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2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期末考试数学(理)试题


2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期末考试 数学(理)试题
一、选择题 1.复数 z ?

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 1? i 1 1 1 A. ? B. i C. 2 2 2
0

D. ?

1 i 2

2. tan(?225 ) 的值等于 C. ?

A.-1

B.1

2 2

D.

2 2

3.若点 P?m, n ?, Q(n ? 1, m ? 1) 关于直线 l 对称,则 l 的方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 0

y2 x2 ? ? 1 为椭圆方程”的( 4.“ 2 ? m ? 6 ”是“方程 m?2 6?m
A.充分不必要条件 C.充要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a、b 为常数, a ? 0, x ? R )在 x ? 则函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,

3? ? x ) 是( 4



A.奇函数且它的图象关于点 (

3? , 0) 对称 2

B.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 D.偶函数且它的图象关于点 ( 6.下列命题中是假命题的是(

3? , 0) 对称 2

m2 ? 4 m ? 3

A. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x

是幂函数,且在 (0, ??) 上递减

B. ??? R, 使得函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?) 是偶函数; C. ??, ? ? R, 使得 cos(? ? ?) ? cos ? ? cos ? ;

D. ?a,b ? R , lg(a ? b) ? lg a ? lg b ;

?

0 , ] 7. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f (? x) , 当 x?(
则 f ( x ) 在区间 (1, ) 内是( A.减函数且 f ( x) ? 0 C.增函数且 f ( x) ? 0 8.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 标系中函数 g ( x ) ? ( )

1 时,f ( x) ? log 1 (1 ? x) , 2 2

3 2

) B.减函数且 f ( x) ? 0 D.增函数且 f ( x) ? 0

9 , x ? (0, 4), 当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值 b ,则在直角坐 x ?1


1 a

| x ? b|

的图像为(

A

B

C

D

9.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点,若 A1P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是( )

A. [1,

5 ] 2

B. [

5 , 2] 2

C. [

3 2 5 , ] 4 2

D. [ 2, 3]

10 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R 的 单 调 函 数 , 且 对 任 意 的 实 数 x 、 y , 等 式

f ( x) f ( y)?

f ( x ? y) 恒 成 立 , 若 数 列

?an ?


) 且 满 足 a1 ? f ( 0 ,

f (an?1 ) ?

1 (n ? N * ) ,则 a2011 的值为( f (?2 ? an )
B.4018

A.4017

C.4019

D.4021

ΔABC 中,?BAC ? 120 , 11. AB=2, AC=1, D 是边 BC 上的一点 (包括端点) , 则 AD ? BC
的取值范围是( A.[1,2] 12.已知函数 f ? x ? ? ) B.[0,1] C.[﹣5,2] D.[0,2]

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b 设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共 2


点,且在该点处的切线相同,则 a ? (0, ??) 时,实数 b 的最大值是(

3 2 A. e 3 2
二、填空题

13 6 B. e 6

1 6 C. e 6

7 2 D. e 3 2

13 .在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c , S 表示 ?ABC 的面积,若

a cos B ? b cos A = c sin C , S ?
14.

? n ?表示不超过 n 的最大整数. S ? ? 1?? ? 2 ?? ? 3? ? 3 , S ? ? 4 ?? ? 5 ?? ? 6 ?? ? 7 ?? ? 8 ? ? 10 , S ? ? 9 ?? ? 10?? ? 11?? ? 12?? ? 13?? ? 14?? ? 15? ? 21,那么S
1 2

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 则?B = 4

3

9= --------------

15.下列四个命题: ①函数 y ? f (a ? x)( x ? R) 与 y ? f (a ? x)( x ? R) 的图像关于直线 x ? a 对称; ②函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? a) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围为 [0,1] ;
2

③在 ?ABC 中,“ A ? 30 ”是“ sin A ?
?

1 ”的充分不必要条件; 2

④数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? λn ? 2???(n ? N? ) ,若 {an } 是单调递增数列,则实
2

数 λ 的取值范围为 (?3, ??) 。 其中真命题的序号是_________
2 16.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为_____________. p?q
三、解答题(共 70 分)

2 2 17. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 B ? y y ? x ? 2 x ? a , 2 集合 C ? x x ? ax ? 4 ? 0 .命题 p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C ,

?

?

?

?

?

?

(1)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)在 ?ABC中,角A , B, C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A= (1)求 2sin
2

2 3

B+C +cos2 ?B+C ? ; 2

(2)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 19. (本小题满分 12 分)如图:正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:A1C//平面 AB1D; (2)求点 C 到平面 AB1D 的距离. (3)求二面角 B—AB1—D 的大小;

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? mx ?
m , g ( x) ? 2 ln x . x

(1)当 m ? 1 时,判断方程 f ( x) ? g( x) 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根; (2)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,并且 a2 ? 2 , S5 ? 15 ,数列 {bn } 满足: b1 ?

bn ?1 ?

n ?1 bn ???(n ? N ? ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 2n

1 , 2

(1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn ; (2)求数列 {bn } 的通项公式 bn 及前 n 项和公式 Tn ;

(3)记集合 M ? {n | 取值范围。

2Sn (2 ? Tn ) ? λ, n ? N ? } ,若 M 的子集个数为 16,求实数 λ 的 n?2

22、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= |x + a| + |x-2|. (1)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期末考试 数学(理)试题参考答案
1-12 CAABB 13.45° DABCD CA 14.171 15.②④ 16. ? 15,???

17.解:∵ y ? x 2 ? 2x ? a ? ( x ? 1) 2 ? a ? 1 ? a ? 1 ,∴ B ? y y ? a ? 1

?

?
3分 6分

A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 2?, C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0

?

?

?

?

(1)由命题 p 是假命题,可得 A ? B ? ? ,即得 a ? 1 ? 2, ∴ a ? 3 (2)∵ p ? q 为假命题,则其反面为 p ? q 为真命题 ∴ p、q 都为真命题, 即 A? B ? ? 且 A ? C , 7分

? a ?1 ? 2 ? ∴有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 3 ?4 ? 2 a ? 4 ? 0 ?
所以实数 a 的取值范围为 a ? 3 (直接讨论也可酌情得分) 18.解: (1) 12 分

11 分

2 B+C A cos A ? , 且2sin 2 +cos2 ? B+C ? =2 cos 2 ? cos 2 A 3 2 2 4 2 14 ? ?1 ? cos A ? +2 cos 2 A ? 1 ? 2 ? ? ? 9 3 9
2 2 2 2

(2)由a ? b ? c ? 2bc cos A得

2 4 2bc 3=b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? 2bc ? bc ? ? 3 3 3 9 即? bc ? 2 ? S?ABC 1 1 9 9 5 3 5 ?2? ? bc sin A ? ? ? 1 ? ? ? ? ? = 2 2 2 4 3 4 ?3?
3 5 4
2

? ?ABC 面积的最大值为

19. (1)连接 A1B,设 A1B∩AB1=E,连结 DE,

∵ABC—A1B1C 是正三棱柱且 AA1=AB, ∴四边形 A1ABB1 是正方形,∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点,∴DE//A1C ……………………3 分 DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D,∴A1C//平面 AB1D ……………………4 分 (2)∵平面 B1BC1⊥平面 ABC 且 AD⊥BC,∴AD⊥平面 B1BCC1, 又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D, 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H,则 CH 的长度就是点 C 到平面 ABCD 的距离 由△CDH∽△B1DB 得: CH ?

BB1 ? CD 5 , ? B1 D 5
5 5
……………………8 分 (或者等体积法)

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

(3)在平面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F, 在平面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连结 DG。

∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1,FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1, ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 ……6 分 ∵A1A=AB=1,在正△ABC 中, DF ?

3 3 3 2 ,在△ABE 中,FG= BE ? 4 4 8

在 Rt△DFG 中, tan?FGD ?

DF 6 , ? FG 3 6 3
……………………12 分
1 x

∴二面角 B—AB1—D 的大小为

20.解: (1) m ? 1 时,令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ? 2 ln x ,
h '( x) ? 1 ? 1 2 ? x ? 1? ? ? ? 0 , ? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 x2 x x2
2

又 h(1) ? 0 ,所以 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 内无实数根 (2) mx ?

。 。 。 。 。 。5 分

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x2 ? 1

又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 令 G ? x? ?
G '? x? ?

2 x ? 2 x ln x ,只需 m 小于 G ? x ? 的最小值, x2 ? 1

?2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

? 1?

2

?1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G ' ? x ? ? 0 ,
? G ? x ? 在 ?1, e?上单调递减,? G ? x ? 在 ?1, e?的最小值为 G ? e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ??,
? ? 4e ? ? e ?1 ?
2

4e , e ?1
2

12 分

21.解析: (1)设数列 {an } 的公差为 d , 由题意得 ?

? a1 ? d ? 2 ?a1 ? 1 n2 ? n ,解得 ? ,∴ an ? n ,∴ Sn ? 。 2 d ? 1 5 a ? 10 d ? 15 ? ? 1
bn ?1 1 n ? 1 ? ? , bn 2 n

(2)由题意得

叠乘得 bn ?

bn bn?1 ? ? bn?1 bn?2

?

b2 1 n n ?1 ? b1 ? ( )n ( ? ? b1 2 n ?1 n ? 2
① ②

2 n ? )? n . 1 2

由题意得 Tn ?

1 2 3 n ? 2? 3? ? n 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 ②—① 得: Tn ? ? ? ? 2 2 4 8
∴ Tn ? 2 ?

1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2

n?2 2n

(3)由上面可得

2Sn (2 ? Tn ) n 2 ? n n2 ? n ? f ( n ) ? ,令 , n?2 2n 2n
3 3 5 15 , f (3) ? , f (4) ? , f (5) ? 。 2 2 4 16

则 f (1) ? 1 , f (2) ?

n2 ? n 下面研究数列 f (n) ? 的单调性, 2n
∵ f (n ? 1) ? f (n) ?

(n ? 1)2 ? n ? 1 n 2 ? n (n ? 1)(2 ? n) ? n ? , 2n?1 2 2n ?1

∴ n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 , f (n ? 1) ? f (n) ,即 f ( n) 单调递减。 ∵集合 M 的子集个数为 16,∴ M 中的元素个数为 4,

n2 ? n ? λ , n ? N ? 解的个数为 4, ∴不等式 n 2


15 ? λ ?1 16

22.解:(1)当 a =-3 时, f ( x) ? ?

x?2 ? ?? 2 x ? 5 1 2 ? x ? 3, ? x?3 ? 2x ? 5

不等式 f(x)≥3 的解集为 x x ? 1, 或x ? 4

?

?…………………5 分

(2)|x + a| + |x-2|≤|x-4|,有|x + a| ≤|x-4|-|x-2|, 当 x ? [1,2] 有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即 ? 3 ? a ? 0 …………………10 分


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