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几种常见函数的导数




题:

3.2 几种常见函数的导数

教学目的: 1.掌握四个公式,理解公式的证明过程. 2.学会利用公式,求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题 教学重点:用定义推导常见函数的导数公式. 教学难点:公式 ( x n )' ? nxn?1 (n ? Q) 的推导. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
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1.导数的定义: 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义, 当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如 果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限 ?x ?x

趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 y
/

x ? x0

,即 f ( x0 ) ? lim
/

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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2. 导数的几何意义:是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率

因此,如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切 线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )
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3. 导函数(导数):如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数, 此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个
/ / / 新的函数 f ( x) , 称这个函数 f ( x) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简

称导数,也可记作 y / ,即 f / ( x) = y / = lim
/ 函 数 y ? f ( x ) 在 x0 处 的 导 数 y

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x
x ? x0

就 是 函 数 y ? f ( x) 在 开 区 间
x ? x0

( a, b) ( x ? (a, b)) 上导数 f / ( x) 在 x0 处的函数值,即 y /
数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数也记作 f / ( x0 )
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= f / ( x0 ) 所以函
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导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导 函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值 它们之间的关系是函数
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y ? f ( x) 在点 x0 处的导数就是导函数 f / ( x) 在点 x0 的函数值

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4.可导 : 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都有导数,则称函数

y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导

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5. 可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是 充分条件. 6. 求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

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?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x
(2)求平均变化率 二、讲解新课: 1. C ' ? 0 (C 为常数)

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说明: 此公式可以叙述为: 常函数的导数为零. 其几何解释是: 函数 y ? C 的图象是平行于 x 轴的直线,其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜 率都是 0. 证明: y ? f ( x) =C,∴Δ y=f(x+Δ x)-f(x)=C-C=0



?y ?y =0, y? =C′= lim =0,∴ y? =0. ?x ?0 ?x ?x

2. ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q ) 说明:实际上,此公式对 n ? R 都成立,但证明较复杂,所以课本只给出 了 n ? N 的证明
*
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证明: y ? f ( x) = x

n

∴Δ y=f(x+Δ x)-f(x)= ( x ? ?x)n ? xn = x + Cn x = Cn x
1
n ?1 n

1

n ?1

Δ x+ C n x
2
n?2

2

n?2

(Δ x) +…+ C n (?x) n - x
2

n

n

Δ x+ C n x

(Δ x) +…+ C n · (?x) n
2

n

? y 1 n ?1 2 n?2 n = Cn x + C n x Δ x+…+ C n · (?x)n ?1 ?x
∴ y? = ( x n )? = lim
1

?y ?x ?0 ?x
n ?1

= lim ( Cn x
?x ? 0

+ Cn x

2

n?2

Δ x+…+ C n · (?x)n ?1 )= Cn x
n 1

n ?1

=n x

n ?1

∴ y? = ( x )' ? nx
n

n ?1

3. (sin x)' ? cos x 证明方法一:y=sinx,Δ y=sin(x+Δ x)-sinx=sinxcosΔ x+cosxsinΔ x-sinx

?y sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ? ?x ?x
∴ y? = lim

?x ?0

?y sin x cos ?x ? cos x sin ?x ? sin x ? lim ? x ? 0 ?x ?x

sin x(cos ?x ? 1) ? cos x sin ?x ?x ?0 ?x ?x sin x(?2sin 2 ) 2 ? lim cos x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ? lim

?x 2 ? ?x ? cos x ? lim (?2sin x) ? ?x ?0 ?x ( )2 4 2 sin 2
=-2sinx·1·0+cosx=cosx ∴ y? =cosx 证明方法二: y ? sin x ,

?y ? sin( x ? ?x) ? sin x ? 2 cos

( x ? ?x) ? x ( x ? ?x) ? x sin 2 2

?x ? ?x ? , ? 2 cos? x ? ? sin 2 ? 2 ?

?x ?y ?x ? ? 2 , ? cos? x ? ? ?x 2 ? ?x ? 2 sin


?x sin ?y ? x ? ? 2 y ' ? (sin x )' ? lim ? lim cos? x ? ? ?x ? 0 ?x ?x ?0 ? x 2 ? ? 2 ?x sin ?x ? ? 2 ? cos x . ? lim cos? x ? lim ?? ?x ?0 x ?0 ? x 2 ? ? 2

4. (cos x)' ? ? sin x 证明方法一:y=cosx, Δ y=cos(x+Δ x)-cosx=cosxcosΔ x-sinxsinΔ x-cosx

y? = lim
? lim

?y cos x cos ?x ? sin x sin ?x ? cos x ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

cos x(cos ?x ? 1) ? sin x sin ?x ?x ?0 ?x ?x cos x(?2sin 2 ) 2 ? lim sin x sin ?x ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

?x 2 ? ?x ? sin x ?1 ? ?2 cos x ?1? 0 ? sin x ? ? sin x ? lim (?2 cos x) ?x ?0 ?x ( )2 4 2 sin 2
∴ y? =-sinx 证明方法二: y ? cos x ,

?y ? cos( x ? ?x) ? cos x ? ?2 sin

( x ? ?x) ? x ( x ? ?x) ? x sin 2 2

?x ? ?x ? , ? ?2 sin? x ? ? sin 2 ? 2 ?

?x ?y ?x ? ? 2 , ? ? sin ? x ? ? ? x ?x 2 ? ? 2 sin


?x ?y ?x ? ? 2 y ' ? (cos x )' ? lim ? ? lim sin ? x ? ? ?x ? 0 ?x ?x ?0 ? x 2 ? ? 2 ?x sin ?x ? ? 2 ? ? sin x . ? ? lim sin ? x ? lim ?? ?x ?0 x ?0 ? x 2 ? ? 2 sin

∴ y? =-sinx. 第二种方法比较简便,所以求三角函数的极限时,选择哪一种公式进行三 角函数的转化,要根据具体情况而定,选择好的公式,可以简化计算过程.我们 把上面四种函数的导数可以作为四个公式,以后可以直接用 三、讲解范例:
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例 1 求 (1)(x3)′ (2)(


1 )′ (3)( x )′ x2

解:(1) (x3)′=3x3 1=3x2; (2) (

1 - - - - )′=(x 2)′=-2x 2 1=-2x 3 2 x

(3)

( x )? ? ( x 2 )? ?

1

?1 1 1 1 ?1 1 x2 ? x 2 ? 2 2 2 x

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例 2 质点运动方程是 s ? 解:∵ ∴

1 , 求质点在 t ? 2 时的速度. t5

s?

1 , t5

1 s ? ? ( 5 )? ? (t ?5 )? ? ?5t ?6 , t 5 ?6 ∴ s ? t ? 2 ? ?5 ? 2 ? ? . 64 5 答:质点在 t ? 2 时的速度是 ? . 64 ? 1 例 3 求曲线 y ? sin x 在点 A ( , ) 的切线方程. 6 2
解:∵

y ? sin x



y ? ? (sin x)? ? cos x



y ? x ?? ? cos
6

?
6

?

3 2
3 2 y? 1 3 ? ? (x ? ) , 2 2 6



所求切线的斜率 k ?

∴ 所求切线的方程为



6 3x ? 12y ? 6 ? 3? ? 0

答:曲线 y ? sin x 在点 A (

? 1

, ) 的切线方程为 6 3x ? 12y ? 6 ? 3? ? 0 . 6 2
(2)y=x6 (3)x=sint (4)u=cos ?

四、课堂练习: 1. (口答)求下列函数的导数:(1)y=x5

答案: (1)y′=(x5)′=5x4; (2)y′=(x6)′=6x5; (3)x′=(sint)′=cost; (4)u′=(cos ? )′=-sin ? 2.求下列函数的导数:(1)y=

1 x3

(2)y= 3

x

答案:(1) y′=(

1 - - - - )′=(x 3)′=-3x 3 1=-3x 4 3 x

(2 y ? ? (3

1 1 1 ?1 1 ? 2 x )? ? ( x 3 )? ? x 3 ? x 3 3 3

3.质点的运动方程是 s=t3,(s 单位 m,t 单位 s),求质点在 t=3 时的速度. - 解:v=s′=(t3)′=3t3 1=3t2 当 t=3 时,v=3×32=27 m/s,∴质点在 t=3 时的速度为 27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是 s=s(t)= 求 t=3 时的速度. 解:v=s′(t)=(

1 2 gt ,(s 单位 m,t 单位 s,g=9.8 m/s2), 2

1 2 1 - gt )′= g·2t2 1=gt. 2 2

t=3 时,v=g·3=9.8·3=29.4 m/s,∴t=3 时的速度为 29.4 m/s. 5.求曲线 y=x4 在点 P(2,16)处的切线方程. - 解:y′=(x4)′=4x4 1=4x3.∴y′|x=2=4·23=32 ∴点 P(2,16)处的切线方程为 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0 - 五、小结 :这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C 是常数),②(xn)′=nxn 1(n ∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:
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