ? c ? b D. c ? a ? b

) .

【解析】根据对数函数 y ? log0.7 x, y ? log1.1 x 的图象和性质,可知

0 ? log0.7 0.8 ? 1,log1.1 0.9 ? 0 ,由指数函数 y ? 1.1x 的图象和性质,可知 c ? 1.10.9 ? 1 .
【点评】 【题干】若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 a, b,1 的大小关系为( ) A. 1 ? a ? b C. 0 ? a ? b ? 1 【答案】D. 【解析】∵ loga 2 ? logb 2 ? 0 ,根据换底公式知 log a 2 ? B. 1 ? b ? a D. 0 ? b ? a ? 1

1 1 , ,logb 2 ? log 2 a log 2 b



1 1 ? ? 0 ,∴ 0 ? log2 a ? log2 b .又函数 y ? log2 x 在定义域区间上单调递 log 2 a log 2 b

增,∴ 0 ? b ? a ? 1 . 【点评】 【题干】下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log4 0.3 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 【答案】C. 【解析】∵ 0 ? 0.43 ? 0.40 ? 1,30.4 ? 30 ? 1,log4 0.3 ? log0.4 1 ? 0 , ∴ log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 . 【点评】 ) . B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43

六、复合函数综合题型
复合函数问题,遵守两条法则: 1)基本初等函数的定义域,只与内层函数的值域发生直接联系,与内层函数的自变量 x 仅 仅是间接关系; 2)求解复合函数 f ? ,都是指的内层函数 g ? x ? ? g ? x ?? ? 的问题(定义域、过定点、单调性) 中的“ x ” .注意:一定要注意中间变量的取值范围,还要注意定义域(这里是隐形陷阱)

要坚持定义域优先的原则. 【题干】已知函数 f ? x ? ? lg ? a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? 1?
2 2

??

?

?

(1)若 f ? x ? 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. (2)若 f ? x ? 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) a ?

5 5 或 a ? ?1 .(2) 1 ? a ? . 3 3

2 2 2 【解析】 (1) f ? x ? 的定义域为 R .∴ a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,当 a ? 1 ? 0 时,

?

?

2 ? ?a ? 1 ? 0 得 a ? ?1 , a ? 1 不成立,当 a ? 1 ? 0 时, ? , 2 2 ? ? a ? 1 ? 4 a ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 5 5 解得 a ? 或 a ? ?1 ,综上得 a ? 或 a ? ?1 . 3 3
2 2 2 (2)当 a ? 1 ? 0 时,得 a ? 1 , a ? ?1 不成立.当 a ? 1 ? 0 时,

2 ? 5 5 ?a ? 1 ? 0 ,解得 1 ? a ? ,综上得 1 ? a ? . ? 2 2 3 3 ? ?? ? ? a ? 1? ? 4 ? a ? 1? ? 0

【点评】
2 【题干】已知函数 f ? x ? ? log a ax ? x 在区间 ? 2, 4? 上单调递增,则实数 a 的取值范围

?

?

是_________. 【答案】 ? 0, ? ? ?1, ?? ? . 4

? ?

1? ?

【解析】该函数的导数为

2ax ? 1 ,由对数性质知 a ? 0 ,若 0 ? a ? 1 , ln a ? 0 , 2 ax ? x ln a ? ?

2ax ? 1 2ax ? 1 在 ? 2, 4? 恒小于 0 ,无解.若 a ? 1 ,不成立.若 a ? 1 , ln a ? 0 , 在 2 ? ax ? x ? ? ax2 ? x ?

? 2, 4? 恒大于 0 ,解得 a ? 1 .综上, a 的取值范围为 ?1, ??? .
【点评】注意内层函数的值域要满足外层函数的定义域所在区间 【题干】已知 f ? 2x ? 1? ? x ? 2x 的定义域为 ? ?2,3? ,则 f ? 2x ?1? 的定义域为________,
2

值域为___________. 相关问题:

第一个问题: “已知函数 f ? 2x ? 1? ? x2 ? 2x 的定义域为 ? ?2,3? ,求 f ? x ? 的表达式” . 第二个问题:已知函数 f ? x ? ? 义域和值域. 第三个问题:用平移、伸缩变换理解复合函数: 把函数 f ? 2x ? 1? ? x2 ? 2x , x ?? ?2,3? 图象上的点纵坐标不变,向 x 轴的正方向平移 个单位: f ? 2 ? x ?

1 2 3 5 x ? x ? 的定义域为 ? ?3,7? ,求函数 f ? 2x ?1? 的定 4 2 4

1 2

? ? ? ?
2

1 1? 1? ? ? 1? 1? ? ? ? ? 1? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? ? , x ? ? ?2 ? 2 ,3 ? 2 ? , 2? ? ? 2? 2? ? ? ?
5 ? 3 7? , x ? ?? , ? . 4 ? 2 2?

2

即 f ? 2x ? ? x ? x ? 【答案】 【解析】

【点评】复合函数 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域:在简单、基本、初等函数的原始定义域的约束条 件下(拓宽一点:叫做外层函数) ,求出“内层函数 f ? x ? ”中的“ x ”的范围. 复合函数 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域是指:内层函数 g ? x ? 中的“ x ”的范围. 【题干】已知 y ? 4x ? 3 ? 2 x ? 3 ,当其值域为 ?1,7? 时, x 的取值范围是________. 【答案】 ? ??,0? ? ?1, 2?
x x x x 【解析】由 1 ? y ? 4 ? 3? 2 ? 3? 7 解得 0 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 4 ,∴ x ? 0 或 1 ? x ? 2 ,

即 x ? ? ??,0? ? ?1,2? . 【点评】 【题干】已知函数 f ? x ? 值域为__________. 【答案】 【解析】 【点评】
2 【题干】已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? 2 x ? a 的值域为 R ,求实数 a 的范围.

? ?

1? 1 1 2 ? ? x ? 2 ? x ? ? 3 ,则函数 f ? x ? 的定义域为________; x? x x

?

?

【答案】 a ? 1 . 【解析】对数函数值域为 r 时,真数必须能取到所有大于零的值,也就是 x ? 2 x ? a 能取
2

到所有大于零的值,这就要求此抛物线的值域包括 y ? 0 这一范围.由于其开口向上,只需 判别式大于等于零,所以 4 ? 4a ? 0 ,所以 a ? 1 ,虽然此时抛物线 y ? x2 ? 2x ? a 可能包 含一些负值(即 x 轴一下部分).但此题是要求值域,不是要求所有 x 值都有意义,但仍然 可以使值域为全体实数. 【点评】本题的内层函数的值域 ? 外层函数的定义域.

七、高考汇编
【题干】 (2013 北京理 5)函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 . y ? ex 关于 y 轴对称,则 f ? x ? ? () A. e ? 1 B. e ? 1C. e
x

x

?x

?1

D. e

?x

?1

【答案】D. 【解析】依题意, f ? x ? 向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y ? e? x ,于是 f ? x ? 相当 于 y ? e 向左平移 1 个单位的结果,∴ f ? x ? ? e? x?1 .
?x

【点评】

?log 1 x, x ? 1 ? 2 【题干】 (2013 北京文 13)函数 f ? x ? ? ? 的值域为________. x ? 2 , x ? 1 ?
【答案】 ? ??,2? . 【解析】当 x ? 1 时, log 1 x ? log 1 1 ,即 log 1 x ? 0 ,当 x ? 1 时, 0 ? 2 ? 2 ,
x 1

2
x

2

2

即 0 ? 2 ? 2 ;故 f ? x ? 的值域为 ? ??,2? . 【点评】 【题干】 (2013 课标全国 2 理 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log 7 14 ,则( A. c ? b ? a 【答案】D. 【解析】根据公式变形, a ? 因为 lg 7 ? lg 5 ? lg 3 ,所以 B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c ) .

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? , lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 3 lg 3

lg 2 lg 2 lg 2 ? ? . lg 7 lg 5 lg 3

【点评】 【题干】 (2013 北京理 5)函数 f ? x ? 的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 . y ? ex 关于 y 轴对称,则 f ? x ? ? () A. e ? 1 B. e ? 1C. e
x

x

?x

?1

D. e

?x

?1

【答案】D. 【解析】依题意, f ? x ? 向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y ? e? x ,于是 f ? x ? 相当 于 y ? e? x 向左平移 1 个单位的结果,∴ f ? x ? ? e? x?1 . 【点评】

?log 1 x, x ? 1 ? 2 【题干】 (2013 北京文 13)函数 f ? x ? ? ? 的值域为________. x ? ?2 , x ? 1
【答案】 ? ??,2? . 【解析】当 x ? 1 时, log 1 x ? log 1 1 ,即 log 1 x ? 0 ,当 x ? 1 时, 0 ? 2 ? 2 ,
x 1

2
x

2

2

即 0 ? 2 ? 2 ;故 f ? x ? 的值域为 ? ??,2? . 【点评】 【题干】 (2013 课标全国 2 理 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log 7 14 ,则( A. c ? b ? a 【答案】D. 【解析】根据公式变形, a ? 因为 lg 7 ? lg 5 ? lg 3 ,所以 【点评】 B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c ) .

lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ? 1? ,b ? ,c ? , lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 3 lg 3

lg 2 lg 2 lg 2 ? ? . lg 7 lg 5 lg 3


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