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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分60 变量间的相关关系与统计案例


开卷速查(六十)

变量间的相关关系与统计案例
A 级 基础巩固练

1.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 m 1 3 2 5.5 3 7

^=2.1x+0.85,则 m 的值为 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程y ( ) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5

解析:回归直线必过样本中心点(1.5, y ),故 y =4,m+3+5.5 +7=16,得 m=0.5. 答案:D 2.下面是 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 则表中 a,b 的值分别为( a 22 b ) y2 21 25 46 总计 73 47 120

A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 解析:∵a+21=73,∴a=52,又 a+22=b,∴b=74. 答案:C ^=60 3.工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y +90x, 下列判断正确的是( )

A.劳动产值为 1 000 元时,工资为 50 元 B.劳动产值提高 1 000 元时,工资提高 150 元 C.劳动产值提高 1 000 元时,工资提高 90 元

D.劳动产值为 1 000 元时,工资为 90 元 解析:回归系数 b 的意义为:解释变量每增加 1 个单位,预报变 量平均增加 b 个单位. 答案:C 4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得 到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n?ad-bc?2 由K= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 算得 K = ≈7.8. 60×50×60×50
2

附表: P(K2≥k) k 0.050 0.010 3.841 6.635 ) 0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是(

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动 与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动 与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 解析:根据独立性检验的定义,由 K2≈7.8>6.635,可知我们在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下,即有 99%以上的把握认为“爱好该

项运动与性别有关”,故选 C. 答案:C 5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

^=b ^x+^ ^为 9.4,据此模型预报广告 根据上表可得回归方程y a中的b 费用为 6 万元时销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

^ x ,则^ ^ x =42- 解析:样本中心点是(3.5,42),^ a= y -b a = y -b 9.4×3.5=9.1, ^=9.4x+9.1,把 x=6 代入得y ^=65.5,故选 所以回归直线方程是y B. 答案:B 6.[2014· 湖北]根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 5 6 7 8

2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 ) B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

^=bx+a,则( 得到的回归方程为y A.a>0,b>0 C.a<0,b>0

解析:根据题中表内数据画出散点图(图略),由散点图可知 b<0, a>0,选 B. 答案:B ^= 7 .某炼钢厂废品率 x(%) 与成本 y( 元 /t) 的线性回归方程为 y 105.492+42.569x.当成本控制在 176.5 元/t 时,可以预计生产的 1 000 t

钢中,约有__________t 钢是废品. 解析: ∵176.5 = 105.492 + 42.569x , ∴x≈1.668 ,即成本控制在 176.5 元/t 时,废品率为 1.668%. ∴生产的 1 000 t 钢中,约有 1 000×1.668%=16.68 t 钢是废品. 答案:16.68 8.[2014· 课标全国Ⅱ]某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均 纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民 家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均 纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

? ?ti- t ??yi- y ?
^= b
i=1 n

n

^ t. ,^ a= y -b

? ?t i - t ?2
i=1

解析:(1)由所给数据计算得 1 t =7(1+2+3+4+5+6+7)=4, 1 y =7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑ (ti- t )2=9+4+1+0+1+4+9=28, i=1
7

∑ (ti- t )(yi- y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7) i=1 +0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, ∑ ?ti- t ??yi- y ? 14 i=1 ^ b= =28=0.5, 7 2 ∑ ? t - t ? i i=1 ^ ^ t =4.3-0.5×4=2.3, a= y -b ^=0.5t+2.3. 所求回归方程为y ^=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭 (2)由(1)知,b 人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. ^=0.5×9+ 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得y 2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. B 级 能力提升练 9.[2014· 重庆]已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平 均数 x = 3 , y = 3.5 ,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( ) ^=0.4x+2.3 A.y ^=-2x+9.5 C.y ^=2x-2.4 B.y ^=-0.3x+4.4 D.y
7

7

解析:依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除 C、D.且 直线必过点(3,3.5),代入 A、B 得 A 正确. 答案:A 10.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得 ^=0.67x+54.9. 回归方程y

零件数 x(个)

10

20

30 75

40 81

50 89

加工时间 y(min) 62

现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为 __________. 解析: 由已知可计算求出 x =30, 而回归直线方程必过点( x ,y ), a+62+75+81+89 则 y =0.67×30+54.9=75,设模糊数字为 a,则 = 5 75,计算得 a=68. 答案:68 11.某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下 工人 200 名,为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分 层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均 生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁 以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频 率分布直方图.

25 周岁以上组

25 周岁以下组 (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求 至少抽取一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据 已知条件完成 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“生产能手 与工人所在的年龄组有关”? n?ad-bc?2 K= ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

解析:(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁 以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组 工人有 60×0.05=3(人), 记为 A1, A2, A3; 25 周岁以下组工人有 40×0.05 =2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人, 所有的可能结果共有 10 种, 它们是: (A1, A2),(A1,A3)(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3, B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3, 7 B2),(B1,B2),故所求的概率 P=10. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以

上组”中的生产能手 60×0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产 能手 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计
2

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

15 15 30

n?ad-bc?2 所以得 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 = 60×40×30×70 25 =14≈1.79. 因为 1.79<2.706, 所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有 关”.


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