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2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷及答案


2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、计算下列各题(25 分,每小题 5 分) (1)设 xn ? (1 ? a)(1 ? a 2 ) (1 ? a 2 ), 其中 | a |? 1, 求 lim x n. n ?? n ?? 1 ?? (2)求 lim e ?1 ?? ? 。 x ??? ?? x ?? ?x x2 (3)设 s ? 0 ,求 I ? ?? e ? 0 ? sx x n dx(n ? 1, 2, ) 。 ? ??2 g ? 2 g ?1? x 2 ? y 2 , g ( x, y) ? f ? ?,求 2 ?? 2 。 ?x ?y ??r ?? (4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r ? (5)求直线 l1 : ? ?x ? y ? 0 x ? 2 y ? 1 ? z ? 3 的距离。 ? 与直线 l2 : ? ? ?2 4 z?0 ?1 ?? (1 ? a 2 ) = xn ? (1 ? a)(1 ? a)(1 ? a 2 ) = (1 ? a 2n?1 n 2 解: (1) xn ? (1 ? a)(1 ? a ) (1 ? a 2 ) / (1 ? a) n = (1 ? a 2 )(1 ? a 2 ) (1 ? a 2 ) / (1 ? a) = n?1 n ) / (1 ? a) ? lim xn ? lim(1 ? a 2 ) / (1 ? a) ? 1 / (1 ? a) n ?? n ??? 1 ln e? x (1? 1 ) x x 2 ln(1? ) ? x ?1 ? 1 ?? x x ? lim e ? lim e (2) lim e ?? ?? x ??? x ??? x ??? ?? x ?? 2 x2 ?x 令 x=1/t,则 (ln(1? t ) ?t ) 原式= lim e t ?0 t 2 ? lim e ?0 1/ (1? t ) ?1 2t t ? lim e t ?0 ? 1 2(1? t ) ?e ? 1 2 ? ?? 1 ? 1 I n ? ? e? sx x n dx ? (? )? x n de? sx ? (? )[ x n e? sx |? ? ? e? sx dx n ] ?? 0 0 0 s 0 s (3) n(n ? 1) n n! n ? ? sx n ?1 n! ? I ?? ? I ? e x dx ?? I n ?1 n?2 0 s ?0 s s2 sn s n ?1 二、 (15 分)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上具有二阶导数,并且 f ?( x) ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。 x ???? x ???? 证明:方程 f ( x) ? 0 在 (??, ??) 恰有两个实根。 解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为 f(x)有小于 0 的值,所以只需 在两边找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开: f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ?? f '' (? ) 2 x 2 因为二阶倒数大于 0,所以 x ???? lim f ( x) ? ?? , lim f ( x) ? ??? x ???? 证明完成。 三、 (15 分)设函数 y ? f ( x) 由参数方程 ??

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