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人教版必修二第一章-空间几何体(答案解析)


人教版必修二第一章-空间几何体-A
一、选择题(共 10 小题) 1. (2015?新课标 II)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ABC 体积的 最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣A

BC 的体积最大,利用三棱锥 O﹣ABC 体积的最大 值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VO﹣ABC=VC﹣AOB= 故选 C. = =36,故 R=6,则球 O 的表面积为 4πR =144π,
2

【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ ABC 的体积最大是关键. 2.(2013?上海)若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为( ) A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 【分析】设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为 由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比. 【解答】解:设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式, 可得它们的表面积分别为 S1=4 ∵两个球的表面积之比为 1:4, ∴ = = = ,解之得 = (舍负) ,S2=4 = ,解之得 = ,

因此,这两个球的体积之比为

=

=(

)=

3

即两个球的体积之比为 1:8 故选:C 【点评】本题给出两个球的表面积之比,求它们的体积之比.着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识,属于基 础题.

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3.(2013?新课标Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器 注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 M,可得圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为 R,根 据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm, 而圆 M 的半径为 4, 由球的截面圆性质建立关于 R 的方程并解出 R=5, 用球的体积公式即可算出该球的体积. 【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆 M, 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图. 设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm, 2 2 2 而圆 M 的半径为 4,由球的截面圆性质,得 R =(R﹣2) +4 , 解出 R=5, ∴根据球的体积公式,该球的体积 V= 故选 A. = = .

【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公 式等知识,属于中档题. 4. (2015?浙江)如图,某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成,则该组合体三视图的俯视图为( )

A.

B.
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C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】计算题;数形结合;空间位置关系与距离. 【分析】直接利用三视图判断俯视图即可. 【解答】解:简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成,左侧是圆锥,右侧是圆柱,俯视图为:三角形与矩形组成, 故选:D.
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【点评】本题考查空间几何体的三视图的判断,是基础题. 5.(2015?徐汇区模拟)长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积 是( ) A.20 π B.25 π C.50π D.200π 【分析】设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求出球的表面积. 2 2 2 2 【解答】解:设球的半径为 R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线,则(2R) =3 +4 +5 =50, ∴R= .
2

∴S 球=4π×R =50π. 故选 C 【点评】本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题. 6.(2013?甘肃模拟)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积. 【解答】解:正四棱柱高为 4,体积为 16,底面积为 4,正方形边长为 2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 , ∴球的半径为 ,球的表面积是 24π, 故选 C. 【点评】本题考查学生空间想象能力,四棱柱的体积,球的表面积,容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球 的直径,导致出错. 7.(2013?广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

A.4

B.

C.

D.6

【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可. 【解答】解:几何体是四棱台,下底面是边长为 2 的正方形,上底面是边长为 1 的正方形,棱台的高为 2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直, 四楼台的体积为 V= = .

故选 B. 【点评】本题考查三视图与几何体的关系,棱台体积公式的应用,考查计算能力与空间想象能力. 8. ( 2016? 松 江 区 二 模 ) 如 图 , 圆 锥 形 容 器 的 高 为 h , 圆 锥 内 水 面 的 高 为 h 1 , 且 h 倒 置 , 水 面 高 为 h2, 则 h2 等 于 ( )
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,若将圆锥

A.

h B.

C.

h D.

h

【 考 点 】 旋 转 体 ( 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 ). 【专题】数形结合;等体积法;立体几何.
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【 分 析 】 根 据 水 的 体 积 不 变 列 出 方 程 解 出 h2. 【 解 答 】 解 : 设 圆 锥 形 容 器 的 底 面 积 为 S, 则 未 倒 置 前 液 面 的 面 积 为 ∴ 水 的 体 积 V= ﹣ = . .

设 倒 置 后 液 面 面 积 为 S′, 则

, ∴ S ′=

.

∴ 水 的 体 积 V=

=

.



, 解 得 h2=

.

故 选 : D. 【点评】本题考查了圆锥的结构特征,圆锥的体积计算,属于中档题. 9.(2014?陕西)已知底面边长为 1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为( A. B.4π C.2π D.

)

【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径 R=1,最后根据球的 体积公式,可算出此球的体积. 【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 , ∴正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=1 根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π. 故选: D. 【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公 式和球的体积公式等知识,属于基础题. 二、填空题(共 6 小题) 10. (2016?天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 2 m
3 3

第 4 页(共 11 页)

【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,进而可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 2 棱锥的底面是底为 2,高为 1 的平行四边形,故底面面积 S=2× 1=2m , 棱锥的高 h=3m, 故体积 V= =2m ,
3

故答案为:2 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键. 11.(2013?新课标Ⅱ)已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表

面积为 24π . 【分析】 先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O﹣ABCD 的高, 再利用直角三角形求出正四棱锥 O﹣ABCD 的侧棱长 OA,最后根据球的表面积公式计算即得. 【解答】解:如图,正四棱锥 O﹣ABCD 的体积 V= sh= ( ∴OH= , × )× OH= ,

在直角三角形 OAH 中,OA= 所以表面积为 4πr =24π; 故答案为:24π.
2

=

=

【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题. 12.(2013?新课标Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面 的面积为 π,则球 O 的表面积为 .

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【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式,设球的半径为 R,根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得 的截面圆的面积是 π,我们易求出截面圆的半径为 1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾 股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积. 【解答】解:设球的半径为 R,∵AH:HB=1:2,∴平面 α 与球心的距离为 R, ∵α 截球 O 所得截面的面积为 π, ∴d= R 时,r=1, 故由 R =r +d 得 R =1 +( R) ,∴R = ∴球的表面积 S=4πR = 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

【点评】若球的截面圆半径为 r,球心距为 d,球半径为 R,则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足 勾股定理,即 R =r +d 13.(2009?全国卷Ⅰ)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积 为 3π,则球 O 的表面积等于 16π .

【分析】由题意求出圆 M 的半径,设出球的半径,二者与 OM 构成直角三角形,求出球的半径,然后可求球的表 面积. 【解答】解:∵圆 M 的面积为 3π,∴圆 M 的半径 r= , 设球的半径为 R, 由图可知,R = R +3,∴ R =3,∴R =4. ∴S 球=4πR =16π. 故答案为:16π 【点评】本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心 的连线的关系,是本题的突破口,解题重点所在,仔细体会. 14.(2013?湖北)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天 池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 3 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【分析】由题意得到盆中水面的半径,利用圆台的体积公式求出水的体积,用水的体积除以盆的上地面面积即可得 到答案. 【解答】解:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸, 下底面半径为 6 寸,高为 18 寸. 因为积水深 9 寸,所以水面半径为 寸.
2 2 2 2 2

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则盆中水的体积为 所以则平地降雨量等于 故答案为 3. (寸).

(立方寸).

【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是基础题. 15.(2014 秋?扶余县校级期末)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, ,则球 O 的表面积等于 16π . 【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论. 【解答】解:如图所示,设球 O 的半径为 r,AB 是公共弦,∠OCK 是面面角 根据题意得 OC=
2

,CK=
2 2

在△OCK 中,OC =OK +CK ,即 ∴r =4 2 ∴球 O 的表面积等于 4πr =16π 故答案为 16π
2

【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题(共 14 小题) 16. (2016?江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P﹣A1B1C1D1,下部的形状是 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大?

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【分析】(1)由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍,可得 PO1=2m 时,O1O=8m,进而可得仓库的容积; (2)设 PO1=xm,则 O1O=4xm,A1O1= 用导数法,可得最大值. 【解答】解:(1)∵PO1=2m,正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. ∴O1O=8m, ∴仓库的容积 V= × 6× 2+6 × 8=312m , (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m, 设 PO1=xm, 则 O1O=4xm,A1O1= 则仓库的容积 V= × (
2 2 2 3

m,A1B1=

?

m,代入体积公式,求出容积的表达式,利

m,A1B1= ? ) ?x+(
2

? ?

m, ) ?4x=
2

x +312x,(0<x<6),

3

∴V′=﹣26x +312,(0<x<6), 当 0<x<2 时,V′>0,V(x)单调递增; 当 2 <x<6 时,V′<0,V(x)单调递减; 故当 x=2 时,V(x)取最大值; 即当 PO1=2 m 时,仓库的容积最大. 【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值,难度中档. 17. (2016 春?重庆校级月考)画出图中两个几何体的三视图.

【分析】利用三视图的画法,直接画出几何体的三视图. 【解答】解:(1)如图

第 8 页(共 11 页)

(2)如图

【点评】本题考查三视图的画法,考查作图能力,是基础题. 18. (2015 秋?安阳校级期末)已知一个空间组合体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 请说出该组合体由哪些几何体组成,并且求出该组合体的表面积和体积.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是上部为半球体,下部为圆柱体的组合体; 结合图中数据求出它的表面积与体积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是上部为半球体, 下部为圆柱体的组合体;…(2 分) 且半球体与圆柱体的直径都是 2, 圆柱体的高是 1, ; 所以,该几何体的表面积是: 2 2 S=2π×1 +2π×1×1+π×1 =5π;…(6 分)
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体积是:V= × π×1 +π×1 × 1=

3

2

.…(10 分)

【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积与表面积的应用问题,是基础题目. 19. (2016 春?定州市校级月考)直角梯形的一个内角为 45° ,下底长为上底长的 ,这个梯形绕下底所在直线旋转一 周所成的旋转体的全面积是(5+ )π,求这个旋转体的体积. 【分析】画出旋转前的图形,判断构成组合几何体的简单几何体的特征,求出相应的几何量,即可求解整体的体积. 【解答】解:如图,梯形 ABCD,AB∥CD,∠A=90° ,∠B=45° ,绕 AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合 体. 设 CD=x,AB= AD=AB﹣CD= ,BC= ,

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S 全面积=S 圆柱底+S 圆柱侧+S 圆锥侧 2 =πAD +2πAD?CD+π?AD?BC = = 根据题设 ∴x=2, ∴旋转体体积 ,

= =

【点评】本题考查组合体的结构特征,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 20. (2013 秋?七里河区校级期末)如图是一个圆台形的纸篓(有底无盖), 它的母线长为 50cm, 两底面直径分别为 40cm 2 和 30cm;现有制作这种纸篓的塑料制品 50m ,问最多可以做这种纸篓多少个?

. 【分析】利用圆台的侧面积公式与圆面积公式,算出制作一个纸篓所用的塑料制品的面积,再用 50m 除以这个面 积,即可得到最多可以做这种纸篓的个数. 【解答】解:设圆台两底半径分别为 r、r',母线为 l, 可得它侧面积 S 侧=π(r+r')l=π(15+20)×50=1750πcm , 2 2 ∵纸篓底的面积 S 底=πr =225πcm , 2 2 ∴纸篓的全面积为 S=1750π+225π=1975πcm ═0.1975π(m ) 因此,用制作这种纸篓的塑料制品 50m ,最多可以做这种纸篓 答:用制作这种纸篓的塑料制品 50m ,最多可以做这种纸篓约 80 个.
2 2 2 2

80(个)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

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【点评】本题给出实际应用问题,求制作纸篓的最多数目.着重考查了圆台的侧面积公式与圆面积,旋转体表面积公 式的实际应用的知识,属于基础题.

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