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(必修5优秀课件)2[1].3


高 斯 的 故 事

高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上 写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓 励他,老师买了一本数学书送给他。
思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出 它的值呢?

问题1
100 +99+98+ …+2 +1

1 . 计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100

100 ? ( 1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 50 2

2 . 计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1 ) ? n n+(n-1) + (n-2) +…+ 2 +1

n ? ( n ? 1 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1 ) ? n ? 2

问题2
? 如图,建筑工地上一堆圆木,从上到下每层 的数目分别为1,2,3,……,10 . 问共有多 少根圆木?请用简便的方法计算.

数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列 { an }的首项a1,项数n,第n项an,求前n项 和Sn的计算公式;(2)对此公式进行应用。
数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,…

我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列{ an } 的前n项和,记作Sn

公式的推导
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

?

n ( a ? a ) 1 n ? S ? ? ? ? ? ( 1 ) n 2
思考:若已知a1及公差d,结果会怎样呢? n ( n ? 1 ) S ? na ? d ? ? ? ( 2 ) n 1 2

=n(a1+an)

n个

此种求 和法称 为倒序 相加法

等差数列的前n项和公式的其它形式
n ( n ? 1 ) S na d ? ? ? ? ? ? n? 1? 2
a ? a ? ( n ? 1 ) d n 1

n ( a 1 ?a n) Sn ? 2

分析公式的结构特征
设 A?d,B?a ?d 上式可写成Sn=An2+Bn 1
n ( n ? 1 ) d d 2 S ? na ? d ? n ? ( a ? ) n 若a1、d是确定的,那么 n 1 1 2 2 2

若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且缺常数项。

2

2

例3 等差数列-10,-6,-2,
2,…前多少项的和是54? 本题实质是反用公式,解一 个关于n 的一元二次函数,注 意得到的项数n 必须是正整数.
下一页

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54

nn ( -1 ) a d n=n 1+ 根据等差数列前n项和公式: s 2

2 整 理 后 , 得 n 62 n -7 = 0

解得

n1=9, n2=-3(舍去)

因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和 是54. 下一页

五、小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导; 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用;
n(a 1 ?a n) Sn ? 2
n ( n ? 1 ) S na d n? 1? 2

说明:两个求和公式的使用-------知三求一.

3. 等差前n项和Sn公式的理解.


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