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辅助角公式在高考三角题中的应用


辅助角公式在解题中的妙用
在近来的学习中, 多次出现了通过对 asinx+bcosx 型式子的化简来求三角函数的有关性质的题目!此类 题目的传统做法是提取一个适当的公因式,把式子变为两角和与差的正弦、余弦公式的形式再求解,但 往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形,而且此类做法耗费的时间也较多,如 果我们能在平时的练习中总结出 asinx+bcosx 公式,则可省略对中间步骤的运算,直接得出结果,这对快 速准确地解题是大有好处的! 公式的推导
对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx=bcosx

? a 2 ? b 2 (sin x·
由于上式中的

a a ?b
2
2

2

? cos x·
b

b a ? b2
2

)。
a a ?b
2 2

a a ?b
2



a ?b
2

2

的平方和为 1,故可记

=cosθ ,

b a ? b2
2

=sinθ ,则

y ? a 2 ? b 2 (sin x cos ? ? cos x sin ?) ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?)。
由此我们得到结论: asinx+bcosx= a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,其中θ 由 通 常 称 式 子 asinx+bcosx= y=Asin( ?x ? ? )+k 的形式。 一. 求周期 例 1 求函数 y ? 2 cos( x ? 解:

a a ?b
2 2

? cos? ,

b a ? b2
2

? sin ? 来确定。

a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 为 辅 助 角 公 式 , 它 可 以 将 多 个 三 角 式 的 函 数 问 题 , 最 终 化 为

?

) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x 的最小正周期。 4 4

?

? ? y ? 2 cos( x ? ) sin(x ? ) ? 3 sin 2 x 4 4 ? ? sin(2 x ? ) ? 3 sin 2x 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) 6

所以函数 y 的最小正周期 T=π 。 评注:将三角式化为 y=Asin( ?x ? ? )+k 的形式,是求周期的主要途径。 二. 求最值 例 2.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若 x ?[ 0,

?
2

] ,求 f(x)的最大值和最小值。

解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= ? 2 sin(2 x ? 由 0≤x≤

?
4

)。

?
2

??

?
4

≤2 x ?

?
4



3? 。 4

当 2x ?

?
4

??

?
4
2

, x=0 时,sin( 2 x ? 即

?
4

) 最小值 ?

? ? 3 ? 2 ; 2 x ? ? ,即x ? ? 时 sin( 2 x ? ) 取最大值 1。 当 4 2 8 4 2

从而 f(x)在 [0, 三. 求值域

?

] 上的最大值是 1,最小值是 ? 2 。

例 4. 求函数 f ( x ) ? cos( 解:

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x ) ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) ( x ? R, k ? Z ) 的值域。 3 3 3

f ( x ) ? cos(2k? ?

? ? ? ? 2x ) ? cos(2k? ? ? 2x ) ? 2 3 sin( ? 2x ) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2x ) ? 2 3 sin( ? 2x ) 3 3 ? ? ? ? ? 4[sin( ? 2x ) cos ? cos( ? 2x ) sin ] 3 6 3 6 ? ? 4 sin(2x ? )。 2

所以函数 f(x)的值域是[-4,4]。 四. 图象对称问题 例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= ? (A) 2 (B) ? 2 (C)1 (D)-1

?
8

对称,那么 a=(

)

解:可化为 y ? 1 ? a 2 sin(2 x ? ? ) 。 知 x ? ?

?
8

时,y 取得最值 ± 1 ? a2 ,即

sin 2( ? ) ? a cos 2( ? ) ? ± 1 ? a 2 8 8 2 ? ( ?1 ? a ) ? ± 1 ? a 2 2 1 ? ( ?1 ? a ) 2 ? 1 ? a 2 2 ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 选(D)。
五. 图象变换 例 7 已知函数 y ? 缩变换得到? 解: y ?

?

?

1 3 cos 2 ? sin x cos x ? 1, x ? R。 该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸 2 2

1 3 (1 ? cos 2 x ) ? sin 2 x ? 1 4 4

1 ? ? 5 (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) ? 2 6 6 4 1 ? 5 ? sin(2 x ? ) ? 。 2 6 4 ?

(1)向左平移

? ? ,得到 y=sin(x+ )的图象; 6 6
1 ? 倍,纵坐标不变,得 y= sin(2x ? ) 的图象; 2 6

(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的 (3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的 (4)将(3)中所得图象向上平移

1 1 ? 倍,横坐标不变,得 y= sin(2x+ )的图象; 2 2 6

5 1 ? 5 个单位长度,得到 y= sin(2x+ )+ 的图象。 4 2 6 4
1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1 的图象。 2 2

综上,依次经过四步变换,可得 y= 六.求值

例 8. 已知函数 f(x)= ? 3 sin 2 x +sinxcosx。设α ∈(0,π ) ,f( 解:f(x)= ? 由 f(

3 ? 1 )= ? ,求 sinα 的值。 2 4 2

3 1 ? 3 (1 ? cos 2x ) ? sin 2x =sin ( 2 x ? ) ? 。 2 2 3 2

3 1 3 ? ? ? 1 ? ? 4? ? ? )=sin( ? ? ) ? ,得 sin( ? ? )= 。又α ∈(0,π ) ? ? ? ? ( , ) 。 2 4 2 3 3 4 3 3 3 2

而 sin

? 3 1 15 ? ? ? ? > ,故α + ? ( , ?) ,则 cos(α + )= ? 。 3 2 4 4 3 2 3

sinα =sin[ (? ? ) ?

? 3

15 3 1? 3 5 ? ? ? ? ? 1 1 )? ]=sin (? ? ) cos ? cos(? ? ) sin = ? ? (? = 。 4 2 8 3 3 3 3 3 4 2

评注:化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求 sinα 时,巧用凑角法:α =(α + 出α +

? ? 的范围,进而求出 cos(α + )的确切值,使整个求值过程方向明确,计算简捷。 3 3
1 ? cos 2x x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常数 a 的值。 ? 2 2 4 sin( ? x ) 2

? ? )- ,并且判断 3 3

七. 求系数 例 9.若函数 f(x)=

解:f(x)=

2 cos 2 x x 1 a2 x 1 a ? a sin cos = cos x ? sin x = ? sin(x ? ?) , 4 cos x 2 4 4 2 2 2

其中角 ? 由 sin ? =

1 1? a
2

, cos ? ?

a 1? a2

来确定。

由已知有

1 a2 ? ? 4 ,解得 a= ? 15 。 4 4

八. 解三角不等式 例 10.已知函数 f(x)=sin2x+sin2x,x ? [0,2?] ,求使 f(x)为正值的 x 的集合。 解:f(x)=1-cos2x+sin2x=1+ 2 sin(2x ? ) 。

? 4

? 2 ? ? 5? 3? , 则得 2kπ - <2x ? <2k? ? 由 f(x)>0,有 sin ( 2x- >) ? ,故 kπ <x<kπ + (k ? Z) 。 4 2 4 4 4 4

? 3? 7? 再由 x ? [0,2π ],可取 k=0,1,得所求集合是 ?x 0<x< ,或?<x< 。 4 4 ?
通过对以上几例的观察!公式所起到的作用是化多个三角函数为一个三角函数!化异名三角函数为同名三角函数"这 实际上也是我们三角化简中一种重要的思想"进一步我们可以得知!在三角函数式中出现 asinx+bcosx 型式子时!可以利 用公式迅速化简!使解题有事半功倍的效果!


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