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向量的运算(加法)


向量的运算:加法
教学目标: 1.理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,表 述两个运算律的几何意义,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;培养数形结合解 决问题的能力; 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向

量等. 重点:如何作两个向量的和向量 难点:对向量加法定义的理解. 教学过程: 一、创设情景,揭示课题 【复习】 :1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。 【情景设置】 :利用向量的表示,从景点 O 到景点 A 的位移为 OA ,从景点 A 到景点 B 的位移为
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AB ,那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB
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●这里,向量 OA , OB , OC 三者之间有什么关系? 二、研探新知 1.向量的加法 向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示: AB ? BC = AC . 规定:零向量与任一向量 a ,都有 a ? 0 ? 0 ? a ? a .
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【注意】 :两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 作法:在平面内任意取一点 O ,作 OA = a , AB = a ,则 OB = OA + AB = a + b ? a A O ? ? ? a b B b
2.向量的加法法则 (1)共线向量的加法 同向向量 反向向量

? a? b
O
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? a ? b
A B B
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? ? OB ? a + b

? ? OB ? a + b

O

A

(2)不共线向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三角形法则( “首尾相 接,首尾连” )和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 。 三角形法则:根据向量加法定义得到的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。表示:
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AB ? BC = AC .

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平行四边形法则: 以同一点 A 为起点的两个已知向量 a ,b 为邻边作平行四边形 ABCD , 则以 A 为起点的对角线 AC 就是 a 与 b 的和,这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 如图, 已知向量 a 、b 在平面内任取一点 A ,作 AB = a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,
王新敞
奎屯 新疆

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记作 a + b ,即 a + b ? AB ? BC ? AC

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? a ? b ? ? a +b
A

C

C

? b
B D

? a
三角形法则

? b

? ? B a +b ? a
A
平行四边形法则

【说明】 :教材中采用了三角形法则来定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不共 线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况: 探究: (1)两相向量的和仍是一个向量;
王新敞
奎屯 新疆

(2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b | ? | a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若 | a | ? | b |,则 a + b 的方向与 a 相同, 且| a + b |=| a |-| b |; 若| a | ? | b |,则 a + b 的方向与 b 相 同,且| a + b |=| b |-| a |. (4) “向量平移” :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律: a + b = b + a (2)向量加法的结合律:( a + b ) + c = a +( b + c )

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证明:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则 ( a + b )+ c = AC + CD ? AD , a + ( b + c )= AB ? BD ? AD ,∴( a + b )+ c = a +( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
王新敞
奎屯 新疆

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例如: (a ? b) ? (c ? d ) ? (b ? d ) ? (a ? c) ; a ? b ? c ? d ? e ? [d ? (a ? c)] ? (b ? e) .
数学应用: 例 1:如图,O 为正六边形的中心,作出下列向量: (1) OA ? OC ;

??? ? ??? ?
E

(2) BC ? FE ;

??? ? ??? ?

(3) OA ? FE

??? ? ??? ?

D

F
练习: A

O

C

B

1. 如图,已知向量 a, b ,作出 a ? b (1)

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? b

? a

(2)

? a ? b

2. 如图,在三角形 ABC 中,作出下列向量: (1) CA ? CB ;

??? ? ??? ?

(2) CA ? AB

??? ? ??? ?

(3) CA ? BA

??? ? ??? ?

3. 在平行四边形 ABCD 中, (1) AB ? AD ? (3) AB ? AD ? CD ? 4) AC ? BA ? DA ?

??? ? ????

, (2) AC ? CD ? DO ? , (

??? ? ??? ? ????

??? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

4. 化简:

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? AB ? MB ? BO ? BC ? OM
5. 已知正三角形 ABC 中,下列等式成立的有 (1) | AB ? BC |?| BC ? CA |

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(2) | AC ? CB |?| BC ? BA |

??? ? ??? ?

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(3) | AB ? AC |?| CB ? CA |

??? ? ??? ?

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(4) | AB ? BC ? AC |?| CB ? BA ? CA |

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例 2.在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km / h 的速度向东流,渡般的速度为 25km / h ,渡般要垂 直地渡过长江,其航向应如何确定?

B A

C

例 3 已知矩形 ABCD 中, 宽为 2 , 长为 2 3 ,AB ? a ,BC = b ,AC = c , 试作出向量 a ? b ? c , 并求出其模的大小。

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练习: ( 1 ) 一架飞机向北飞行 200 千米后,改变航向向东飞行 200 千米,则飞行的路程为 _____ ;两次位移的和的方向为北偏东 45 ,大小为__________千米.
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(2)如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为

2km / h ,求船实际航行的速度的大小与方向。


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