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广东省华师附中等四校 2012届高三上学期期末联考数学(文)试题


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广东省华师附中等四校 2012 届高三上学期期末联考数学 (文)试题
命题学校:广东实验中学 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题的答案一律做在答题卡上,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 参考公式:1.锥体的体积公式 V 2.
? n n

?

1 3

Sh

,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
?a
n?2

a ? b ? ( a ? b )( a

n ?1

b?a

n?3

b ? ... ? a b
2

n?2

?b

n ?1

)

,





n? N ,n ? 1。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) i 为纯虚数,则实数 x 的值为 (
2



A. ? 1 1.A;解析:由 ?

B. 0
?x2 ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? x ? ? 1 故选 A

C. 1

D. ? 1 或 1

2. 已知集合 M ? ?1, 2, 3? , N ? ? 2, 3, 4 ? ,则 A . M ? N D. M ? N ? ?1, 4 ? 2.C;解析: M ? N ? ?1, 2, 3? ? ? 2, 3, 4 ? ? ? 2, 3? ,故选 C. 3. 某学校有教师 1 5 0 人,其中高级教师 15 人,中级教师 4 5 人,初级教师 9 0 人. 现按职称 分层抽样选出 3 0 名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A. 5,10,15
第 1 页 共 10 页

B . N ? M

C . M ? N ? ? 2, 3?

B. 3, 9,18

C. 3,10,17

D. 5, 9,16

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3.B; 解析:高:中:初=15:45:90=1:3:6

4. “ ? ?

?
6

”是“ co s 2 ? ?

1 2

”的

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? 1 4.A;解析: 当 ? ? 时, co s 2 ? ? co s ? ,
6 3 1 2 2

反之,当 co s 2 ? ?

时,有 2? ? 2 k ? ?
?
3 ? ? ? k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
6

?k ? Z ? ,
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或 2? ? 2 k ? ?

?
6

? k ? Z ? ,故应选 A.
2

5.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? A.
3 2
2

y

2

? 1 的离心率为
3 2

m



5 2

B.

3 2

C. 5

D.

或 5

5.D;解析: m ? 16 ? m ? ? 4 ,故选择 D。

6. 函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为
?
2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为
?
?
2

的奇函数

的偶函数

6.A; 解析: 因为 y ? 2 co s ( x ?
2

2? ? ? ? ? ? ,所以 ) ? 1 ? co s ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 4 2 ? 2 ?

选 A. 7.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A.63 7.A B.64 C.65 D.66

8.设 S n 为等比数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 3 S 3 A、3
第 2 页 共 10 页

? a 4 ? 2 , 3 S 2 ? a 3 ? 2 ,则公比 q ?

B、4

C、5

D、6

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8.B;

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9.如图所示,已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面
A B C 上的射影 D 为 B C 的中点,则异面直线 A B 与 C C 1 所成的角的余弦值为(



(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

9.D;解:连结 A1 D,AD,易知 ? A1 A B 为异面直线 A B 与 C C 1 所成的角,则
co s ? A1 A B ? co s ? A1 A D co s ? D A B ? 3 4

,故选 D;

10.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应数 轴上的点 M ,如图 1;将线段 A B 围成一个圆,使两端点 A , B 恰好重合,如图 2;再将这 个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为(0,1) ,如图 3.图 3 中直线
A M 与 x 轴交于点 N ( n , 0) ,则 m 的像就是 n ,记作 f ( m ) ? n 。则在下列说法中正确命题

的个数为







?1? f ? ? ? 1 ;② f ( x ) 为奇函数;③ f ( x ) 在其定义域内单调递增;④ f ( x ) 的图像关于 ?4? ?1 ? , 0 ? 对称。 ?2 ?

点?

A.1

B.2

C.3

D.4

10.B;解析:仅有③④正确。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题是选做题,考生
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只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 。 11. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 。。 。
第1个 第2个 第3个

(

则 )



n





























11. 4 n ? 2 .解析:将第 n 个图案先看做是 n 个第 1 个图案,则共有 6n 个白色图案,再结 合第 n 个图案, 可知共有 6n-2(n-1)=4n+2 个白色图案。

12. 已知向量 a ? ( e x +

?

x

2

2

? , x ), b ? (1, t ) ?

,若函数 f ( x ) ? a ? b 在区间 ( ? 1,1) 上存在

? ?

增区间,则 t 的取值范围为_________. 12. ( ? ? , e ? 1) ;解析: f ( x ) ? e x ?
f '( x ) ? e ? x ? t
x

x

2

? tx , x ? ( ? 1,1) ,

2

,函数在 ( x1 , x 2 ) ? (?1,1)上单调递增,故 e x ? x ? t , x ? ( x1 , x 2 )

时恒成立,故 e ? 1 ? t
?
4

13.若

? x?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为
3



13.-8;解:令 tan x ? t , ?
? y ? tan 2 x tan x ?
3

?
4

? x?
4

?
2

?t ? 1,

2 tan x 1 ? tan x
2

?

2t

4 2

1? t

?

2 1 t
4

?

1 t
2

? (

2 1 t
2

?

1 2

) ?
2

1 4

?

2 ? 1 4

? ?8 .

14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标方程 ? ? co s ? 和参数方程 ? 的(依次填写序号) .. ** .
? x ? ?1 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数)所表示的图形分别是下列图形中

①直线;②圆;③抛物线;④椭圆;⑤双曲线. 14.②;①.
第 4 页 共 10 页

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.comC

P

A

O

B

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15. (几何证明选讲选做题)

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如图, O 是半圆的圆心,直径 AB ? 2 6 , PB 是圆的一条切线,割线
PA 与半圆交于点 C , AC ? 4 ,则 PB ?

**



15. 2 3 ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分为 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin(? ? x ) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
? ?

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?
, 6

上的最大值和最小值. 2? ?

16 解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2 sin ? ? ? x ? co s x ? 2 sin x co s x ? sin 2 x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .
?
6
? ?

(Ⅱ)由 ?

? x?

?
2

? ?

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 2

? sin 2 x ? 1 ,

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?
, 6

3 ? . ? 上的最大值为 1,最小值为 2 2?

17. (本小题满分 12 分) 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率 1 是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小 球标号为 b.记事件 A 表示“a+b=2”,求事件 A 的概率. n 1 17.解:(1)由题意可知: = ,解得 n=2. 1+1+n 2 (2) 不放回地随机抽取 2 个小球的所有等可能基本事件为: (0,1), 1), 2), (0,2 (0,2 (1,0), 1), (1,2
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(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共 12 个, 事件 A 包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共 4 个. 4 1 ∴P(A)= = . 12 3

18. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是边长为 4 的正方形, P D ? 平 面 A B C D , P D ? 6, E , F 分别为 P B , A B 中点。 (1)证明: B C ? 平 面 P D C ; (2)求三棱锥 P ? D E F 的体积。 18.解: (1) P D ? 平 面 A B C D , B C ? 平 面 A B C D ? P D ? B C …………2 分 又底面 A B C D 是正方形,故 B C ? C D …………….4 分 P D , D C 相交…………5 分 故 B C ? 平 面 P D C ………….6 分 (2) E 为 P B中 点 ,故 P , B 两点到平面 D E F 的距离相等………8 分 故 V P ? D E F ? V B ? D E F ? V E ? B D F …………12 分 设 B D 中点 E ' ,则 E E ' ?
1 2 P D ? 3 且 E E '// P D ,又 P D ? 平 面 A B C D 1 2 ? 4? 2 ? 4

故 E E ' ? 平 面 A B C D ,又 S ? B D F ? 故V P ? D EF ? V E ? BD F ?
1 3

? 4 ? 3 ? 4 ………14 分

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ) 若点(1, ? 的极大值; (Ⅱ)若 y ? f ( x ) 在区间[-1,2]上是单调减函数,求 a ? b 的最小值。
2 19 解:(Ⅰ)∵ f ? ( x ) ? x ? 2 ax ? b ,

1 3

x ? ax
3

2

? bx

(a, b ? R ) 。

11 3

)在函数 y ? f ( x ) 图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求 y ? f ( x )

1分

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11 3

∴ 由题意可知: f ? (1) ? ? 4 且 f (1) ? ?

,

?1 ? 2 a ? b ? ? 4 , ?a ? ?1 ? ∴ ?1 , 11 得: ? ?a?b ? ? , ?b ? 3 ? 3 ?3

3分

∴ f (x) ?

1

3 2 2 x ? x ? 3 x , f ? ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3 ) .

3 ? ( x ) ? 0 ,得 x 1 ? ? 1, x 2 ? 3 , 令f

由此可知: X (-∞,-1) + ?( x ) f
f (x)

-1 0
f ( x ) 极大值

(-1, 3) -
5 3

3 0
f ( x ) 极小值

(3, +∞) + ↗





∴ 当 x=-1 时, f(x)取极大值

5 3

6分

(Ⅱ) ∵ y ? f ( x ) 在区间[-1,2]上是单调减函数,
2 ∴ f ? ( x ) ? x ? 2 ax ? b ? 0 在区间[-1,2]上恒成立.

7分

根据二次函数图象可知 f ?( ? 1) ? 0 且 f ? ( 2 ) ? 0 , 即: ?
?1 ? 2 a ? b ? 0 , ?4 ? 4 a ? b ? 0,

也即 ?

?2 a ? b ? 1 ? 0, ?4a ? b ? 4 ? 0.
1 2

9分 11 分

作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线 z ? a ? b 经过交点 P(-
z ? a ? b 取得最小值 z ? ?

, 2)时,
3 2

1 2

?2 ?

, b

13 分 14 分

∴ z ? a ? b 取得最小值为

3 2

2a+b-1=0 4

4a-b+4=0

P(- , 2)
2

1

-2

o

2 a z=a+b

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ( ?

2 , 0 ) ,离心率

e=

2 2

,M、N 是椭

圆上的的动点。 (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足:O P ? O M ? 2 O N , 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
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??? ?

???? ?

????

1 2

, 问:

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是否存在定点 F1 , F2 , 使得 P F1 ? P F2 为定值?, 若存在, 求出 F1 , F2 的坐标, 若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连接 N A
并延长交椭圆于点 B ,证明: M N ? M B ;
?c ? 2 ? 20.解: (Ⅰ)由题设可知: ? c 2 ? a ? 2, c ? ? ? 2 ?a

2

……………………………2 分

故 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ……………………………3 分 故椭圆的标准方程为:
x
2

?

y

2

4

2

? 1 ……………………………4



(Ⅱ)设 P ( x p , y P ), M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,由 O P ? O M ? 2 O N 可得:
? x P ? x1 ? 2 x 2 .............① ? ? y P ? y1 ? 2 y 2

??? ?

???? ?

????

……………………………5 分
1 2

由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
y1 y 2 x1 x 2 ? ? 1 2

可得:

,即 x1 x 2 ? 2 y1 y 2 ? 0 ............② ……………………………6 分
2 2

2 2 由①②可得: x P ? 2 y P ? ? x1 ? 2 x 2 ? ? 2 ? y1 ? 2 y 2 ? ? ( x12 ? 2 y12 ) ? ( x 22 ? 2 y 22 )

M、N 是椭圆上,故 x12 ? 2 y12 ? 4, x 22 ? 2 y 22 ? 4 故 x P ? 2 y P ? 8 ,即
2 2

xP 8

2

?

yP 4

2

? 1 ……………..8



由椭圆定义可知存在两个定点 F1 ( ? 2, 0 ), F2 ( 2, 0 ) ,使得动点 P 到两定点距离 和为定值 4 2 ; ……………………………….9 分; (Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由
x1 ? 0


, y1 ?


0 x2 ?


, y ………..10 分 2 ?


0 x1 ?

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y1 2 x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

由题设可知 l A B 斜率存在且满足 k N A ? k N B ?
y1 x1 y2? x 2? x

………….③

kM N? k

M B

?1?

?

y1 ? 1 . . . .④. …………………12 . ...
1



将③代入④可得:
k MN ? k MB ? 1 ? 2 ( y 2 ? y1 ) x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ?1 ? ( x 2 ? 2 y 2 ) ? ( x1 ? 2 y 1 )
2 2 2 2

x 2 ? x1
2

2

……

⑤………….13 分 点
M ,B


2


2


) 41 ? 4 (
2

x

2

?

y

2

?1


)
2 1



4

2
2

k MN ? k MB ? 1 ?

( x2 ?

y
2

?2x 2 ?

y
2 1

x2 ? x

?

x ?x

?0

1 2 2

2

所以 k M N ? k M B ? 1 ? 0 ? k M N ? k M B ? ? 1 ? M N ? M B …………14 分

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? , a n ?
? ??
n n

? ??

( n ? 1, 2, ...) ,其中 ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根.
2

(1)证明:对任意正整数 n ,都有 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ; (2)若数列 ? a n ? 中的项都是正整数,试证明:任意相邻两项的最大公约数均为 1;
? ? ?
n ?
n

(3)若 ? ? ? , b n ?

?

n

? ?

n

?

, n ? 1, 2, ... ,证明: ? b k ? 2 。
k ?1

21.证明: (1) ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根,
2

故对任意正整数 n , a n ? 2 ? ( a n ? 1 ? a n ) ?
?
n

?? ?

n+2

? ??

n ?1

??

n

?? ? ?? ? ?
? ??

n+2

? ??

n ?1

??

n

?? ?

?

??

2

? ? ? 1? ? ?

n

??

2

? ? ? 1?

? ??

?

0?0

? ??

?0

故 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ;

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(2)由(1)与更相减损术可得:对任意正整数 n ,

? a n ? 2 , a n ?1 ? ? ? a n ?1 ? a n , a n ?1 ? ? ? a n , a n ?1 ? ? ? a n , a n ?1 ? ? ? a 2 , a1 ? ? ? a 2 ,1 ? ? 1
故命题成立; (3) ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根且 ? ? ? ,故
2

由 a ? b ? ( a ? b )( a
n n

n ?1

?a
1

n?2

b?a

n?3

b ? ... ? a b
2

n?2

?b

n ?1

) 可得:

bn ?

? ? ?
n ?

?

n

? ?

n

?

?

n? ?
k ?0

n ?1

?

2 ? n ? 2? ? ? k ?0
2
n ?1 n ?1? k

n ?1? k

?

k

?

k

? ? ?
? 2 2n?
n ?1

?

2 ? n? ? ? k ?0 ?
n ?1 n ?1? k

?

k

? ?

n ?1? k

?

k

? ? ?

?

2n?

n ?1

?

1 n
2

?

n ?1? k

?

k

?

n ?1? k

?

k

??

n ?1

k ?0

k ?0

故 ? bk ?
k ?1

n

?

n

1 k
2

?

1 1
2

?

k ?1

?

n

1 k
2

? 1?

k ?2

?

n

k ?2

n 1? 1 ? 1 ? 1?? ? ? ? ? 1?1? ? 2 k ( k ? 1) k ? n k ?2 ? k ? 1

1

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