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高三数学不等式的解法


2016届高考数学复习 强化双基系列课件

40《不等式的解法》

一.复习 二.一次不等式的解法

三.二次不等式的解法
四.高次不等式的解法

五.绝对值不等式的解法 六.小结
七.题型剖析

不等式的基本性质
⒈基本运算规律:
⑴交换律 a+b=b+a

ab=ba ⑵结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) ⑶分配律 a(b+c)=ab+bc ⒉不等式两边加上同一个数或同一整式,不等式 方向不变。 ⒊不等式两边都乘以同一个正数,不等式方向不变。 ⒋不等式两边都乘以同一个负数,不等式方向改变。

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不 看 了

一元一次不等式的解法
定义:一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。 由ax >b 则 当a>0 则x> b a 当a<0 则x< b a 当a=0且b ?0 则为? 注意:同时我们学习了一元一次不等式的解法,对一元一次 不等式组先求出每个方程的解再求其交集。 3x>5 ⑴ 求解方程组 例: {2x-5<0 ⑵ 解: 由⑴得 x> 5 3 由⑵得 x< 5 2 则由⑴、 ⑵得其交集为{x 5 3 <x<5 2 } 即为不等式组的解。

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不 看 了

一元二次不等式的解法 2 , 方程 令a>0, ? ? b ? 4ac ax ? bx ? c ? 0
2
2 ax 2 ? bx ? c ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0

??0 ??0

x ? x1 或 x ? x 2

x ? x1



x ? x 2 x1 ? x ? x 2

x1 ? x ? x 2

x ? x 2 或 x ? x1

R R

??0

R

? ?

x= ? b 2a

?

注意:对于二次方程组即首先求出每个方程的解集,即设 为A1,A2, A3,… Am,然后对A1,A2,A3,。。。Am求交 集可得解集B,则该解集就为该一元二次方程组的解。

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不 看 了

例:解不等式3x2+4x+5<0
解: 由△=b2-4ac=16-3×4×5= - 44<0 ∴3x2+4x+5恒大于零

则原不等式解集为x∈R 例: 解不等式组 2x2+5x-3≤0 ⑴ 3x2+7x+4≥0 ⑵ 解: 对⑴首先令2x2+5x-3=0得x1=-3,x2= 1 2 则由表中知方程的解集为A1={x -3≤x≤1 2} 对⑵有3x2+7x+4=0的x1=? 4 3 ,x2=-1 则由表可知方程的解集为a2={x x≥-1, x≤? 4 3} 由数轴知B=A1∩A2



一元高次不等式的解法
首先对不等式进行标准化处理及将方程的最高次化为正数,再 将f(x) 分解 为若干个因式的乘积。且将恒大于零的因式去掉,然 后将奇次的因式取一次。令f(x)的根从小到大排列得x1,x2,....,xm 。

先将x1,x2,....,xm标在数轴上,在确定x<x1时的正负在 确定曲线的位置后依次用曲线通过每一点。
x1

再检查所有f(x)根所在的位置是否符合不等式 即可求出方程的解 当然也可用列表法求解(见例题)。 注意:对于一元高次不等式组则先求出每个方程的解,在求 其交集即可得其解集。

x2

x3

...

xm

求y=(x-1)(x+3)(2+x)(4-x)(x+5)≤0 例:
解:先标准化得(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4)≥0
则其根分别为-5,-3,-2,1,4 则列表可得:

? ? -5

-3 + + - -

-2
+ + + - - +

1
+ + + + - -

4
+ + +

?

x+5 x+3 x+2 x-1 x-4 -y

- + - - - - - - - - - +

+
+ +

- -

再考虑等号的情况则得-y的解为x∈(-∞,-5]∪[-3,-2]∪[1,4] 又由显然-y≥0与y≤0同解,则y的解为x∈(-,-5]∪[-3,-2]∪[1,4]

再用数轴标根法求解本题
则其根为-5,-3,-2,1,4又由当x<-5时(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4)<0 解:

则如图所示 -5 -3 -2
1 4

再考察等号的情况即x1=-5,x2=-3,x3=-2,x4=1,x5=4成立

则 y的解为x∈(-,-5]∪[-3,-2]∪[1,4]
但是由于数轴标根法要考虑在某一区间不等式值的大小, 我认为列表法简单,我倾向于列表法。

注意:对于一元高次不等式我们可以用数轴标根法与列表法求解,

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含绝对值不等式的解法
定义: 含绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
由绝对值的基本性质:

x <a(a>0) x >a(a>0)

则有-a<x<a 则有x<-a或x>a

由于绝对值的性质使绝对值不等很难直接求解,则我们应 把它转化为易于求解的不等式或不等式组求解。 显然绝对值式子的零点相当重要,对某个绝对值零值点为分 界点分段,这样在某一个区间段内绝对值式子可变为不等式 或不等式组。后将求得的结果与前面分段的区间求交集,后 再对几个不同分段的区间求并集,则得该绝对值不等式的 解集。

例: 解不等式组

{ 3x ? 5 ? x ?1 ? 5

x ? 5 ? 2x ? 3 ? 2

⑴ ⑵
4 3,即x∈(-≦,-5)

3 2,则可化为 由⑴得式中绝对值中的式子零点为-5、 解:
(-≦,-5),[-5,3 2),[3 2 ,+≦)三个区间 当x∈(-≦,-5)时原不等式可化为-5-x+3-2x≥2 得x≤当x∈[-5,3 2)时原不等式可化为8-x≥2,

得 x≤7, 即x∈[-5,3 2)

当x∈(3 2,+≦)时原不等式可化为3x+2≥2,
则可得解集为x∈R 由⑵得零点为 5 3 ,1。 则 当x∈(-∞,- 5 3 )时 得x≥当x∈[- 5

得x≥0, 即x∈(3 2 ,+≦)

11 2

即x∈[即x∈[即x∈¢

3 ,1)时

得x≤ 得x≤

14

11 ,2 5 ]3
, 14 ] 53

当x∈[1,+∞) 时 可得x∈[-11 2,

?1 2

1 4]

由⑴,⑵的解集得方程组的解集为x∈[11

2 ,1 4

]

不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化 即将绝对值不等式即其他不等式向 代数不等式或代数不等式组转化, 再对其求解. ⒉求根 即将不等式首先看成方程求出相应的 根,再利用不等式的性质进行求解.如 一元二次不等式和一元高次不等式的 解法.

再看一遍

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七.题型剖析
[一元一次不等式] 【例1】

已知关于 x 的不等式( a+b ) x+ ( 2a-3b ) < 0 解为( -∞, -1/3 ),求关于 x 的不等 式(a-3b)x+(b-2a)>0的解集。
思维点拨:挖掘隐含条件a+b>0很重要。

例3
若不等式

P92
2x ? 1 ? m( x 2 ? 1)对满足m ? 2

的所有m都成立。求m的取值范围。

[思维点拨]从表面上看,这是一个关于 x的一元二次不等式,实际上是一个关 于m的一元一次不等式,并且已知它的 解集为[-2,2],求参数x的取值范围。

[一元二次不等式]

例2 P92
求实数m的范围,
使 y ? lg[mx ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4]
2

对任意恒有意义。
[ 练习]:不等式 ax2+bx+c >0的解集为 {x|α < x < β }其中 β > α > 0 ,求不等式 cx2+bx+a < 0 的解集。

[简单高次、分式不等式] 5? x P92 例1解不等式 ? ? 1 2 x ? 2x ? 3

[含参数不等式] 【例5】解关于x的不等式

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) x?2
思维点拨:含参数不等式,对所含字 母分类讨论,不重不漏.


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