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2017下学期高一数学周测卷


2017 下学期高一数学周测卷
一.选择题(共 4 小题,满分 32 分,每小题 8 分) 1. (8 分)已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则此数列 的公比等于( A.1 )

B.﹣1 C.﹣2 D.2 个单位长度,则平移后的图象

2. (8 分)若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 的对称轴为( A.x= D.x= ﹣ + ) (k∈Z) (k∈Z) B.x= +

(k∈Z) C . x=



(k∈Z)

3. (8 分)设向量 、 ,满足| |=| |=1, ? =﹣ ,则| +2 |=( A. B. C. D. ,sin(α﹣β)= 或 ,则 cosβ=(



4. (8 分)设 α,β 都是锐角,且 cosα= A. B.﹣ C. 或﹣ D.



二.填空题(共 4 小题,满分 40 分,每小题 10 分) 5. (10 分) 在锐角△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 若 b=2asinB, 则角 A 等于 . ,则 z=x﹣2y 的最小值为 .

6. (10 分)若 x,y 满足约束条件

7. (10 分)已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n﹣1,n∈N*,则数列{an}的通项 公式 an= . 的最小值为 .

8. (10 分)已知 x>1,则函数 y=2x+

三.解答题(共 2 小题,满分 28 分) 9. (12 分)已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式;
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(2)令 bn=an?3n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 10. (16 分) △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 bcosC+ccosB=2acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积.

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2017 下学期高一数学周测卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 4 小题,满分 32 分,每小题 8 分) 1. (8 分) (2010 秋?聊城期末)已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成 等差数列,则此数列的公比等于( A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.2 )

【分析】由已知 4a1,2a2,a3 成等差数列可得 4a2=4a1+a3,结合等比数列的通项 公式可求公比 q 的值. 【解答】解:∵4a1,2a2,a3 成等差数列, ∴4a2=4a1+a3, 设数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q,a3=a1q2, ∴4a1q=4a1+a1q2.∵a1≠0,∴4q﹣q2﹣4=0, ∴q=2. 故选 D. 【点评】本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质,以及运 算能力.属基础题.

2. (8 分) (2016?新课标Ⅱ)若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 则平移后的图象的对称轴为( A.x= D.x= ﹣ + (k∈Z) (k∈Z) B.x= ) + (k∈Z) C . x= ﹣

个单位长度,

(k∈Z)

【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的变换及正弦函数的对 称性可得答案. 【解答】解:将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 )=2sin(2x+ 由 2x+ =kπ+ ) , (k∈Z)得:x= + (k∈Z) , 个单位长度,得到 y=2sin2(x+

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即平移后的图象的对称轴方程为 x= 故选:B.

+

(k∈Z) ,

【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的变换规律的应用 及正弦函数的对称性质,属于中档题.

3. (8 分) (2011?大纲版)设向量 、 ,满足| |=| |=1, ? =﹣ ,则| +2 |= ( A. ) B. C. D.

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方,求出模的平方,再开方即可. 【解答】解:∵向量 、 ,满足| |=| |=1, ? =﹣ , ∴ ∴ 故选 B 【点评】本题考查求向量模常将向量模平方;利用向量的运算法则求出. =1﹣2+4=3,

4. (8 分) (2015?吉林校级一模)设 α,β 都是锐角,且 cosα= = A. ,则 cosβ=( B.﹣ ) C. 或﹣ D. 或

,sin(α﹣β)

【分析】注意到角的变换 β=α﹣(α﹣β) ,再利用两角差的余弦公式计算可得结 果. 【解答】解:∵α,β 都是锐角,且 cosα= ∴sinα= 同理可得 = ; , ? + ? ,sin(α﹣β)= ,

∴cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)= = ,
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故选:A. 【点评】 本题考查两角和与差的余弦公式, 考查同角三角函数间的关系式的应用, 属于中档题.

二.填空题(共 4 小题,满分 40 分,每小题 10 分) 5. (10 分) (2016?丰台区一模)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别 为 a,b,c,若 b=2asinB,则角 A 等于 30° .

【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0 得出 sinA 的值,由 A 为锐角三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 【解答】解:利用正弦定理化简 b=2asinB 得:sinB=2sinAsinB, ∵sinB≠0,∴sinA= , ∵A 为锐角,∴A=30°. 故答案为:30° 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是 解本题的关键.

6. (10 分) (2016?新课标Ⅱ)若 x,y 满足约束条件 最小值为 ﹣5 .

,则 z=x﹣2y 的

【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得 到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标, 把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件 联立 ,解得 B(3,4) . 作出可行域如图,

化目标函数 z=x﹣2y 为 y= x﹣ z, 由图可知,当直线 y= x﹣ z 过 B(3,4)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有 最小值为:3﹣2×4=﹣5. 故答案为:﹣5.
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【点评】 本题考查简单的线性规划, 考查了数形结合的解题思想方法, 是中档题.

7. (10 分) (2014?濮阳一模)已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n﹣1,n∈N*, 则数列{an}的通项公式 an= n2﹣2n+21 .

【分析】通过数列的递推关系式,利用累加法,通过等差数列的前 n 项和求出数 列的通项公式. 【解答】解:因为数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n﹣1,n∈N*, 所以 a2=a1+1, a3=a2+3, a4=a3+5, … an=an﹣1+2n﹣3; 上式累加可得: an=a1+1+3+5+…+(2n﹣3)=20+n﹣1+ 故答案为:n2﹣2n+21. 【点评】本题是中档题,考查数列的递推关系式求数列的通项公式,考查计算能 力,注意累加法的应用. =n2﹣2n+21.

8. (10 分) (2015?湖北模拟)已知 x>1,则函数 y=2x+ 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.
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的最小值为

5



【解答】解:∵x>1, ∴函数 y=2x+ 号. ∴函数 y=2x+ 故答案为:5. 【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 的最小值为 5. =2x﹣1+ +1 +1=5, 当且仅当 x= 时取等

三.解答题(共 2 小题,满分 28 分) 9. (12 分) (2016?扬州校级一模) 已知数列{an}是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?3n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【分析】 (1)由数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,利用等差数列的通 项公式先求出 d=2,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 an=2n,知 bn=an?3n=2n?3n,所以 Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)× 3n﹣1+2n×3n,再由错位相减法能够求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解: (1)∵数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12, ∴2+2+d+2+2d=12, 解得 d=2, ∴an=2+(n﹣1)×2=2n. (2)∵an=2n, ∴bn=an?3n=2n?3n, ∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,① 3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2(n﹣1)×3n+2n×3n+1,② ①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1 =2× ﹣2n×3n+1

=3n+1﹣2n×3n+1﹣3 =(1﹣2n)×3n+1﹣3 ∴Sn= + .
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【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前 n 项和的求法,综合性强,难 度大,易出错.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用错 位相减法进行求和.

10. (16 分) (2016 秋?秀山县校级期中) △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,且 bcosC+ccosB=2acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积.

【分析】 (1 ) 利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角 B 的大小; (2)利用余弦定理求出 ac 的值,代入三角形的面积公式即可. 【解答】解: (1)∵bcosC+c cosB=2acosB. ∴由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB, ∵sinA>0, ∴ , ; ,

∵0<B<π,∴ (2)∵

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac 即 13=16﹣3ac, 解得 ac=1, ∴ .

【点评】 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理以及两角和差 的正弦公式进行化简是解决本题的关键.

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