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高二数学选修4-5


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复习
(一)绝对值的定义: 对任意实数a,

?a (当a ? 0时) ? a ? ?(当 0

a ? 0时) ?? a(当a ? 0时) ?

问题
我们已学过积商绝对值的性质, 哪位同学能回答?

a a ab ? a b , ? ?b ? 0?. b b
2 2 当 a ? 0 时,有: x ?a?x ?a ?x?a

或 x ? ?a.

(二)绝对值的几何意义:
实数a的绝对值 |a|,表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离(图1)。
|a| O

A

x

如:|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B 到坐标原点的距离。

由绝对值的几何意义可知,A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3,可表示为:

x ?3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3

同理,与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为:
x ?3

如图

设a,b是任意两个实数,那么|a-b| 的几 何意义是什么?

A a

|a-b| b

B x

探究
用恰当的方法在数轴上把|a| , |b| ,|a+b| 表示出来,你能发现它们之间有何关系?
定理1 如果a,b是实数,则

|a+b| ≤|a| +|b| ,
当且仅当ab≥0时,等号成立。
绝对值三角 不等式

探究?
? ?如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 a, b ,能得出什么结论?你能解释其几何意
义吗?

? ? (1) 当 a , b 不共线时有
(2) 当

? ? a, b

? ? ? ? a?b ? a ? b

共线且同向时有

绝对值三角 不等式

? ? ? ? a?b ? a ? b

如何证明定理1?

探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| , |b| ,|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?

结论:
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|

注意:1? 左边可以“加强”同样成立,即

| a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b |
2? 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边

, b 异号时左边取“=” 3? a, b 同号时右边取“=”a ,
推论1: | a1 ? a2 ? a3 | ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 |

a1 ? a2 ? ?? an ? a1 ? a2 ? ?? an n?n ? N ? ?
推论2: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |
| a | ? | ?b |? | a ? (?b) |? | a | ? | ?b | 证明:在定理中以?b 代b, 得:
即: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |

定理探索
当 a ? b ? 0 时,显然成立, 当 a ? b ? 0时,要证 a ? b ? a ? b . 只要证 a2 ? 2 a b ? b2 ? a2 ? 2ab ? b2, 即证 ? ab ? ab. 而 ? ab ? ab显然成立.

从而证得 a ? b ? a ? b ? a ? b .

定理探索
还有别的证法吗? 由? a ? a ? a与 ? b ? b ? b , 得 ? a ? b ? a ?b ? a ? b .

?

?

当我们把 a ? b 看作一个整体时, 上式逆
用 x ? a ? ?a ? x ? a 可得什么结论?

a ? b ? a ? b.

定理探索
能用已学过得的 a ? b
证明 a ? b ? a ? b 吗?

? a?b

可以 a 表示为 a
即a

a ? ?a ? b? ? b ? a ? b ? ? b .

? a ? b ? b.

? b ? a ? b.

就是含有绝对值不等式的重要定理, 即 a ? b ? a ?b ? a ? b .

例题
例1 求 已知ε >0,x-a ? ε , y ? b ? ε , 2x+3y-2a-3b ? 5ε
?
2M ,0 ? y ? b ?

例2 已知 x ? a ?

?
2a

, y ? ?0, M ? ,

求证 xy ? ab ? ? . 证明: xy ? ab ? xy ? ya ? ya ? ab ? y?x ? a? ? a? y ? b?
? ? ? y x ?a ? a y ?b ? M ? ?a? ? ?. 2M 2a

例题
例3 求证
a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b

.
1

证明:在 a ? b ? 0 时,显然成立. 当 a ? b ? 0 时,左边 ?
1 1 a?b

1 ?1 a?b

?

a?b a b ? ? ? . 1? a ? b 1? a 1? b ?1

练习
1 1 1.①已知 x ? r ? 0, a ? 0 ,求证 ax ? a r .
? ? 2.已知 A ? a ? , B ? b ? ,求证: 2 2

②已知 an ? l ? 1, 求证 an ? l ? 1 .

① ? A ? B? ? ?a ? b? ? ? ; ②

?A ? B? ? ?a ? b? ? ? .

例2. 已知 | x | ?

?
3

, | y |?

?
6

, | z |?

?
9

求证: | x ? 2 y ? 3z | ? ?
证明: | x ? 2 y ? 3z | ? | x | ? | 2 y | ? | ?3z |

?| x | ? | 2 || y | ? | ?3 || z |
? | x |?

?
3

?| x | ?2 | y | ?3 | z |
, | y |?

?

6

, | z |?

?

9

2? 3? ?? ? | x | ?2 | y | ?3 | z | ? ? ? 3 6 9

?

? | x ? 2 y ? 3z | ? ?

a?b 例.3.已知 | a | ? 1, | b | ? 1, 求证 ?1 1 ? ab
a?b (a ? b)2 证明: ?1? ?1 2 1 ? ab (1 ? ab)

? a2 ? 2ab ? b2 ? 1 ? 2ab ? a2b2

? 1 ? a 2 ? b2 ? a 2 b2 ? 0

? (1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0
由 | a | ? 1, | b | ? 1, 可知(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0 成立,
a?b 所以 ?1 1 ? ab

例4.设 a, b, c, d 都是不等于 0 的实数,求证 a b c d ? ? ? ?4 b c d a

a b c d 证明: ? ? 0, ? 0, ? 0, ?0 b c d a a a b a b a b ? 2 ① ? ? ?2 ? ?2 ? c b c b c b c c d c d c d c ② ? ?2 ? ?2 ? ?2 d a d a d a a
又 a ? c c ?2 a a ? c c a
? 24 a c ? ?2 c a



a b c d 由①,②,③得, ? ? ? ?2 b c d a ? a ? c
? 2? ? ? c ? ? ?4 ? a ?

a ?2 c

c a

课堂练习:
1.(1)已知|h|< ? ,| k |? ? (? ? 0), 求证 | hk | ? ?
解: ? 0 ?| h |? ? ,0 ?| k |? ? ,

?0 ?| h | ? | k | ? ? ? ? 即 | hk | ? ? h (2)已知 | h | ? c? , | x | ? c (c ? 0, ? ? 0), 求证 ? ? x 1 1 解:由0 ? c ? | x | 可知 0 ? ? |x| c 且0 ? | h | ? c?
1 1 ? ? | h | ? ? c? |x| c

h 即 ?? x

作业
P20: 1,2,3,4,

定理2 如果a,b,c是实数,那么

a ?c ? a ?b ? b ?c
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立

如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?

推论:

| a1 ? a2 ? a3 | ? | a1 | ? | a2 | ? | a3 |


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