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高中数学必修1知识点总结


高中数学必修1知识点总结

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,

即元素的“确定性、互异性、无序性”。
如 : 集 合 A ? ? x | y ? lg x ? , B ? ? y | y ? lg x ? ,

C ? ? ( x , y ) | y ? lg x ? , A、 B、 C 中元素各表

示什么?

2. 进 行 集 合 的 交 、 并 、 补 运 算 时 ,
不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如 : 集 合 A ? ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? ? x | ax ? 1?
2

若 B ? A, 则 实 数 a的 值 构 成 的 集 合 为
1? ? ( 答 : ? ? 1, 0 , ? ) 3? ?

3. 注意下列性质:
( 1) 集 合 ? a 1 , a 2 , ? ? , a n ? 的 所 有 子 集 的 个 数 是 2 ;
n

( 2) 若 A ? B ? A ? B ? A, A ? B ? B;

(3)德摩根定律:

CU ? A ? B ? ? ? CU A ? ? ? CU B ?, CU ? A ? B ? ? ? CU A ? ? ? CU B ?

4. 你会用补集思想解决问题吗? (排除法、间接法)
如 : 已 知 关 于 x的 不 等 式 ax ? 5 x ?a
2

? 0的 解 集 为 M ,

若 3 ? M 且 5 ? M , 求 实 数 a的 取 值 范 围
(∵ 3 ? M,∴ a· 3 ? 5 3 ?a
2

?0 5? ? ? a ? 1, ? ? ? 9 , 25 ? ) ? 3? ? ? 0

∵5 ? M,∴

a· 5 ? 5 5 ?a
2

5. 对映射的概念了解吗?
是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯 一性 哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)

6. 函数的三要素是什么?

如何比较两个函数是否相同?

7. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y ? x ?4 ? x? lg ? x ? 3 ?
2

的定义域是

( 答 :0, ? ? ? 2,? ? ? 3, ? ) 3 4 ? 2

8. 如何求复合函数的定义域?
例 1、 函 数 f ( x )的 定 义 域 是 ? a, b ? , b ? ? a ? 0,

则 函 数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x )的 定 义 域 是 _____
( 答 : a, ? a )

?

?

例 2、 设 f ( x ? 1)的 定 义 域 为 ?1, 2 ? , 求 函 数 g ( x ) ? f ( x )的 定 义 域
2

( 答 :-1, ) ? 1?

9. 求函数的解析式有哪些常见类型?
例 : 已 知 2 f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ? 2 x - 1, 求 二 次 函 数 f ( x )
2

的解析式

f (x) ? 2 x ?
2

4 3

x ?1

10. 求函数的值域有哪些常见类型?
例:求下列函数值域
(1) y ? 4 3 ? 2 x ? x ; (2) y ? x ?
2

1? 2x

(1) ? 2, 4 ? ; (2) ? ?? ,1?

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时, 注明函数的定义域了吗?
如:f

?

x ? 1 ? e ? x , 求 f ( x ).
x
x ?1
2

?

f ( x) ? e

? x ?1 ? x ? 0?
2

12. 反函数存在的条件是什么?

求反函数的步骤?
?1 ? x ? x ? 0 ? ? 例 : 求 函 数 f ( x) ? ? 的反函数 2 ?? x ? x ? 0? ?
? x ? 1 ? x ? 1? ? ( x) ? ? ) ?? ? x ? x ? 0? ?

(答:f

?1

13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; ③原函数的定义域为反函数的值域,原函数的 值域为反函数的定义域
例 : 已 知 f ? x ? ? a ? k 的 图 象 过 点 (1, 3), 其 反 函 数
x

的 图 象 过 (2, 0)点 , 求 f ( x ) 表 达 式 .

14. 如何用定义证明函数的单调性?
例 : 已 知 奇 函 数 f ( x )在 区 间 ? a , b ? 上 是 减 函 数 , 证 明 f ( x ) 在 区 间 ? ?b, ? a ? 上 仍 是 减 函 数 .

如何判断复合函数的单调性?
例 : 求 y ? log 1 ? ? x ? 2 x ? 的 单 调 区 间
2 2

15. 二次函数在闭区间上的最值问题
例 : 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2, 求 f ( x ) 在 ? ? 5, 5 ? 上 的
2

最大值与最小值.

16. 如何判断函数f(x)的奇偶性?
若 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x )为 奇 函 数 ? 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称
若 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x )为 偶 函 数 ? 函 数 图 象 关 于 y 轴 对 称

例 1: 若 f ( x ) ?

a 2 ?a?2 ·
x

2 ?1
x

为 奇 函 数 , 则 实 数 a ? __

例 2: f ( x ) 为 定 义 在 ( ? 1, 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 时 , 1) 1) f (x) ? 2
x x

4 ?1

, 求 f ( x )解 析 式 .

17. 周期函数的定义
若 存 在 实 数 T T ? 0) , 在 定 义 域 内 总 有 f ? x ? T ? ? f ( x ), ( 则 f ( x )为 周 期 函 数 , T 为 一 个 周 期 .

若 f ? x ? a ? ? ? f ( x ), 则 T ? 2 a 为 f ( x )的 一 个 周 期
例 : 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ? x ? 2 ? ? ? f ( x ), 则 f (6)的 值 为 ____

18. 你掌握常用的图象变换了吗?
f ( x) 与 f ( ? x) 的 图 象 关 于 y轴 对 称
f ( x) 与 ? f ( x) 的 图 象 关 于 x轴 对 称
f (x)与 ? f (? x)的 图 象 关 于 原 点 对 称

f (x)与 f

?1

(x)的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称

f ( x) 与 f (2a ? x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称

f (a ? x ) ? f (a ? x ) ? 对 称 轴 为 x ? a

y ? f (x ? a) 左 移 a (a ? 0) 个 单 位 将 y ? f (x)图 象 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? f (x ? a) 右 移 a (a ? 0) 个 单 位
y ? f (x ? a) ? b 上 移 b ( b ? 0) 个 单 位 ???????? ? ? y ? f (x ? a) ? b 下 移 b ( b ? 0) 个 单 位

注意如下“翻折”变换:
f (x) ? ? f (x) ? f ( x ) ? ? f (| x |) ?

例 : 作 出 y ? | log 2 ? x ? 1 ? | 及 y ? log 2 | x ? 1| 的 图 象 .

19.熟练掌握常用函数的图象和性质
( 1) 一 次 函 数 : y ? kx ? b ? k ? 0 ?

( 2) 反 比 例 函 数 : y ?

k x

?k

? 0?
2 2

b ? 4 ac ? b ? 2 ( 3) 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? ? a ? x ? ? ? 2a ? 4a ?
( 4)指数函数:y ? a
x

? a ? 0 , a ? 1?
k x

( 5 ) 对 数 函 数 y ? log a x ? a ? 0 , a ? 1?
( 6) “ 对 勾 函 数 ” y ? x ?

?k

? 0?

20.指数、对数基本运算
指数运算:a
0

? 1 ( a ? 0) , a
?
n m

?p

?
m n

1 a
p

( a ? 0)
1 (a ? 0)
m

m

a

n

a

(a ? 0) , a

?

?
n

a

对 数 运 算 : log a M · N ? log a M ? log a N ? M ? 0 , N ? 0 ?
log a M N ? log a M ? log a N , log a
n

M ?

1 n

log a M

对数恒等式:a

log a x

? x
lo g c b lo g c a ? lo g a m b ?
n

对数换底公式: ga b ? lo

n m

lo g a b

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)
如:

(1) x ? R, f ( x ) 满 足 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), 证 明 f ( x ) 为 奇 函 数 。
( 先 令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 再 令 y ? ? x, ? ? )

( 2 ) x ? R , f ( x ) 满 足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 证 明 f ( x ) 是 偶 函 数 。
( 先 令 x ? y ? ? t, 再 令 x ? y ? t ? f ? ( ? t )( ? t ) ? ? f ( · t ) t
∴ f ( ? t ) ? f ( ? t ) ? f ( t ) ? f ( t )即 f ( ? t ) ? f ( t )

( 3) 证 明 单 调 性 : f ( x 2 ) ? f ? ? x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ? … … ? ? ? x2 ? f ( x 2 ) ? f ? x1 ? ? x1 ? ?

22. 函数零点的概念?判断零点个数的方法?
一 元 二 次 方 程 f ( x ) ? ax ? bx ? c的 区 间 根 问 题
2


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