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高二数学第4讲 双曲线1学生


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高二学生卷
4、离心率: e ?

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2c c b2 ? 叫做双曲线的离心率。 e ? 1 ? 2 ,范围: e ? 1 2a a a 2 2 2 x y a a2 5、准线方程: 对于 2 ? 2 ? 1 ,左准线 l1 : x ? ? ;右准线 l 2 : x ? 。 c c a b y2 x2 a2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,下准线 l1 : y ? ? ;上准线 l 2 : y ? 。 c c a b ? MF1 ? a ? ex0 ? MF1 ? a ? ey0 6、焦半径公式:① 焦点在 x 轴:? ② 焦点在 y 轴:? ? MF2 ? a ? ex0 ? MF2 ? a ? ey0
两种形式的区别可以记为:左加右减,下加上减(带绝对值号) 。

L3 专题:高二数学(选修 2-1)
第四讲
一、考点定位:

圆锥曲线与方程 双曲线及其几何性质

1、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; 2、理解直线与双曲线的位置关系问题。 3、理解与双曲线有关的面积问题、对称问题、范围问题、向量问题、最值、定值等问题。

二、知识网络:
第 一 定 义
焦点在 x 轴上 图象 焦点在 y 轴上 对称性 性质 范 围 面积问题 应用 弦长问题 向量问题 。 。 。 。 。 。 渐近线 中点问题 焦半径 对称问题 实、虚轴 准线方程 标准方程 a,b,c,e 意义

2b 2 7、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A, B 两点,则弦长 | AB |? 。 a 2 8、焦点三角形面积公式: S ?F1PF2 ? b cot? , ( 2? ? ?F1 PF2 ) 。
(四)等轴双曲线: a ? b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线, e ? (五)双曲线的关系: 1、共渐近线的双曲线系:已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ? 近线的双曲线的方程可以设为

2。

双 曲 线

b x ,那么与此双曲线方程共渐 a

第 二 定 义

三、主干梳理:
(一)双曲线定义 1、第一定义: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a ( 2a ?| F1 F2 |) 。 2、第二定义:

x2 y2 ? ? ? , (? ? 0) 。 a2 b2 x2 y2 2、共轭双曲线:以已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲 a b 2 2 y x 1 1 线 C 2 : 2 ? 2 ? 1 称为双曲线 C1 的共轭双曲线,且有 2 ? 2 ? 1 和 e1 ? e2 ? 2 2 。 b a e1 e2

y
B2

四、考点聚焦: 考点题型 1 双曲线的定义问题
1、双曲线的第一定义 例 1.动点 P 到定点 F1 (1,0) 的距离比它到定点 F2 (3,0) 的距离小 2 ,则点 P 的轨迹是( (A)双曲线 (B)双曲线的一支 (C)一条射线 (D)两条射线 )

| MF | ? e (e ? 1) 。 d

(二)双曲线标准方程

x2 y2 x A1 A2 O ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ; 2 a b 2 y x2 B1 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 。 2、焦点在 y 轴上的双曲线标准方程: 2 a b2 x2 y2 (三)双曲线的性质:以 2 ? 2 ? 1 研究双曲线的几何性质。 a b 1、对称性: 原点叫双曲线的对称中心,简称中心, x 轴、 y 轴叫双曲线的对称轴。 2、顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? , 实轴: A1 A2 长为 2a , a 叫做实 2 2 2 半轴长. 虚轴: B1 B2 长为 2b , b 叫做虚半轴长。 其中 c ? a ? b 。
1、焦点在 x 轴上的双曲线标准方程:

x2 y2 例 2. (湖南联考)已知双曲线m- =1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 A、B 两点, 7 且|AB|=4,F2 为双曲线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为( (A)8 (B)9 (C)16 )

(D)20

b a y2 x2 3、双曲线的渐近线: y ? ? x ( y ? ? x 是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线) ; a b a b

2、双曲线的第二定义
1

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y
M1
NA1 A

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圆圆心 M 的轨迹方程是( (A)x ? 0

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例 3.已知双曲线经过点 M (5, 55) ,且以直线 x ? 1 为右准线. (1)如果 F (2,0) 为此双曲线右焦点,求双曲线的方程; (2)如果离心率 e ? 2 ,求双曲线中心的轨迹方程。 解析: (1)设 P ( x, y ) 是所求双曲线上任一点, 由双曲线的第二定义:

M

x2 y2 ? 1( x ? 2 ) (B) ? 2 14

x2 y2 x2 y2 ? 1 (D) ? ? 1或 x ? 0 (C) ? 2 14 2 14

F1
x

( x ? 2) 2 ? y 2 ? | x ?1|
2

(5 ? 2) 2 ? ( 55 ? 0) 2 ? e, | 5 ?1|
2 2
2 2

O

整理可得: ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 1) ,即 3x ? y ? 4 x ? 0 (2)设双曲线中心 N ( x, y) ,则右焦点 F1 (c ? x, y) ,右顶点 A(a ? x, y )

x ?1

考点题型 3

圆锥曲线的方程问题

| AF1 | (c ? x ) ? ( a ? x ) ? 2 ,又 c ? 2a , 依题意: ? 2 ( A1 是右准线与实轴的交点), (a ? x) ? 1 | AA1 | | MF1 | 故 a ? 2 ? 2 x ,即 F1 (4 ? 3x, y ) ,又 ? 2 ( MM 1 垂直于右准线, M 1 为垂足) | MM 1 | 1 2 9 ( x ? ) 2 2 (5 ? 4 ? 3x) ? ( 55 ? y) ( y ? 55) 2 3 即 ? 2 ,整理可得: ? ?1 5 ?1 64 64 考点题型 2 与定圆相切中的动圆圆心轨迹问题 例 4.已知定圆 F1 : x 2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 ,定圆 F2 : x 2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0 ,动圆 M 与定圆
F1、 F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

1、圆锥曲线方程成立的条件 例 6.讨论 (m ? 3) x 2 ? (5 ? m) y 2 ? 1 表示的曲线。 解析: (1)当 m ? 3 时, m ? 3 ? 0 , 5 ? m ? 0 ,曲线为焦点在 y 轴上的双曲线;
2 (2)当 m ? 3 时,方程为: 2 y ? 1 ? y ? ?

2 ,表示两条平行于 x 轴的直线; 2

(3)当 3 ? m ? 5 时, m ? 3 ? 0 , 5 ? m ? 0 ,曲线为椭圆型曲线 ①当 3 ? m ? 4 时,

1 1 ? ? 0 ,曲线为焦点在 x 轴上的椭圆; m?3 5?m

2 2 ②当 m ? 4 时,曲线为圆,方程为: x ? y ? 1

③当 4 ? m ? 5 时, 0 ?

1 1 ? ,曲线为焦点在 y 轴上的椭圆; m?3 5?m

2 (4)当 m ? 5 时,方程为: 2 x ? 1 ? x ? ?

2 ,表示两条平行于 y 轴的直线; 2

(5)当 m ? 5 时, m ? 3 ? 0 , 5 ? m ? 0 ,曲线为焦点在 x 轴上的双曲线; 2、求曲线方程 例 5. (广东)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4,( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切。 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 解析:设圆 C 的圆心为 C ( x, y ) ,半径为 r ,圆 ( x ? 5) ? y ? 4 的圆心为 F 1 (? 5,0) ,
2 2

例 7.求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过点 A(2 3,?3) 的双曲线的标准方程。 16 9

半径为 2 ; 圆 ( x ? 5) ? y ? 4 的圆心为 F2 ( 5,0) ,半径为 2 ;
2 2

| CF1 |? r ? 2 ?| CF1 |? r ? 2 依题意,有 ? 或? , 所以 || CF 1 | ? | CF 2 ||? 4 ? 2 5 ?| F 1F 2| ? ?| CF2 |? r ? 2 ?| CF2 |? r ? 2
所以圆 C 的圆心轨迹 L 是以原点为中心,焦点在 x 轴上,焦距为 2c ? 2 5 , 实轴长为 2a ? 4 的双曲线,因此 a ? 2 , c ? 5, b ? 1 ,故轨迹 L 的方程为
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4
2

变式训练:已知圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 2, C2 : ( x ? 4) ? y ? 2 ,动圆 M 与两圆都相切,则动

考点题型 4

弦长问题

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例 8.已知双曲线 C :

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2

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即b ?

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5 6 x2 4y2 ,此时的双曲线为: ? ? ?1 2 2 (5 ? 6 ) 2 (5 ? 6 ) 2
y2 x2 ? ?1, x?R b 2 4b 2

x l2 ,过双曲线 C 为右焦点 F2 作垂直于 l1 的 ? y 2 ? 1 的渐近线分别 l1、 4 B 两点, 直线交双曲线 C 于 A、 (1)求 | AB | ; (2) F1 为 C 的左焦点,求 ?F1 AB 的周长。

(2)若焦点在 y 轴上,设方程为: 同理可得: | AP |?

5 ( x ? 4) 2 ? 5 ? b 2 ,当 x ? 4 时, | AP | min ? 5 ? b 2 ? 6 4 x2 2 ?1。 即 b ? 1 ,此时双曲线的方程为: y ? 4 x2 x2 4y2 2 ?1。 综上所述,双曲线的方程为: 或y ? ? ? 1 4 (5 ? 6 ) 2 (5 ? 6 ) 2
考点题型 7 考点题型 5 焦点三角形问题 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、 F2 ,点 P 在双曲线上, S ?F1PF2 ? 3 , 例 9.已知双曲线 4
则 PF 1 ? PF 2 ?( (A) 2 ) (B) 3 (C) ? 2
y

由直线和双曲线的位置关系确定参数取值范围
x2 B 两点, ? y 2 ? 1 的左支交于 A、 3

例 11.直线 l : y ? kx ? 2 和双曲线 (1)求 k 的取值范围;

(D) ? 3
P

(2)若线段 AB 的垂直平分线 l ? 与 y 轴交于点 M (0, m) ,求 m 的取值范围。

y

F1

O

F2

x

A
O

x

B

考点题型 6

最值问题、存在性问题

例 10.是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其标准方程;若不存在,说明理由。 ① 渐近线为 x ? 2 y ? 0 及 x ? 2 y ? 0 ; ② 点 A(5,0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 。 解析:假设存在满足条件的双曲线

x x2 y2 ? y2 ? b2 (1)若双曲线的焦点在 x 轴上: 设方程为: 2 ? 2 ? 1, (b ? 0) , 设 P ( x, y ) , 则有 4 4b b
( x ? (??,?2b] ? [2b,??) ) ,

2

| AP |? ( x ? 5) 2 ? y 2 ?

5 ( x ? 4) 2 ? 5 ? b 2 4
5 6 ? 2 2
3

当 2b ? 4 时,当 x ? 4 时, | AP | min ?

5 ? b 2 ? 6 ,无解;

当 2b ? 4 时,当 x ? 2b 时, | AP | min ?| 2b ? 5 |? 6 ,即 b ?

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六、精彩点评:

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2、最值、定值问题。 4、直线与双曲线的位置关系问题。

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1、与双曲线有关的性质问题。 3、定型、定位、定量 5、解析几何题的解题思路

七、超越梦想: x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 则 k 的取值范围是 1、已知方程 ( ) 1? k 1? k (A) ? 1 ? k ? 1 (B) k ? 0 (C) k ? 0 (D) k ? 0 或 k ? ?1 2 y 2 ? 1 上的一点,F1、 2、设 P 为双曲线 x ? F2 是该双曲线的两个焦点,若 PF1 : PF2 ? 3 : 2 , 12 则 ?PF1 F2 的面积为 ( )
(A) 6 3 3、 (湖南)设双曲线 (A) 4
2 2

(B) 12

(C) 12 3

(D) 24 )

参考答案: 1、A 2、B 3、C 4、 (? 7 ,0), ( 7,0 ) 5、 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( a2 9
(B) 3 (C) 2 (D) 1

1 4

6、解析:由双曲线方程知, a ? 2, e ?

3 4 , l : x ? ? , x 0 ? ?2. 2 3

则根据已知条件及双曲线的定义可得: 。

x y 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是 4 m 2 2 2 5、双曲线 x ? ky ? 1 的一条渐近线的斜率是 2 ,则 k 的值为 。
4、若双曲线

d ? PF2 ? 2 PF1 , PF2 ? PF1 ? 4 , PF1 ?
由以上条件解得 d ? 8 ,

3 d, 2

??

F2 分别为双曲线 6、设 F1、

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, l 为左准线, P( x0 , y 0 ) 为双曲线左支上 4 5 一点, P 点到 l 的距离为 d ,已知 d , PF 1 , PF2 成等差数列,求 x0 的值.

4 28 ? x 0 ? 8,? x0 ? ? 。 3 3
2 2

1? ? 3? ? 7、 (1)解:设 N ( x,y ) 为 C 上的点,则 | NP |? ? x ? ? ? ? y ? ? , 2? ? 8? ?

1? ? 3? 5 5 5 ? N 到直线 y ? ? 的距离为 y ? .由题设得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? y ? . 2? ? 8? 8 8 8 ? 1 2 化简,得曲线 C 的方程为 y ? ( x ? x ) . 2
(2)直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x,kx ? k ) ,从而 | QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| .

2

2

7、已知曲线 C 是到点 P ( ? (1)求曲线 C 的方程;

5 1 3 , ) 和到直线 y ? ? 距离相等的点的轨迹, l 是过点 Q(?1,0) 的直 8 2 8 y 线, M 是 C 上(不在 l 上)的动点; A, B 在 l 上, MA ? l , MB ? x 轴
M
l

, 0) 垂直于 l 的直线 l1 : y ? ? 过 Q (?1
因为 | QA |?| MH | ,所以 | QA |?

1 ( x ? 1) . k | x ? 1| | kx ? 2 |

y


M
l

2 1? k 2

l1

| QB |2 (2)求出直线 l 的方程,使得 为常数. | QA |
QO

B

A

x

| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 . ? 2 | QA | |k| x? k 2 | QB | ?5 5 , 当 k ? 2 时, | QA | 从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
4

H
QO

B

A

x

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参考答案:

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1、解析:由方程可知曲线的焦点在 x 轴上,且 3m ? 5n ? 2m ? 3n ? m ? 8n
2 2 2 2 2 2

L3 专题:高二数学(选修 2-1)
第四讲

圆锥曲线与方程 双曲线及其几何性质(提高卷)


双曲线的离心率、渐近线问题是考查双曲线性质的重要考点
x2 y2 x2 y2 1、椭圆 与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,则双曲线的渐近线为( ? ? 1 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2
(A)x ? ? 2、已知双曲线

由双曲线方程知其渐近线的方程为 y ? ? 故选 D 2、解析:因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得

3 3n 2 x, x ,将 m 2 ? 8n 2 代入,得 y ? ? 2 4 2m

15 y 2

(B) y ? ?

15 x 2

(C)x ? ?

3 y 4

(D) y ? ?

3 x 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲线上存 a 2 b2 sin ?PF a 1 F2 在一点 P 使 . ? 成立,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin ?PF2 F1 c
5 . 2

3、 (重庆)已知以原点 O 为中心, F ( 5,0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ? (1)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;

| PF2 | | PF 1 | ? ? ①, sin ?PF sin ?PF2 F1 1 F2 sin ?PF1 F2 a a c 又有 ,即 a? | PF ? ? ②,则由①②,得 ? 1 |? c? | PF 2 |, sin ?PF2 F1 c | PF2 | | PF1 | | PF2 | a 又由 ? ? 1 知点 P 在双曲线的右支上,设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半径公式, | PF | c 1 得 | PF | PF2 |? ex? ? a , ? a? | PF 1 |? a ? ex? , 1 |? c? | PF 2 | 则 a(a ? ex0 ) ? c(ex0 ? a) a(c ? a ) a (e ? 1) a(e ? 1) ? ?a, 解得 x0 ? 由双曲线的几何性质知 x0 ? a 则 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)
整理得 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 1 ? 又 e ? 1, 故椭圆的离心率 e ? (1, 2 ? 1) 2 ? e ? 1? 2 ,

(2)如图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y2 )(其中 x2 ? x1 ) 的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线 分别交于 G 、 H 两点,求 OG ? OH 的值.

y
l2
G O N

l1

M

H

x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由题意 c ? 5 , a2 b2 x2 c 5 又e ? ? ? y2 ?1 , 得 a ? 2, b ? 1 ,双曲线的 C 的标准方程为 4 a 2 双曲线的 C 的渐近线方程 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 。 (2)由题意知点 E ( xE , y E ) 在直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 和 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 上, 因此有 x1 xE ? 4 y1 y E ? 4 , x2 xE ? 4 y2 y E ? 4 故点 M , N 均在直线 xE x ? 4 y E y ? 4 上, 因此直线 MN 的方程为 xE x ? 4 y E y ? 4 。已知 G , H 分别是直线 MN 与渐近线
3、解析: (1)设双曲线的 C 的标准方程为

E

?x x ? 4 yE y ? 4 x ? 2y ? 0 及 x ? 2y ? 0 的 交 点 , 由 方 程 组 ? E 及 ?x ? 2 y ? 0 4 4 ? ? xG ? xH ? ? ? xE ? 2 y E xE ? 2 y E ? xE x ? 4 y E y ? 4 ? ? ,解得 ? 及? ? 2 2 ?x ? 2 y ? 0 ?y ? ?y ? ? G H ? ? xE ? 2 y E xE ? 2 y E ? ? 4 4 2 2 12 故 OG ? OH ? ? ? ? ? 2 2 xE ? 2 y E xE ? 2 y E xE ? 2 y E xE ? 2 y E xE ? 4 y E
x2 2 2 ? y 2 ? 1 上,所以 xE 因为点 E 在双曲线 ? 4 yE ? 4 代人上式 4 12 12 得 OG ? OH ? 2 ? ? 3 ,故 OG ? OH ? 3 。 2 4 xE ? 4 y E

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1.D 2 .C 3. ? 5

L3 成功法则:目标+兴趣+信心+方法+勤奋 ? 成功
4. (1) (2 ) (4)

L3 专题:高中数学复习备考训练
一、选择题:
x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 1. P 为双曲线 9 16 上的点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为( ) (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 x ?1 ) 的所有 x 之和 2.设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时是单调函数,则满足 f ( 2 x ) ? f ( x?4
为( ) (A) ?

9 2

(B) ?

7 2

(C) ? 8

(D) 8

二、填空题:
?x ? y ? 1 ?2 x ? y ? 4 ? 3.已知 x, y 满足 ? ,则函数 z ? x ? 3 y 的最小值是 。 x ? 2 y ? ? 3 ? ? ?3 x ? 2 y ? 3 4 .已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对于 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,当

x1 , x2 ?[0,3] ,且 x1 ? x2 时,都有
① f (3) ? 0 ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 给出下列命题: x1 ? x2
④函数 y ? f ( x) 在 [?9,9] 上有四个零点. (把所有正确 命题的序号都 填上) .. .

x x x x ? 1 3 x 1 x 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 4 4 4 2 6 2 2 2 2 2 2 x ? 1 ? x ? 1 cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? ∵m?n ?1 ∴ sin( ? ) ? 2 6 2 3 2 6 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? 3 3 2 (2)∵ (2a ? c) cos B ? b cosC ,由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 1 ? 2? ∴ cos B ? , B ? ∴0 ? A ? 2 3 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6 x ? 1 又∵ f ( x) ? m ? n = sin( ? ) ? , 2 6 2 A ? 1 3 f ( A) ? sin( ? ) ? 故函数 f ( A) 的取值范围是(1, ) 2 6 2 2 6. (1)设等比数列 {an } 的首项为 a 1 ,公比为 q ,
5. (1) m ? n ? 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ∴ a 2 ? a 4 ? 20 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 得 a3 ? 8 ,

②直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴;

③函数 y ? f ( x) 在 [ ?9,?6] [上为增函数; 其中所有正确 命题的序号为 ..

三、解答题:
5.已知向量 m ? ( 3 sin

1 ? ? a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? q ? ? ∴? 解之得 ? 或? 2 2 a ? 2 a ? a q ? 8 ? 1 ? 1 ? 3 ? a ? ? 1 32
又 {an } 单调递增,∴ q ? 2 , a1 ? 2 (2) bn ? 2 ? log1 2 ? ?n ? 2 ,
n n n 2

x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ) )。 4 4 4 2? ? x) 的值; (1)若 m ? n ? 1 ,求 cos( 3 (2)记 f ( x) ? m ? n ,在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC ,求函数 f ( A) 的取值范围。

∴ an ? 2

n

∴ ?sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ... ? n ? 2
2 3

n

① ②

∴ ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ... ? (n ?1) ? 2n ? n2n?1 ∴ ①-②得 S n ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2 , 1? 2

6.已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 bn ? an log1 an , S n ? b1 ? b2 ? ......? bn ,求 S n ? n ? 2
2

∴ Sn ? n ? 2

n?1

? 50 ,即 2n?1 ? 2 ? 50,?2n?1 ? 52 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5 .

n ?1 5 n ?1 6 又当 n ? 4 时, 2 ? 2 ? 32 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 ? 2 ? 64 ? 52 .

n?1

? 50 成立的正整数 n 的最小值。

故使 S n ? n ? 2

n?1

参考答案:

追求卓越

成就梦想

6

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