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2013年北京昌平区高三二模理科数学试题


昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数 学 试 卷(理科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.4 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题

5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) (1)已知集合 A ? {x | 2 ? 1} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
x

A. {x | x ? 1}

B. {x | x ? 0}

C. {x | 0 ? x ? 1}

D.

{x | x ? 1}

(2)已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是 A. 命题 ?p : ?x ? R,x ≤ 2 C.命题 ?p : ?x ? R,x ≤ ?2 (3)圆 x ? ( y ? 2) ? 1 的圆心到直线 ?
2 2

B.命题 ?p : ?x ? R,x ? 2 D.命题 ?p : ?x ? R,x ? ?2

? x ? 3 ? t, ( t 为参数)的距离为 ? y ? ?2 ? t
C. 2 D. 2 2

A.

2 2

B.1

(4)设 ?

? x ? y ? 0, 2 与抛物线 y ? ?4 x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y ) ?x ? y ? 0

为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 A. ?1 B. 0 C. 2 D. 3

(5) 在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ tan xgcos x ? A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

1 ”发生的概率为 2 3 D. 4

(6) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示, 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A. 3 B. 2 5
2 4 正视图 2 2 俯视图 2 侧视图 3 3

第 1 页

C. 6 D. 8

(7)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , E 为 CD 的中点,
?

D

E

C

则 AE ? BD 的值为 A.1 B. 3 C. 5

??? ? ??? ?

A
D. 7

B

(8) 设 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件 a1 ? 1 ,

a99 a100 ? 1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1 ① 0 ? q ? 1; ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;
③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ 使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. D

B

②④ 第Ⅱ卷 (非选择题 一、 共 110 分)

E
填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

C

O

A

(9)二项式 (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为___________.
5
3

1 x

(10)双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? b2

.

(11) 如图, AB 切圆 O 于点 A , AC 为圆 O 的直径,

BC 交圆 O 于点 D , E 为 CD 的中点,且
BD ? 5, AC ? 6, 则 CD ? __________;

AE ? __________.

第 2 页

(12)执行如图所示的程序框图,

若①是 i ? 6 时,输出的 S 值为
若①是 i ? 2013 时,输出的 S 值为

; .

开始

i ? 1,S ? 0
ai ? cos i? ?1 2

? 4 ( x ? 4) ?1 ? , x (13)已知函数 f ( x) ? ? ? ?log 2 x, (0 ? x ? 4)
若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, 则实数

S ? S ? ai

否 输出 S

i ? i ?1


k 的取值范围是

.

( 14 ) 曲线 C 是平面内到直线 l1 : x ? ?1 和直线

l2 : y ? 1 的距离之积等于常数 k 2 ? k ? 0 ? 的点

结束 图1

的轨迹.给出下列四个结论: ①曲线 C 过点 (?1,1) ; ②曲线 C 关于点 (?1,1) 对称; ③若点 P 在曲线 C 上,点 A, B 分别在直线 l1 , l2 上,则 PA ? PB 不小于 2k. ④设 P0 为曲线 C 上任意一点,则点 P0 关于直线 x ? ?1 、点 (?1,1) 及直线 y ? 1对
2 称的点分别为 P1 、 P2 、 P3 ,则四边形 P 0 PP 1 2P 3 的面积为定值 4k .

其中,所有正确结论的序号是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos x, x ? R .
2

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

第 3 页

(16) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD , 2

E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ;
(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G , 使得 二面角 C ? PD ? G 的余弦值为

P D A F

E C B

1 ?说明理由. 3

(17) (本小题满分 13 分) 某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,对市民进行了“生活满 意”度的调查.现随机抽取 40 位市民,对他们的生活满意指数进行统计分析,得到如下分 布表: 满意级别 满意指数(分) 人数(个) 非常满意 90 15 满意 60 17 一般 30 6 不满意 0 2

(I)求这 40 位市民满意指数的平均值; (II)以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数 很多)中任选 3 人,记 ? 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求 ? 的分布 列; (III)从这 40 位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个 人,记他的满意指数为 n ,求 n ? m ? 60 的概率.

(18) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值;

第 4 页

(III)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆

y M N P A F O H l B x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长 a 2 b2

Q

轴为 AB ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直,椭圆 的离心率 e ?

3 , F 为椭圆的左焦点,且 2

AF g BF ? 1 .
(I)求此椭圆的方程;

(II)设 P 是此椭圆上异于 A, B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使 得 HP ? PQ . 连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

(20) (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 对任意 n ? N* 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) (其中 k 、b 、

p 是常数) .
(I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (III)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭 数列”.当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 , 试问:是否存在这样的“封闭数列”

?an ? ,使得对任意 n ? N* ,都有 Sn ? 0 ,且

第 5 页

1 1 1 1 1 11 .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值; ? ? ? ??? ? 12 S1 S2 S3 Sn 18
若不存在,说明理由.

第 6 页

昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) C (6) C (7) A (8) B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9) 80 (11) 4 ; 2 6 (13) (1, 2) (10) 3 (12) 5 ; 2013 (14) ②③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解 : ( Ⅰ )

? f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ..4 分 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ..6 分 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2 ? 2? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 的最小正周期 T ? ? ? .??????????8 分 3 2 ? ? ? 5? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 2 3 2 12 12 5? ?? ? , k? ? ? (k ? Z) .???13 分 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? 12 12 ? ?
(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F ,

?

ABCD 为正方形, F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. ∴在 ?CPA 中, EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD

. . . . . . . . . . . . . . . . . ...2 分 ∴ EF / /平面PAD . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(Ⅱ)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,

平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

第 7 页

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD . ∴ CD ? PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
又 PA ? PD ? 且 ?APD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2
即 PA ? PD

?
2

CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC

? PA ? 面 PDC
又 PA ? 面 PAB , ∴面 PAB ? 面 PDC .????..9 分 (Ⅲ) 如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

z P D O A x G F B E C y

平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
∴ PO ? 平面ABCD , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB , 又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?

2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? 1 . 2

以 O 为原点,直线 OA, OF , OP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则有 A(1, 0, 0) , F (0,1,0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) . 若在 AB 上存在点 G , 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 设 G(1, a,0)(0 ? a ? 2) . 由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? (1, 0, ?1) . 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .∵ DP ? (1, 0,1), GD ? (?2, ?a, 0) ,

1 ,连结 PG, DG. 3

??? ?

?

??? ?

????

第 8 页

∴由 n ? DP ? 0, n ? GD ? 0 可得 ?

? ??? ?

? ????

?

x ? 0? y ? z ? 0

??2 ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0
2

,令 x ? 1 ,则 y ? ?

2 , z ? ?1 , a

? ??? ? ? ? ??? ? 2 n ? PA 故 n ? (1, ? , ?1) ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? a n PA

2? 2?

4 a2

?

2 2? 4 a2

?

1 , 3

解得, a ?

1 . 2

所以,在线段 AB 上存在点 G (1, , 0) ,使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 .. . . . . . . . . . . . .14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记 X 表示这 40 位市民满意指数的平均值,则

1 2

1 . 3

X?

1 (90 ?15 ? 60 ?17 ? 30 ? 6 ? 0 ? 2) ? 63.75 (分)…………………2 分 40

(Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3.

1 0 4 0 1 3 P(? ? 0) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125 12 1 4 1 1 2 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? 5 5 125 4 1 48 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? 5 5 125 64 3 4 3 1 0 P(? ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125
? ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125
?????8 分

(Ⅲ)设所有满足条件 n ? m ? 60 的事件为 A
1 ? 34 ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A21 A17 1 ? 30 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A21 A15 1 ? 90 ③满足 m ? 30且n ? 90 的事件数为: A61 A15

第 9 页

? P( A) ?

34 ? 30 ? 90 77 ? 2 A40 780

所以满足条件 n ? m ? 60 的事件的概率为
(18) (本小题满分 13 分) 解: (I) a ? 2, f ( x) ?

77 .……………………13 分 780

1 2 2 x ? 2ln x, f '( x) ? x ? , 2 x

1 f '(1) ? ?1, f (1) ? , 2
f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0. ………………………..3 分
(Ⅱ)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a .

①若 a ? 1, 即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, e] 上单调递增, 因此, f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值为 f (1) ? ②若 1 ?

1 . 2

a ? e,即1 ? a ? e2 , 在 ( 1, a ) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;在 ( a , e) 上,

上 f '( x) ? 0 , f ( x) 单 调 递 增 , 因 此 f ( x) 在 区 间 [ 1 , e ]的 最 小 值 为

1 f ( a ) ? a(1 ? ln a). 2
③若 a ? e, 即a ? e , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [1, e] 上单调递减,
2

因此, f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f (e) ? 综上,当 0 ? a ? 1时, f min ( x) ? 当 a ? e 时, f min ( x) ?
2

1 2 e ?a. 2

1 1 2 ;当 1 ? a ? e 时, f min ( x) ? a(1 ? ln a) ; 2 2
……………………………….9 分
2

1 2 e ? a. 2

(III) 由(II)可知当 0 ? a ? 1 或 a ? e 时, f ( x) 在 (1, e) 上是单调递增或递减函数,不 可能存在两个零点. 当 1 ? a ? e 时,要使 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,则
2

第 10 页

?1 ? 2 a (1 ? ln a ) ? 0, ? ?a ? e 1 1 2 ? ? ∴ ? f (1) ? ? 0, 即? 1 2 ,此时, e ? a ? e . 2 2 a? e ? ? ? 2 1 2 ? ? f (e) ? 2 e ? a ? 0, ?
所以, a 的取值范围为 (e,

1 2 e ). …………………………………………………………..13 分 2

(19) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, A(?a, 0) , B(a,0) , F (?c, 0) ,

AF g BF ? (a ? c)(a ? c) ? 1

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 1
又e ?

c2 a 2 ? b2 a 2 ? 1 3 3 2 ? 2 ? , e2 ? 2 ? ,解得 a ? 4 2 2 a a a 4 x2 ? y 2 ? 1 …………………………5 分 4

所求椭圆方程为

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,则 Q( x0 , 2 y0 ) ( x0 ? 2, x0 ? ?2)

由 A(?2, 0), 得 k AQ ?

2 y0 x0 ? 2 2 y0 ( x ? 2) x0 ? 2

所以直线 AQ 方程 y ?

由 B(?2,0), 得直线 l 的方程为x ? 2,
? M (2, 8 y0 ) x0 ? 2 ? N (2, 4 y0 ) x0 ? 2

由 k NQ

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 2 ? x0 x0 ? 4
2 2

又点 P 的坐标满足椭圆方程得到: x0 +4 y0 ? 4 ,

第 11 页

所以 x0 ? 4 ? ?4 y0
2

2

k NQ ?

2 x0 y0 2 x0 y0 x ? ?? 0 2 2 x0 ? 4 ?4 y0 2 y0 x0 ( x ? x0 ) 2 y0
2

? 直线 NQ 的方程: y ? 2 y0 ? ?
2

化简整理得到: x0 x ? 2 yy0 ? x0 ? 4 y0 ? 4 即 x0 x ? 2 yy0 ? 4 所以点 O 到直线 NQ 的距离 d ?

4 x0 2 +4 y0 2

? 2 ? 圆O的半径

? 直线 NQ 与 AB 为直径的圆 O 相切.……………………………………. 13 分

(20) (本小题满分 14 分)

解: (I)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,
3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,

① ②

用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,

②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,???????????2 分 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴
an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,
3n ? 1 ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = ???????????????????.4 分 2

(II)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) , ④—③得,
(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

③ ④

⑤. ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 ,

⑥—⑤得, nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ,. ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,

第 12 页

∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 ????????????????9 分 9?3

(III)由(II)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N* ,必存在 p ? N* 使
a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,

得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, ············· 10 分 又由已知,
1 1 11 18 18 ,故 ? ? ? a1 ? 12 . 一 方 面 , 当 ? a1 ? 12 时 , 1 2 S1 18 11 11
1 1 1 1 1 1 . ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12

Sn ? n ( n? 1a ?1 ) ? 0 ,对任意 n ? N* ,都有

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , 则
1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ,不合题意. ? ? 1? ? ? S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 ?????????.14 分 11

第 13 页


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