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高三数学文化班专项练习(2)2009


高三数学文化班专项练习( 2) 2009-9-17
一、填空题 1.已知等差数列 {an } 满足: a1 ? ?8, a2 ? ?6 .若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数,所得的三 个数依次成等比数列,则所加的这个数为 2.平面内有向量 OA ? (1,7),OB ? (5,1),OP ? (2,1) ,点 X 为直线 OP 上的一个动点 .当

XA ? XB 取最小值时, Ox 的坐标为
3.设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则
?x ? 0

? a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为
4 分为面积相等的两部分, 3

4.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?
?3 x ? y ? 4 ?

则 k 的值是 5.数列{an }中,a1 =6 ,且 an ? an ?1 ? an = 6.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by =3,a+b=2 3 ,则

an ?1 ? n ? 1 ,(n∈N* ,n≥2),则数列{an }的通项公式 n

1 1 ? 的最大值为 x y
. .

7.若关于 x 的不等式(2x-1)2 <ax2 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 8.若向量 a , b 满足 a ? 1,

? ,则 a ? b ? 3

9.设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ?

10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 2 =10, S 5 ? 55 ,则写出过点 P( n, a n ) 和 Q( n ? 2, an?2 ) ( n ? N * )的直线的一个方向向量的坐标 11. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 . 如 图 所 示 , 点 C 在 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 AB 上 变 动 . 若
o

? R, 则 x ? y 的 最 大 值 是 OC ? xOA ? yOB, 其 中 x, y
=________.

12.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

1

13. 已知函数 f ( x) ? 2x , 等差数列 {ax } 的公差为 2 . 若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 , 则

log2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ?

? f (a10 )] ?

.

14.已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 二、解答题 15.已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos( ? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? , 求 cos ? 的值 2

16.设 a1 , a2 ,

,且公差 d ? 0 ,若将此数列 , an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 )

删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列。求当 n =4 时,

a1 的数值; d

2

17. 围建一个面积为 360m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的 维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数(y 表示总费用) ; (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

18. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x , 若对任意 x 1 、 x 2 ∈R , 恒有 2f( 成立,不等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A;

x1 ? x2 ) ≤f(x 1 )+f(x 2 ) 2

(2)设集合 B ? {x || x ? 4 |? a} ,若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围.

3

19.已知等差数列{an }的首项 a1 >0,公差 d>0,前 n 项和为 Sn ,设 m、n、p∈N , 且 m+n=2p, (1)求证:Sn +Sm≥2Sp ; (2)求证:Sn ·Sm≤(Sp )2 ;
2009

*

(3)若 S1005 =1,求证:

?S
n ?1

1
n

? 2009 。

4

参考答案: 1、 -1; 2、 ( 4, 2) ; 3、1 ? 2 ; 4、 8、 7 ;9、2;10、 (?

7 ? 25 49 ? ; ; 5、? n ? 1?? n ? 2? ; 6、 1; 7、? , 3 ? 9 16 ? ?

1 4 ;11、2;12、1;13、-6;14、 ? ??, ?1? ,? ) 3 3

?3, ??? ;

15. (1)

? 2 5 5 2 , cos ? ? ;(2) cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5 2

21世 纪 教

16.解:当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0. 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1 a4 , 即 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 3d ?
2

化简得 a1d ? 4d 2 =0,因为 d ≠0,所以

a1 =4 ; d
2

若删去 a3 ,则有 a2 ? a1 a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ,故得 综上

a1 =1. d

a1 =1 或-4. d

17、 解: (1 ) 如图, 设矩形的另一边长为 a m, 则 y 2 -45x-180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360,

由已知 xa=360, 得 a=

3602 360 ? 360( x ? 0) , 所以 y=225x+ x x

.

(II)? x ? 0,? 225x ?

360 3602 ? 360 ? 104402 ? 2 225? 3602 ? 10800? y ? 225x ? x x

2

3602 25x= 时,等号成立. ,即 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 x
元.
.

18.解: (1)对任意 x 1 、 x 2 ∈R , 由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

x1 ? x 2 1 ) ? a( x1 ? x 2 ) 2 ≥0 成立. 2 2

2 要使上式恒成立,所以 a ? 0 。由 f(x)=ax +x 是二次函数知 a ≠ 0 ,故 a > 0. 解得

5

1 A ? ( ? ,0) 。 (2) 解得 B ? (?a ? 4, a ? 4) ,因为集合 B 是集合 A 的子集,所以且 a 1 ? a ? 4 ? ? ,化简得 a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? ?2 ? 5 a

n2 ? m2 ? 2mn,? 2 ? n2 ? m2 ? ? ? m ? n ? ? n 2 ? m2 ? 2 p 2
2

19.(1) Sm ? Sn ? (m ? n)a1 ?

n(n ? 1) ? m(m ? 1) d 2 n 2 ? m2 ? 2 p 2 p2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d ? 2 pa1 ? d ? 2S p 2 2

(2)

m ? n ? 2 mn ,? 2 p ? 2 mn .? p 2 ? mn am ? an ? 2a p ,? ? a p ? ? am an
2

a12 ? a1 (am ? an ) ? am an ? mn(a1 ? an ) ? a1 ? am ? mn ? ? ? ? Sm Sn ? ? 4 4 2 2 2 p ? ? a1 ? 2a1a p ? a p ? ? ?S 2 ? p 4

(3)由上可得,
2009 n ?1

1 1 S ? Sn 2 ? ? m ? Sm Sn Sm Sn Sp

?? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ? ? ? ?( ? )? Sn S1 S2009 S2 S2008 S1004 S1006 S1005

2 ?1004 ? 1 ? 2009 S1005

6


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