当前位置:首页 >> 其它课程 >>

亳州市2014年高中教师资格认定无生上课数学教案


必修 3

§1.5 数据的数字特征

一、教学背景分析:在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、 极差、方差等,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要 求与《标准》的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学 段相应部分的内容.)在这个基础上高中阶段还将进一步学习标

准差,并在学习中不断地体 会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征. 二、教学目标:1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适 当的数字特征来表达数据的信息, 培养学生解决问题的能力.2、 通过实例理解数据标准差的 意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力. 三、教学重、难点 教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用. 教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息. 四、设计思路 1、 教法构想: 本节教学设计依据课程标准, 在义务教育阶段的基础上, 进一步掌握平均数、 中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例,让学生理解数 字特征的意义,并能选择适当的数字特征来表达数据的信息. 2、学法指导:学生自主探究,交流合作,教师归纳总结相结合. 五、教学实施 (一) 、 导入新课 提出问题:小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲 戚组成.工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营的很顺利, 需增加一个新工人, 小亮 需要一份工作,应征而来与小明交谈 .小明说: “我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300 元.你在学徒期每周 75 元,不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说: “你欺 骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么可 能是一周 300 元呢?”小名说: “小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一张 工资表.”工资表如下: 人 员 周工资 人 数 小明 2400 1 小明弟 1000 1 亲戚 250 6 领工 200 5 工人 100 10

合 计

2400

1000

1500

1000

1000

这到底是怎么了?(学生思考交流).教师点出课题:数据的数字特征 (二) 、推进新课 Ⅰ、新知探究 提出问题:1、什么叫平均数?有什么意义?2、什么叫中位数?有什么意义?3、什么叫众 数?有什么意义?4、什么叫极差?有什么意义?5、什么叫方差?有什么意义?6、什么叫 标准差?有什么意义? 讨论结果: 1、 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数为 x ? 平. 2、 一组数据按从小到大的顺序排成一列, 处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数 据的中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势. 3、 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个, 也 可能没有,反映了数据的集中趋势. 4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况. 5、方差是样本数据到平均数的平均距离,一般用 s 表示,通常用公式
2

x1 ? x2 ? ? ? xn .平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水 n

1 数 s 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大, n
据的离散程度越大.方差越小数据的离散程度越小. 6、标准差等于方差的正的平方根,即 s ? 均数的波动程度的大小. Ⅱ、应用示例 例 1 某公司员工的月工资情况如表所示: 月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500

s 2 ,与方差的作用相同,描述一组数据围绕平

员工/人

1

2

4

6

12

8

20

5

2

(1) 、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数. (2) 、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导 呢? 解: (1)经计算可以得出:该公司员工月工资的平均数为 1373 元,中位数为 800 元,众数 为 700 元.(2) 、公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数;而税务官希望取中 位数,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数,因 为每月拿 700 元的员工最多. 点评: 平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量, 它是反映数据平均水平最常用的统计 量; 中位数将观测数据分成相同数目的两部分, 其中一部分都比这个数小而另一部分都比这 个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量时, 众数往往经常被使用. 变式训练:1、下表是某班 40 名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表: 分数 0 1 2 3 4 5

人数

4

7

10

x

8

y

请参照这个表解答下列问题: (1)用含 x,y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平 均分 f ;(2)若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分,求 x, y 的值.

x ?7 3 x ? 5 y ? 41 3x ? 5 y ? 59 解: (1) f ? ;(2)依题意,有 x ? y ?11 解得 y ? 4 40

{

{

例 2 甲、乙两台机床同时生产直径是 40mm 的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的 产品中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示 甲 乙 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品直径的标准差. 解:从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这 10 件产品直径的平均值 x甲 ? x乙 ? 40(mm) . 我们分别计算它们直径的标准差:

s甲 ? [(40 ? 40) 2 ? (39.8 ? 40)2 ? ? (39.8 ? 40)2 ] /10 ? 0.161(mm) s乙 ? [(40 ? 40) 2 ? (40 ? 40) 2 ? ? ? (39.9 ? 40) 2 ] /10 ? 0.077(mm)
由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产 品直径的标准差为 0.161mm,比乙机床的标准差 0.077mm 大,说明乙机床生产的零件更标准 些,即乙机床的生产过程更稳定一些. 点评:对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境 中的应用,而不是记忆和使用的熟练程度. Ⅲ、知能训练 1、 下列说法正确的是(D )

A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样. B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好. C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好. D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好. 2、 (2007 海南高考,理 11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的 测试成绩如下表: 甲的成绩: 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5

乙的成绩: 环数 频数 丙的成绩: 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4 7 6 8 4 9 4 10 6

s1、s2、s3 分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差,则有(C)
A. s1 ? s2 ? s3 B. s3 ? s1 ? s2 C. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s3 ? s1

3、某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由 此求出的平均数与实际平均数的差是 Ⅳ、拓展提升 甲、乙两种玉米苗各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm) 甲 乙 25 27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40 -3

问: (1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐? 解: (1) x甲 ? 30(cm) , x乙 ? 31(cm) (2)

? x甲 ? x乙 ,即乙种玉米的苗长得高.
即甲种玉米的苗长得齐.

s甲2 ? 104.2(cm 2 ), s乙2 ? 128.8(cm 2 )

? s甲2 ? s乙2

(三) 、课堂小结: 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、 标准差的计算、意义和作用,让学生体会所学内容与现实世界的密切联系. (四) 、作业: 课本 30—31 页 六、设计体会(教后反思) 统计的学习,本质上是统计活动的学习,而不是概念和公式的学习.因此在本节教学设 计中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际,充分挖掘学生生活中与数据有关的素材, 使他们体会所学内容与现实世界的密切联系.另外,在教学活动中,还要特别加强小组活动 的组织与教学,并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想. 习题 1—4 1、2.

§2 算法框图的基本结构及设计
第 1 课时 §2.1《顺序结构与选择结构》教学设计

一、教材分析:
算法是数学及其应用的重要组成部分, 是计算科学的重要基础。 随着现代信息技术的飞 速发展,算法在科学技术和社会发展中中发挥的作用越来越大。但是,用自然语言表示的算 法步骤有明确的顺序性, 而对于在一定条件下才被执行的步骤, 以及在一定条件下会被重复 执行的步骤,用自然语言表示就显得很困难,而且不直观、不准确。 本节内容就是探究使算法表述更直观、 准确的方法--算法框图。 算法框图用图形的方式 表述算法,使算法的结构更清楚、步骤更直观,更准确。为了更好地学习算法框图,我们需 要掌握程序框的画法和功能,需要熟练掌握算法的三种基本结构。

二、学情分析:
学生已经掌握的算法的概念和特征, 体会了算法的基本思想, 会用自然语言表述一些简 单问题的算法。但是对于一些较复杂问题的算法却不会表述。

三、教学目标:
1、知识与技能: (1)了解算法框图的概念,掌握各种框图符号的功能。 (2)了解顺序结构和选择结构的概念,能用算法框图表示顺序结构和选择结构。 2、过程与方法: (1)通过学习算法框图的各个符号的功能,培养学生对图形符号语言和数学文字语言的转 化能力。 (2)学生通过模仿、操作、探索,经历设计算法框图表达解决问题的过程,在具体问题的 解决过程中理解流程图的结构。 3、情感、态度与价值观: 学生通过动手,用程序框图表示算法,进一步体会算法的基本思想,体会数学表达的准 确与简洁,培养学生的数学表达能力和逻辑思维能力。

四、重点难点
教学重点:各种程序框图功能,算法的顺序结构与选择结构。 教学难点:选择结构的算法框图。

五、学法指导:学生通过动手作图,用自然语言表示算法,用图表示算法,体会到用
流程图表示算法,简洁、清晰、直观、便于检查,经历设计流程图表达解决问题的过程。进 而学习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。

六、教学方法:六环节导学式教学方法 七、辅助措施:导学案及多媒体辅助教学 八、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计思路

自主 学习

1、 算法和算法框图的概念 2、 程序框的名称和功能 3、 算法的结构及其算法框图

教师提问导学案上自 主学习的问题,学生 回答 1、 学生按分组情况 合作探究 2、 叫学生上黑板板 书探究结果 3、 同学先纠正前面 学生板书的问题 4、 教师最后纠正和 评价

复习导入,为本节内 容的学习做铺垫

合作 探究

4、 顺序结构的算法框图案例 例 1、例 2 5、 选择结构的算法框图案例 例 3、例 4

1、 给学生提供合作 探究的环境 2、 培养学生动手实 践的能力 3、 纠正学生存在的 问题

课堂 小结

1、算法框图的概念 2、各种程序框的功能 3、顺序结构和选择结构的 算法框图

学生总结,教师点评

培养学生总结和概括 知识的能力

当堂 检测 课后 巩固 纠错 反思

详细内容见多媒体课件

学生解答

检测学生学习效果, 给学生一个展示自己 的平台 进一步巩固本节所学 的内容 纠正错误,巩固提高

作业:课本 P88 练习 1,2

课后完成 教师利用辅导时间指 导学生进行反思

九、课后反思:

§3.2.3 互斥事件(一)
一、教学目标: 1、 知识与技能: 通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式, 并能简单应用. 2、过程与方法:发现法教学,学生通过在抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果, 发现规律,得到互斥事件的概率加法公式.通过正确的理解,准确利用公式求概率. 3、情感态度与价值观:通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与 现实世界的联系;体会数学思维的严密性,发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、 解决问题的能力. 二、重点与难点:互斥事件 概率的加法公式及其应用

三、教学用具:计算机及多媒体教学. 四、教学过程: (一) 、新课引入: (1)日常生活中,我们总有些事件不同时进行.(互斥事件) (2)从字面上理解“互斥事件” (二)基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.

A 、 B 互斥,即事件 A 、 B 不可能同时发生(学生自己举例理解)
(三) 、实例分析:抛掷一枚骰子一次,下面的事件 A 与事件 B 是互斥事件吗? (1)事件 A=“点数为 2”,事件 B=“点数 3” (2)事件 A=“点数为奇数”,事件 B=“点数为 4” (3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” (4)事件 A=“点数为 5”,事件 B=“点数超过 3” 解:互斥事件: (1) (2) (3) 但(4)不是互斥事件,当点为 5 时,事件 A 和事件 B 同时发生 进一步利用集合意义理解互斥事件; A B A B

从集合角度来看, A 、 B 两个事件互斥,则表示 A 、 B 这两个事件所含结果组成的集 合的交集是空集.A 与 B 有相交,则 A 与 B 不互斥. (四) 、事件和的意义:事件 A 、 B 的和记作 A ? B ,表示事件 A 、 B 至少有一个发生. 当 A 、 B 为互斥事件时,事件 A ? B 是由“ A 发生而 B 不发生”以及“ B 发生而 A 不发生” 构成的, (五) 、事件 A ? B 的概率满足加法公式:对例题 (1),(2)和(3)中每一对事件,完成下表 (1) P(A) P(B) P(A+B) P(A)+P(B) (2) (3) 学生自己完成表,自己发现 P(A+B) 与 P(A)+P(B) 有 什 么 样大小关系.得到概率加法公 式: A 、 B 互斥时

P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ?

(4)事件 A=“点数为 5”,事件 B=“点数超过 3” ,是否也有 P(A+B)=P(A)+P(B)? 概率加法公式:A、B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 拓展推广:一般地,如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么事件发生(即 A1,A2,?, An 中有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率的和,即 P(A1+A2+?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 例如:事件 A 表示“点数为奇数” ,事件 A1 表示“点数为 1”,A2 表示“点数为 3”,A3 表示 “点数 5” , A1,A2,A3 中任意两个是互斥事件 P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

自主学习: (要求学生自己阅读) 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设 A=: “抽到的是一等品” ,B= “抽到的是二等品” ,C= “抽到的是三等品”.且(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05 . 求下列事件的概率:⑴事件 D=“抽 到的是一等品或三等品” ⑵事件 E=“抽到的是二等品或三等品” 思考交流:事件 D+E 表示什么事件?P(D+E)=P(D+E)?为什么?(学生自己思考得出结论) 用概率加法公式的前提:A 与 B 是互斥事件 对立事件的概念:1、由实例中(3)事件 A=“点数不超过 3”,事件 B=“点数超过 3” P(A)+P(B)=1 分析引入

2、从集合的意义来理解. 例题讲解:课本第 143 页例 6 本例题目的:利用对立事件求概率,强调学生做题书写表达要清晰准确. (六) 、课堂练习:1、课本第 145 页练习 1 2、补充练习 (1) . 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件 A:两次都击中飞机.事件 B:两次都 没有击中飞机. 事件 C:恰有一次击中飞机.事件 D:至少有一次击中飞机.其中互斥事件是 . (2) 、已知 A、B 为互斥事件,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,P(B)= (3) 、经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人及 5 人以上 0.04

①至少 1 人排队等候的概率是多少?②有排队等候的概率是多少?

(七) 、 小结:概率的基本性质: (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤ P(A)≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 P(A)=1—P(B); (4)互斥事件与对立事件的区别与联系:对立事件互 斥事件的特殊情形. (八) 、作业:课本第 150 页 第 8、9 题 五、教后反思:

必修 4
§3 弧度制(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)理解 1 弧度的角及弧度的定义; (2)掌握角度与弧度的换 算公式; (3)熟练进行角度与弧度的换算; (4)理解角的集合与 实数集 R 之间的一一对应关系; (5)理解并掌握弧度制下的弧长 公式、扇形面积公式,并能灵活运用这两个公式解题。 过程与方法 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念; 比较两种度量角的方法 探究角度制与弧度制之间的互化; 应用在特殊角的角度制与弧度 制的互化,帮助学生理解掌握;以针对性的例题和习题使学生掌 握弧长公式和扇形的面积公式;通过自主学习和合作学习,树立 学生正确的学习态度。 情感态度与价值观 通过弧度制的学习, 使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制 度,二者虽单位不同,但却是相互联系、辩证统一的;在弧度制

下,角的加、减运算可以像十进制一样进行,而不需要进行角度 制与十进制之间的互化,化简了六十进制给角的加、减运算带来 的诸多不便,体现了弧度制的简捷美;通过弧度制与角度制的比 较,使学生认识到引入弧度制的优越性,激发学生的学习兴趣和 求知欲望,养成良好的学习品质。 二、教学重、难点 重点: 理解弧度制的意义,正确进行弧度与角度的换算;弧长和 面积公式及应用。 难点: 弧度的概念及与角度的关系; 角的集合与实数之间的一一 对应关系。 三、学法与教学用具 在初中,我们非常熟悉角度制表示角,但在进行角的运算时,运 用六十进制出现了很不习惯的问题,与我们常用的十进制不一 样,正因为这样,所以有必要引入弧度制;在学习中,通过自主 学习的形式,让学生感受弧度制的优越性,在类比中理解掌握弧 度制。 教学用具:多媒体、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在初中几何里我们学过角的度量, 当时是用度做单位来度量
1 角的.我们把周角的 360 规定为

1 度的角,而把这种用度作单位

来度量角的单位制叫做角度制. 但在数学和其他科学中我们还经

常用到另一种度量角的单位制——弧度制。 下面我们就来学习弧 度制的有关概念.(板书课题)弧度制的单位是 rad,读作弧度. 【探究新知】 1.1 弧度的角的定义. (板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角, 叫做 1 弧度的 角(打开课件).如图 1—14(见教材),弧 AB 的长等于半径 r,则 弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角,弧度的单位记作 rad。 在图 1(课件)中,圆心角∠AOC 所对的弧长 l=2r,那么∠AOC 的弧度数就是 2rad; 圆心角∠AOD 所对的弧长
1 的弧度数就是 2 rad;圆心角∠AOE 1 l= 2 r, 那么∠AOC

所对的弧长为 l,那么∠AOE

的弧度数是多少呢?学生思考并交流, 此我们可以得到弧度制的 定义. 2.弧度制的定义: 一般地,(板书)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是 一个负数,零角的弧度数 是
l o;角α的弧度数的绝对值|α|= r

,其中 l 是以角α作为圆

心角时所对弧的长,r 是圆 的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制. 在弧度制的定义中, 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧 所对的圆心角的大小的. 为什么可以用这个比值来度量角的大小 呢 ?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 ?请同学们自主

学习课本 P12—P13,从课本中我们可以看出,这个比值与所取 的半径大小无关,只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它 进行理论上的证明: (论证)如图 1—13(见教材) ,设∠α为 n°(n°>0)的角, 圆弧 AB 和 AlBl 的长分别为 l 和 l1, 点 A 和 Al 到点 O 的距离(即 圆的半径)分别为 r(r>0)和 rl(rl>0), 由初中所学的弧长公式 有
n? n? l= 180 r,l1= 180 l r1,所以 r
l1 = r1

n? = 180

,这表明以角α为圆

心角所对的弧长与其半径的比值,与所取的半径大小无关,只与 角α的大小有关. 用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都 是 0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也 不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进 行换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算. 3.角度制与弧度制的换算. 现在我们知道: 1
2? 个周角=360°= r

r, 所以, (板书)360°

? =2πrad, 由此可以得到 180°=πrad, 1°= 180 ≈0. 01745rad,
180

1rad=( ? )°≈57.30°=57°18’ 。 说明:在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住 180°=πrad 这一关系式. 今后我们用弧度制表示角时, “弧度”二字或“rad”通常略去不

写, 而只写这个角所对应的弧度数. 例如, 角α=2 就表示是 2rad
? ? 的角, sin 3 就表示 3 rad

的角的正弦, 但用角度制表示角时, “度”

或“°”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度 数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如
? 45°= 4 rad

,不必写成 45°=0.785 弧度.

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法, 而角度制与 弧度制可以相互转化,所以与角α终边相同的角 ( 连同角α在 内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用 的单位制必须一致. 角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合 与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系: 每一个角都有唯一的 一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来,每一 个实数也都有唯一的一个角与它对应, 就是弧度数或度数等于这 个实数的角。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.把 45°化成弧度。
? ? 解:45°= 180 〓45rad= 4 rad.
3? 2.把 5



rad 化成度。

3? 解: 5

3 rad= 5 〓180°=108°.

例 3.利用弧度制证明扇形面积公式 弧长,r 是圆的半径。 证:∵圆心角为 1
1 的扇形的面积为 2?

1 S= 2 lr,其中

l 是扇形的

〃πr2,又∵弧长为 l 的
l S= r 1 〃2? 1 〃 πr2= 2 lr.

l 扇形的圆心角的大小为 r

, ∴扇形的面积

2.学生课堂练习 (1)填表 180 度 弧 度 0° 45° 60° °
? 6 ? 2
3? 2

360 °

说明:一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去 进行换算. (2)用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上的角集合。 五、归纳整理,整体认识 (1)主要学习了弧度制的定义;角度与弧度的换算公式;特殊 角的弧度数。 (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布置作业:习题 1—3 中的 1、2、6. 七、课后反思

正弦函数的图像和性质
教学目标: 1、 知识与技能目标 通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质, 运用其性质 解决相关问题 2、 过程与方法目标 通过主动思考,主动发现,亲历知识的形成过程,使学生对正弦函数的性质 有深刻的理解, 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归 转化的数学思想方法 3、 情感态度与价值观 用联系的观点看待问题,善于类比联想,直观想象,对数形结合有进一步认 识,激发学习数学的兴趣,养成良好的数学品质。 教学重点: 正弦函数的性质 教学难点: 正弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 正弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的 垂线,垂足为 M,则有 y sin ? ? ? MP ,向线段 MP 叫做角α 的正弦线, r 2.用单位圆中的正弦线作正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象(几何法) :

把 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象,沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每 次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 叫做正弦曲线

1 -6 ? -5 ? -4 ? -3 ? -2 ? -? -1

y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = sin?x?
3.用五点法作正弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是: 3? ? (0,0) ( ,1) (π ,0) ( ,-1) (2π ,0)
2

2

二、讲解新课: (1)定义域: 正弦函数的定义域是实数集 R[或(-∞,+∞)] , (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, 所以|sinx|≤1, 即 -1≤sinx≤1, 也就是说,正弦函数的值域是[-1,1] 其中正弦函数 y = sinx,x∈R ? ①当且仅当 x= +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 2 ? ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1 2 (3)周期性 由 sin(x+2kπ )=sinx,知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的 每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知,2π ,4π ,??,-2π ,-4π ,??2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是 这两个函数的周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 注意: 1.周期函数定义域 x∈M,则必有 x+T∈M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2.“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数; 3.T 往往是多值的(如 y=sinx 2π ,4π ,?,-2π ,-4π ,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k ≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx 可知:y=sinx 为奇函数 ∴正弦曲线关于原点 O 对称
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(5)单调性 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 3?

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1 2 2 结合上述周期性可知: ? ? 正弦函数在每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数, 2 2 ? 3? 其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是 2 2 减函数,其值从 1 减小到-1 三、讲解范例: 例 1 求使正弦函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的自变量 x 的集合,并说出 最大值是什么 解:令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且使函数 y=sinZ,Z ∈R ? 取得最大值的 Z 的集合是{Z|Z= +2kπ ,k∈Z} 2 ? 由 2x=Z= +2kπ , 2 ? 得 x= +kπ 4 即 使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的集合是 ? {x|x= +kπ ,k∈Z} 4 函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1
王新敞
奎屯 新疆

]的图象上可看出: , 2 2

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

例 2 求函数 y =

1 1 ? sin x

的定义域:

解:由 1+sinx≠0,得 sinx≠-1 3? 即 x≠ +2kπ (k∈Z) 2 3? ∴原函数的定义域为{x|x≠ +2kπ ,k∈Z} 2 ) 例 3 求下列三角函数的周期 1. y=sin(x+
? ) 3

2. y=3sin( +

x 2

? ) 5

解:1. 令 z= x+

? 而 sin(2π +z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即:f (2π +z)=f (z)

f [(x+2π )+ 2. 令 z= +
x 2

∴周期 T=2π

? 则 5

f (x) =3sinz=3sin(z+2π )=3sin( +

x 2

? x ? 4? ? +2π )=3sin( ? ) 5 2 5

=f (x+4π ) ∴周期 T=4π 四、课堂练习: 1. 求函数 y=|sinx|的周期: 1 2. 直接写出函数 y=1+ 的定义域、值域: sin x 3. 求下列函数的最值: (1) y=sin(3x+ )-1
? 4

(2)

y=sin2x-4sinx+5

五、课堂小结 正弦函数的性质、以及性质的简单应用,解决一些相关问题 六、课后作业:P57 习题 4.8 的第 1 题的第 13、小题,第 2 题的第 134 小题,第 9 题的 14 小题。 七、板书设计(略)
王新敞
奎屯 新疆

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像(一)教学 设计
西安市长安区第一中学
一.教材分析及重难点把握

程焕梅

(一)教材分析 1.地位与作用:本节内容选自普通高中课程标准实验教科书数学 4(必修) (北 师大版) .本节通过图像变换,揭示参数 A、ω 、 ? 变化时对函数图像的形状和 位置的影响,讨论函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像与正弦曲线的关系,以及 A、ω 、

? 的物理意义,并通过图像的变换过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是
研究函数图像变换的一个延伸, 也是三角函数性质的一个直观体现.这节是本章 的一个难点,也是高考考查的重点. 2.如何由正弦函数 y=sin x 的图像来得到函数 y=Asin(ωx+ ? )的图像呢?通 过引导学生对函数 y=sin x 到 y=Asin(ω x+ ? )的图像变换规律的探索,让学生 体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想;并通过对周期变换、相位变换先 后顺序调整后, 将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛 盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数 A、ω 、 ? 的分类讨论,让学生深刻 认识图像变换与函数解析式变换的内在联系. 3.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要教学模型。在数学和其

他领域中具有重要的作用,而三角函数图像的研究是三角函数中的重点内容之 一,学生通过观察函数图像将会更好掌握三角函数及其有关性质. 4.教学内容及课时安排:函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像(约 2 课时) 第一课时:利用图像变换法作函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像的方法; 第二课时:使学生根据实际问题或给定的函数图像反求 y=Asin(ω x+ ? )中 的各个字母参数,从而得到 y=Asin(ω x+ ? )的解析式,进一步培养学生数形 结合的能力,加强对 y=Asin(ω x+ ? )图像的认识. 本节课重点针对第一课时的教学内容来展开. (二) 目标分析 根据课程标准与教学内容并结合学生实际,确定本节课的教学目标为: 1.通过学生自主探究,理解 A、ω 、 ? 对函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像的影 响. 2.通过探究图像变换,熟练掌握“五点法”画函数 y=Asin(ω x+ ? )的简图, 并会用图像变换法画出函数 y=Asin(ω x+ ? )的简图. 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合的思想.培养学生的独立意识 和独立思考能力.培养合作意识,培养学生理解动与静的辨证关系,善于从运动 的观点观察问题, 培养学生抓主要矛盾解决问题的思想.在问题逐步深入的研究 中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树 立科学的人生观、价值观. (三)重难点分析 重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母 A、ω 、 ? 变化时对函数图像的形 状和位置的影响,掌握函数 y=Asin(ω x+ ? )的简图的作法. 难点:相位变换,周期变换先后顺序调整后对平移量的影响.
二.教法学法

(一)学情分析 从知识上来讲, 在高一年级第一学期的函数教学中学生已经基本掌握了一般 函数图像的平移变换、 对称变换等比较简单的函数图像变换的方法,但对于伸缩 变换还是初次明确提出, 并加以研究.所以平移变换与伸缩变换综合研究成为本 节课的难点. 从认知心理上来讲, 学生对于运用函数图像这一形象手段研究问题比较感兴 趣. (二)教法分析 教学过程是教师和学生共同参与的过程,要在课堂教学过程中,加强知识 发生过程的教学,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效

地渗透数学思想方法, 培养学生的思维品质.根据以上教学原则和所要完成的教 学目标,并为激发学生的学习兴趣,我采用如下的教学方法: (1)对比教学法:通过学生观察 y=A sin(ω x+ ? )的图像与 y=sinx 图像之间 的区别,理解 ? 、ω 、A 对函数图像的影响. (2)发现教学法:通过动态的图像演示,引导、启发学生发现问题、联想类比、 猜想验证、从而解决问题.形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣,减轻学 习抽象概念的难度,符合学生的认知特点. (3)引导探究法:从 ? 、ω 、A 对函数图像的单独影响到综合影响,是一个 整合的过程,也恰恰是能力提高的过程.通过 “积零为整”的引导,使学生完 成 ? 、ω 、A 整合过程的探究学习. (三) 学法分析 教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动 探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导: (1)对比学习法 (2)探究学习法 (3)协作学习法 (4)观察法 (5)反思学习法 (6)练习巩固法 (四) 多媒体教学 本节课涉及函数图像多,手工绘图复杂,为了增加绘图的形象性、准确 性,发现 y ? sin x 与 y=Asin(ω x+ ? )的图像之间的关系,提高课堂效率, 采用几何画板和PPT制作多媒体课件辅助教学.
三.教学过程 (一)创设情境

观察交流电电流 y 随时间 x 的变化图像,它与正弦曲线有何关系?你认为 可以怎样讨论参数 A、ω 、 ? 对函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像的影响?

设计意图: 先行组织者策略――通过生活实例引入学习内容,激发学
生的学习兴趣;通过类比正弦、余弦曲线,寻找新知识的“固着点”.同时提出 解决问题的方法,让学生体会化难为易,化复杂为简单的化归转化的思想方法.
(二) 探究新知

探究活动一:探究 ? 对函数 y ? sin( x ? ? ) 图像的影响: 小组讨论交流,完成下列问题. 1.把 y ? sin x 图像上所有的点向____平移____个单位,就得到 y ? sin(x ? 的图像. 2.把 y ? sin x 图像上所有的点向____平移____个单位,就得到 y ? sin(x ? 的图像. 3. 把 y ? sin x 图像上所有的点向 ____ (? ? 0) 或向 ____ (? ? 0) 平移 ____ 个单

?
3

)

?
4

)

位,就得到 y ? sin( x ? ? ) 的图像.

设计意图:考虑到学生已有“左加右减,上加下减”等函数图像平移的初
步知识, 把问题交给学生小组讨论完成,培养学生合作交流的能力和抽象概括能 力.教师采用几何画板演示动态图像,主要作用是验证结论,解决问题. 探究活动二:探究 A 对函数 y ? A sin x 图像的影响:
1 作出函数 y ? 2sin x 和 y ? sin x 的简图,并说明它们与函数 y ? sin x 的关系. 2 ? 3? x ? 2? 0 2 2
y ? sin x
y ? 2sin x
1 y ? sin x 2

设计意图:学生通过动手,探究,思考,形成自己对问题的认识.并
明确知识依附于问题而存在, 方法为解决问题的需要而产生.将问题的解决过程 自然的贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的层次. 探究活动三:探究 ? 对函数 y ? sin ? x 图像的影响: 观察动画演示,思考问题: 1.A、B 两点坐标之间有什么关系? 2.函数 y ? sin 2 x 与 y ? sin x 的图像之间有什么关系? y ? sin 3.你能否概括一下 ? 对函数 y ? sin ? x 图像的影响?
1 x 呢? 2

设计意图:采用设疑,演示,引导,启发学生逐步发现规律,概括结
论. 并通过对问题的思考提高理解能力, 强化自我意识, 促进由学会到会学转化, 形成良好的思维品质. 探究活动四:探究 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像与 y ? sin x 的图像之间的关系: 如何由 y ? sin x 的图像得到 y ? 3sin(2 x ? ) 的图像? 3

?

设计意图:从 ? 、ω 、A 对函数图像的单独影响到综合影响,是一个整
合的过程, 也恰恰是能力提高的过程. 通过 “积零为整” 的引导, 使学生完成 ? 、

ω 、A 整合过程的探究学习,从而完善学生的知识结构.
(三)反馈练习

1 1 ? 1.函数 y ? sin(2x ? ) 的图像可以看作是把函数 y ? sin 2 x 的图像做以下平 3 3 6 移( )而得到. ? ? 2? A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右 3 12 12 2? 平移 3 ? ? 2.把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个单位,就得到函数( )的图像. 3 6 ? ? 3 A. y ? sin(2 x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) 2 6 2

D. y ? sin 2 x

设计意图:及时巩固是学习和发展的需要,只有及时巩固,才能迁移
应用.这样更能突出重点、突破难点,使学生的分析问题和解决问题的能力得到 进一步的提高.
(四)课堂小结

(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么?

设计意图:1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角
函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平 台. 2.为了使学生真正掌握图像变换的规律,教师有意识的引导学生总结概括出以 下结论: (1)由 y=sinx 到 y=Asin(ω x+ ? )的图像变换过程可以分成 “先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”两种不同的变换方法. (2)思想方法:数形结合 化归转化 分类讨论
四.板书设计

归纳概括

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像 ( A ? 0, ? ? 0) 1. y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) 相位变换 2. y ? sin x ? y ? A sin x 振幅变换 3. y ? sin x ? y ? sin ? x 周期变换 4. y ? sin x ? y ? A sin(? x ? ? )
y ? sin x ? y ? sin( x ? ? )

方法一: ? y ? sin(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x ? ? )

y ? sin x ? y ? sin ? x

方法二: ? y ? sin(? x ? ? ) ? sin ? ( x ?
? y ? A sin(? x ? ? )
五.评价与反思

? ) ?

现代教育心理学的研究认为,有效的概念教学是建立在学生已有知识结构 基础上的, 因此我在教学设计过程中着重在学生已有知识结构和新概念间寻找学 生思维的“最近发展区”,引导学生通过观察、类比、探究掌握新概念. 在教学过程中,我坚持精讲精练的原则,向四十五分钟要质量,减轻学生 负担,使他们听有所思,练有所获,使知识传授与培养能力融为一体.并且设法 走出了“概念一带而过, 演习铺天盖地”的误区,促使自己与学生一起走进“重 视探究、重视交流、重视过程” 的新天地.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢 于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导,剖析纠正,使课 堂学习成为再发现,再创造的过程.

2-3 从速度的倍数到数乘向量 一、教学目标:
1.知识与技能 (1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. (2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。 (3)要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向 量分解为两个向量。 (4)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更 深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。 2.过程与方法: 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1. “模”与“方向”两点) 2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律) ) ,在此基础上得到数乘运算的几何 意义;通过正交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其实质) 。为了帮助学生消化和 巩固相应的知识,教材设置了几个例题;通过讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象 概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习,使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认 识, 让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了, 这样有助于激发学生学习数学的兴 趣和积极性,有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.

二.教学重、难点
重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.

2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解.

三.学法与教学用具
学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想
【探究新知】 ? 1.思考: (引入新课)已知非零向量 a 作出 a + a + a 和(? a )+(? a )+(? a )

? ? ?

?

?

?

? a

? a
O N

? a
A M

? a
B Q

? ?a
? ??
? ?? ? ??

? ?a

? ?a

? ?a

C P

? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a
? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? PN = PQ ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a ? ? ? ? 讨论:① 3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a | ? ? ? ? ② ?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a | ? ? 2.从而提出课题:实数与向量的积;实数λ 与向量 a 的积,记作:λ a ? ? 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? ①|λ a |=|λ || a |

? ??

? ??

②λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 (请学生自 己解释其几何意义) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生评,教师提示或适当补充) 例 1.(见 P96 例 1)略 [展示投影] 思考:根据几何意义,你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律(证明的过 ..... 程可根据学生的实际水平决定) .............. 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a

?

?

?

?

?

?

? ? ? a +μ a ? ? a +λ b

① ② ③

? 第一分配律:(λ +μ ) a =λ ? ? 第二分配律:λ ( a + b )=λ
结合律证明:

如果λ =0,μ =0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 如果λ ?0,μ ?0, a ? 0 有:|λ (μ a )|=|λ ||μ a |=|λ ||μ || a | |(λ μ ) a |=|λ μ || a |=|λ ||μ || a |

?

?

?

?

?

?

?

?

∴|λ (μ a )|=|(λ μ ) a |

?

?

如果λ 、μ 同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; 如果λ 、μ 异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向。 从而λ (μ a )=(λ μ ) a 第一分配律证明: 如果λ =0,μ =0, a = 0 至少有一个成立,则②式显然成立 如果λ ?0,μ ?0, a ? 0 当λ 、μ 同号时,则λ a 和 μ a 同向,

?

?

?

?

?

?

?

?

∴|(λ +μ ) a |=|λ +μ || a |=(|λ |+|μ |)| a |

?

?

?

|λ a +μ a |=|λ a |+|μ a |=|λ || a |+|μ || a |=(|λ |+|μ |)| a | ∵λ 、μ 同号 ∴②两边向量方向都与 a 同向 即:|(λ +μ ) a |=|λ a +μ a | 当λ <μ 时 ②两边向量的方向都与 μ a 同向 还可证:|(λ +μ ) a |=|λ a +μ a | ∴②式成立 第二分配律证明: 如果 a = 0 , b = 0 中至少有一个成立,或λ =0,λ =1 则③式显然成立 当 a ? 0 , b ? 0 且λ ?0,λ ?1 时 1?当λ >0 且λ ?1 时在平面内任取一点 O, B1 B

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

当λ 、μ 异号,当λ >μ 时 ②两边向量的方向都与λ a 同向

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 作 OA = a
则 OB = a + b
? ??

? ??

? ??

? AB = b

? OA1 =λ a

? ??

? A1 B1 =λ b
? ??

? ?
? ??

? ?? ? ? OB1 ? λ a +λ b ? ??
? ??

O
? ??

A

A1

由作法知: AB ∥ A1 B1 有?OAB=?OA1B1

| AB |=λ | A1 B1 |



| OA1 | | OA |
? ??

? ??

?

| A1 B1 | | AB |
? ??

? ??



∴△OAB∽△OA1B1



| OB1 | | OB |
? ??

? ??

? λ ?AOB=? A1OB1

因此,O,B,B1 在同一直线上,| OB1 |=|λ OB |

? ??

? ??

OB1 与λ OB 方向也相同

? ??

? ??

λ ( a + b )=λ a +λ b

? ?

?

?
B

当λ <0 时 可类似证明:λ ( a + b )=λ a +λ b ∴ ③式成立

? ?

?

?

A1 O B1 A

【探究新知】 (师生共同分析向量共线的充要条件) 若有向量 a ( a ? 0 )、b , 实数λ , 使 b =λ a 为共线向量 若 a 与 b 共线( a ? 0 )且| b |:| a |=μ ,则当 a 与 b 同向时 b =μ a ;当 a 与 b 反向 时 b =?μ a

? ?

?

?

?

则由实数与向量积的定义知:a 与 b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?
?

从而得:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有 且只有一个非零实数 λ ,使 b = . ......... λ a. [展示投影]例题讲评(师生共同分析,学生动手做) 例 2. 例 3.如图: OA , OB 不共线,P 点在 AB 上,求证:存在实数 ?.?且? ? ? ? 1 使 OP ? ? OA ? ? OB
? ?? ? ?? ? ??

?

?

?

? ??

? ??

P B O A

(证明过程与 P97 例 3 完全类似;略) 思考:由本例你想到了什么?(用向量证明三点共线) 【巩固深化,加强基础】 1.见 P85 练习 1、2、3、4 题. 2.如例 3 图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP . 【探究新知、展示投影】 1.思考: ①.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一?
? ?? ? ??
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

②.对于平面上两个不共线向量 e1 , e 2 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示? 2.教师引导学生分析 设 e1 , e 2 是不共线向量, a 是平面内任一向量

?

e1

a

e2

M M O N B

C M

OA = e1 OB = e 2

OM =λ 1 e1 ON =λ 2 e 2

? OC = a = OM + ON =λ 1 e1 +λ 2 e 2

得平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 . [注意几个问题]: ① e1 、 e 2 必须不共线 ,且它是这一平面内所有向量的一组基底. ... ② 这个定理也叫共面 向量定理. .. ③λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一 确定的数量. .. ④同一平面内任一向量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合. .... [展示投影]例题讲评(教师可从中选择几个例题让学生先做,学生评讲,教师提示或适当补 充; ) 例 4.1kg 的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图) ,已知两细绳与水平线分别成 30?, 60?角,问两细绳各受到多大的力? 解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为 90?

?

?

?

| OP | =1 (kg)
? ?? ? ??

? ??

?P1OP=60?

?P2OP=30? (kg)

∴ | OP 1 | = | OP | cos60?=1?
? ?? ? ??

1 =0.5 2

30?

60? P1

| OP2 | = | OP | cos30?=1?

3 =0.87 2

(kg) P2 P
? ??

即两根细绳上承受的拉力分别为 0.5 kg 和 0.87 kg

? ? 例 5.如图 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,
? ??

用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD 解:在 ABCD 中 ∵ AC = AB + AD = a + b
? ?? ? ?? ? ?? ? ? DB = AB ? AD = a ? b ? ??

?

?

? ??

? ??

? ??

? ??

D
? ??

? ??

? ??

? ?
A

b

M B M

C M

a

∴ MA =?

?? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? AC =? ( a + b )=? a ? b 2 2 2 2

MB =
? ??

? ??

1 1 ? ? 1 ? 1 ? DB = ( a ? b )= a ? b 2 2 2 2
? ?? ?? 1 ? 1 ? 1 ? DB =? a + b 2 2 2 ? ??

MC =

? ??

1 1 ? 1 ? AC = a + b 2 2 2

MD =? MB =?

例 6. 如图,在△ABC 中, AB = a , BC = b ,AD 为边 BC 的中线,G 为△ABC 的重心,求向 量 AG 解法 1:∵ AB = a , BC = b
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

?

? ??

?

A a B M b D A a E G M b M D F M C M C M

?

? ??

?

则 BD =

? ??

?? 1 ? 1 ? BC = b 2 2

∴ AD = AB + BD = a +
? ??

?? ?? 2 ? ? 1 ? ? b 而 AG = AD 2 3

∴ AG =

2 ? 1 ? a+ b 3 3

解法 2:过 G 作 BC 的平行线,交 AB、AC 于 E、F
? ??

B M
? ??

∵△AEF∽△ABC
?? 1 ? 1 ? EF = b 3 2



AE =

?? 2 ? 2 ? AB = a 3 3

EF =

?? 2 ? 2 ? BC = b 3 3

? ??

EG =

∴ AG = AE + EG =
? ??

? ??

? ??

? ??

2 ? 1 ? a+ b 3 3
? ??

例 7.设 e1 , e 2 是两个不共线向量,已知 AB =2 e1 +k e 2 , 若三点 A, B, D 共线,求 k 的值. 解: BD = CD ? CB =(2 e1 ? e 2 )?( e1 +3 e 2 )= e1 ?4 e 2 ∵A, B, D 共线 ∴ AB , BD 共线 ∴?
? ?? ? ?? ? ??

? ??

CB = e1 +3 e 2 , CD =2 e1 ? e 2 ,

? ??

? ??

∴存在λ 使 AB =λ BD

? ??

? ??

即 2 e1 +k e 2 =λ ( e1 ?4 e 2 ) 【巩固深化,发展思维】 1.在

? 2?? ?k ? ?4?

∴k=?8

ABCD 中,设对角线 AC = a , BD = b 试用 a , b 表示 AB , BC

? ??

?

? ??

?

?

?

2.已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点, 求证: OA + OB + OC + OD =4 OE . 3.见 P85 练习 1、2 题.
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

[学习小结](学生总结,其它学生补充) ①数乘向量的几何意义理解.

②向量 b 与非零向量 a 共线的条件是:有且只有一个非零实数 λ ,使 b =λ a . .......... ③平面向量基本定理的理解及注意的问题.

?

?

?

?

五、评价设计
1.作业: 2. (备选题) 如图, 已知梯形 ABCD 中, AB∥CD 且 AB=2CD, M, N 分别是 DC, AB 中点, 设 AD = a ,
? ?? ? ??

?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? AB = b ,试以 a , b 为基底表示 DC , BC , MN ? ??
?? 1 ? 1 ? AB = b 2 2

解: DC =

连 ND 则 DC╩ND D
? ??

∴ BC = ND = AD ? AN = a ?

? ??

? ??

? ??

? 1 ? b 2

N M O M M

C M

A

1 1 ? 又∵ DM = DC = b 2 4
? ??

? ??

B M

∴ MN = DN ? DM = CB ? DM =? BC ? DM =(? a +

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? 1 ? 1 ? 1 ? ? b )? b = b ? a 2 4 4

3.体会向量在平面几何中的应用.

六、课后反思:

2.6 平面向量数量积的坐标表示(1 课时)

一.教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (2)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系.

(3)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习, 让学生体会应用向量知识处理解析几何问题 是一种有效手段,通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式, 然后和同学一起总结方法,最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一 个崭新的认识;提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直 关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未 掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入: 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共 线的坐标表示: 【探究新知】

平面两向量数量积的坐标又如何表示呢? 1. 推导坐标公式:设 a = (x1, y1),b = (x2, y2),x 轴上单 位向量 i,y 轴上单位向量 j,则:i?i = 1,j?j = 1,i?j = j ?i = 0. ∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j

∴a?b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i ?j + y1y2j2 = x1x2 + y1y2 从而获得公式:a?b = x1x2 + y1y2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x, y) ② 若
? ??

? A =

|a|2 = x2 + y2 (x1, y1) , B

? |a| = = (x2,

x2 ? y2

y2) , 则

2 2 AB = ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )

③cos?

a?b ? =| a|?|b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量 共线的坐标表示) 【巩固深化,发展思维】 1.设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a?b 2.已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),求证:△ABC 是直角三角 形. 3.教材 P114 练习 1、2 题. 4.已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4

的向量 x. [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1. 教材 P113 例 1. 例 2. 教材 P113 例 2. [展示投影]思考: 1.什么是方向向量? 2.怎样把一个已知向量转化为单位向量? [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 3. 教材 P114 例 3. 【巩固深化,发展思维】 教材 P115 习题 A 第 1、2、3、4、5、6 题. [学习小结] ①a = (x, y) ? |a|2 = x2 + y2
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

? |a| =
? ??

x2 ? y2

②若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则| AB |= ③cos?
a?b ? =|a|?|b|
x2 ? y2
2 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0 五、评价设计 1.作业:习题 2.6 B 组第 1,2,3,4 题. 2. (备选题) : ① 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△ OAB,使 ?B = B 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标。
O A

解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB 2y = 0 又∵| OB | = | AB | 10x + 4y = 29
? 7 3 ? x1 ? x2 ? ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? ? 2 或 2 ?? ? ? 3 7 ?10 x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ? 由
3 7 3 7 7 3 7 3 ? ?? ( , ) ( ,? ) ( ? ,? ) (? , ) 点坐标 2 2 或 2 2 ; AB = 2 2 或 2 2
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ?

? ??

? ??

∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:

∴B

②在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角 为直角, 求 k 值。 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2〓1 +3〓k = 0 ∴k =
? ??

? ??

? ??

?

3 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2〓(?1) +3〓(k?3) = 0
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

∴k

11 =3

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0
3 ? 13 = 2

∴k

六、课后反思:

3.1.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的 正切公式; (2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明; (3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学 生的参与意识. 2、过程与方法 借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式, 让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点;讲解例题, 总结方法,巩固练习. 3、情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全 新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思 维的能力. 二、教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法:通过通过类比分析、探

索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】 1.两角和与差的正切公式 T?+? ,T???

问:在两角和与差的正、余弦公式的基础上,你能用 tan?,tan? 表示 tan(?+?)和 tan(???)吗?(让学生回答) [展示投影] ∵cos (?+?)?0 tan(?+?)=
sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?

分子分母同时除以 cos?cos?得:

tan(?+?)=

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

当 cos?cos??0 时

以??代?得:

tan(???)=

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

2.运用此公式应注意些什么?(让学生回答) [展示投影] 注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。即:

tan?, tan?, tan(?〒?)只要有一个不存在就不能使用这个公式, 只能(也只需)用诱导公式来解;2?注意公式的结构,尤其是符 号。 ) [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充)

例 1.求 tan15?,tan75?及 cot15?的值:
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3 1?

解:1? tan15?= tan(45??30?)=
1?

2? tan75?= tan(45?+30?)= 3? cot15?= cot(45??30?)= 例 2.(见课本 P134 例 1) 例 3.已知

3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3

1? 3 3 ?1

?

4?2 3 ? 2? 3 2

(为什么?)

1 tan?= 3 ,tan?=?2

求 cot(???),并求?+?的值,其

中 0?<?<90?,

90?<?<180?.
1 ? tan? tan ? 1 1 ? ? tan( ? ? ? ) tan? ? tan ? 7
1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

解:cot(???)=

∵ tan(?+?)=

t an? ? t an ? ? 1 ? t an? t an ?

又∵0?<?<90?, 90?<?<180? ∴?+?=135? 例 4.

∴90?<?+?<270?

求 下 列 各 式 的 值 : 1?

1 ? tan 75? 1 ? tan 75?

2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?
tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 ? ? 1 ? tan 45 tan 75 解:1?原式=
tan( 17? ? 28? ) ? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

2? ∵ ∴

tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1?

tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 [展示投影]练习 教材 P135 第 1、2、3、4 题. [学习小结] 1.必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?,tan(? 〒?)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用 诱导公式来解; 2.注意公式的结构,尤其是符号。 五、评价设计 作业:习题 3.1 A 组第 4、5、6、7、8 题. 六、课后反思:

3-3 二倍角的三角函数 一.教学目标:
1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推 理能力; (3)能推导和理解半角公式; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的 参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思

想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做 练习,巩固所学知识. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为 特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 ? ? ? ,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan 2 ?
? ? 是 的倍角. 4 8

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

cos2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.(公式巩固性练习)求值: ①.sin22?30’cos22?30’=

1 2 sin 45 ? ? 2 4

②. 2 cos

2

? 2 ? ? 1 ? cos ? 4 2 8

③. sin

2

? 2 ? ? ? cos2 ? ? cos ? ? 4 2 8 8
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2

④. 8 sin

例 2.化简 ①. (sin

5? 5? 5? 3 5? 5? 5? 5? ? cos2 ? ? cos ? ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 12 12 6 2 12 12 12 12

②. cos

4

? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2

③.

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
2

④. 1 ? 2 cos ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2
2 2

例 3、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2 5 ? 12 解:∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? , ? ? ( , ?) 13 2 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169 119 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? 169 120 tan2? = ? 119

[展示投影]思考:你能否有办法用 sin?、cos?和 tan?表示多倍角的正弦、余弦和正切 函数?你的思路、方法和步骤是什么?试用 sin?、cos?和 tan?分别表示 sin3?,cos3?, tan3?. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? ? ? ? ? sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2 例 4. cos20?cos40?cos80? = ? sin 20 ? sin 20 ?
1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 ? 4 ?8 ? ? ? 8 sin 20 sin 20

例 5.求函数 y ? cos x ? cos x sin x 的值域.
2

解: y ?

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 教材 P126 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) 你能够证明: sin

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? 2 证:1?在 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? ? 1 ? cos ? 2 ∴ sin cos ? ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 2 2 ? 2 2?在 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 中,以?代 2?, 代? 即得: 2
2

? 1 ? cos ? 2 ? ∴ cos ?1 ? 2 2 2 ? 1 ? cos ? 2 3?以上结果相除得: tan ? 2 1 ? cos ? cos ? ? 2 cos2
[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1?左边是平方形式,只要知道

? 角终边所在象限,就可以开平方。 2 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2
3?上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)

sin

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ?

4?还有一个有用的公式: tan

? sin ? 1 ? cos ? (课后自己证) ? ? 2 1 ? cos ? sin ?

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 6.已知 cos ? ? 例 7.求 cos

? 的值. 8

7 ? ? ? ,求 sin , cos , tan 的值. 25 2 2 2

例 8.已知 sin ? ? ?

4 3? ? ? ? , ? ? (? , ) ,求 sin , cos , tan 的值. 5 2 2 2 2

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结] 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:

? ? 是 的倍角. 4 8

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2 ? 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质” 2 ? 是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2 cos2 ? ? sin 2 ? ?
5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 六、课后反思:

1 ? cos 2? , 2


相关文章:
亳州市2014年高中教师资格认定无生上课相关专业(学科)课题
亳州市2014年高中教师资格认定无生上课相关专业(学科...·必 修四 数学(北师大版) 必修 3 1.数据的...幼儿园教学活动概述 幼儿游戏概述 幼儿园日常生活活动...
亳州市2015年春季高中+中职类教师资格认定无生上课相关专业学科课题
亳州市2015年春季高中+中职类教师资格认定无生上课相关...教学设计、无生上课成绩均达到 60 分为合格。 七...《就任北京大学校长之演说》第 1 课时 数学 教材:...
亳州市2013年高中教师资格认定无生上课相关专业(学科)课题
亳州市2013年高中教师资格认定无生上课相关专业(学科...数学 必修一(北师版) 第二章第三节 函数的单调性...幼儿教师 6.幼儿园环境 7.幼儿园教学活动的构成...
2015秋季亳州市认定教师资格通知
2015 秋季亳州市认定教师资格通知根据安徽省教师资格...《关于做好 2015 年中小学教师资格认定工作的通知》...:亳州电大; 测试环节包括撰写教学设计无生上课。 ...
亳州教育信息网:2014年秋季亳州市教师资格认定教育教学基本素质和能力测评方案
(原标题: 亳州市 2014 年秋季高中 中职教师资格认定教育教学基本素质和能力 测评方案) 点击下载>>> 2014 年亳州市高中教师资格认定无生上课相关专业(学科)课题....
教师资格证试讲高中数学教案一
教师资格证试讲高中数学教案一_数学_高中教育_教育专区。教案一(人教版必修一 ...互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的...
安庆人事考试网2014年秋季亳州教师资格认定教育教学基本素质和能力测评方案(2)
安庆人事考试网2014年秋季亳州教师资格认定教育教学基本素质和能力测评方案(2)_从业...点击下载>>> 2014 年亳州市高中教师资格认定无生上课相关专业(学科)课题.doc ...
教师资格证试讲高中数学教案
教师资格证试讲高中数学教案_数学_高中教育_教育专区...{x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} ...2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考...
2015秋季亳州市认定教师资格通知
2015 秋季亳州市认定教师资格通知 重点推荐: 2015 ...《关于做好 2015 年中小学教师资格认定工作的通知》...:亳州电大; 测试环节包括撰写教学设计无生上课。 ...
更多相关标签:
亳州市教师资格证认定 | 小学数学无生上课视频 | 无生上课视频 | 小学语文无生上课视频 | 无生上课 | 无生上课注意事项 | 小学语文无生上课教案 | 幼儿园无生上课视频 |