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全国高中数学联赛初赛及答案201308


全国高中数学联赛初赛 一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 的解析式为 A. y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 4 C. ? 平移后, 得到的图像的解析式为 y ? sin( x ? ? 4 )?2. 那么 y ? f ( x) y ? sin x B. y ? cos x y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4 2. 如果二次方程 A. 5 个 3. 设 A. 2 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) B. 6 个 那么 C. 7 个 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 D. 8 个 a ? b ? 0, a2 ? 1 的最小值是 b( a ? b ) C. 4 D. 5 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 D. 有无数多个 则 B. 3 ? 4. 设四棱锥 P ? A. 不存在 5. 设数列 A. 0 ABCD 的底面不是平行四边形, C. 恰有 4 个 B. 只有 1 个 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, B. 2 C. 16 D. 48 2 a2005 被 64 除的余数为 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有 A. 308 个 B. 30 ? 257 个 C. 30 ? 207 个 D. 30 ? 217 个 二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 ? 2 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则向量 OB ? 2 的等差中项等于 8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 10. 在长方体 中点, 那么四面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、F 、G 分别是棱 AA1 、C1D1 与 BC 的 B1 ? EFG 1、 2 、 3 平 的体积是 组成的 上 = 11. 由三个数字 12. 已 知 5 位数中, 两 个 1、 2 、3 点 集 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 R}, 面 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? 则 N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M N ? ?, a 的取值范围是 三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 的切线, 设 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆 BC ? ? , 试求 BM (用 ? 表示). BN MN 14. 求所

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