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2.2等差数列优质课


复习回顾: 1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数, 简记作:{an} 2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式

3.数列的分类
无穷数列 有穷数列, (1)按项数分:

递增数列,递减数列, (2)按项之间的大小关系: 摆动数列,常数列。 4.数列的实质 5.递推公式: 如果已知{an}的第1项(或前n项),且

任一项an与它 的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示, 这个公式叫做数列的递推公式.

新课引入
1.我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一 次,可以得到数列: 0,5, 10,15,20,…

2. 2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上,女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位:kg): 48,53,58,63.

3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境,用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低 降至5m。那么从开始放水算起,到可以进 行清理工作的那天,水库每天的水位组成 数列(单位:m): 18,15.5,13,10.5,8,5.5.

4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方 式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的 利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和 =本金×(1+利率×存期)。例如,按活期存入 10000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利, 5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个 数列: 10072,10144,10216,10288,10360.

问题1:观察一下上面的这四个数列: ① 0, 5, 10, 15, 20 ② 48, 53, 58, 63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5. ④ 10072, 10144, 10216, 10288, 10360 这些数列有什么共同特点呢? 以上四个数列从第2项起,每一项与 前一项的差都等于同一个常数

二、新课讲解

(一)等差数列的定义: 1.等差数列:一般地,如果一数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列; 这个常数叫做等差数列的公差, 公差常用字母d表示。

2.等差数列定义的符号语言: an-an-1=d, ( n≥2 ),其中d为常数 ( an+1-an = d n∈N+ )

如果等差数列{a n }的首项是 a1 ,公差是 d ,那么根 据等差数列的定义可以得到以下结论:

???a n ? a n ?1 ? d??? d为常数,n ? 2?? ???a 2 ? a1 ??a 3 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1??(n ? 2) ???a n ?1 ? a n ??a n ? a n ?1??(n ? 2).

数列{a n }为等差数列

练 习

判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是? 如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理 由。 a1=1,d=2 (1)1,3,5,7,… 是 (2)9,6,3,0,-3… (4)3,3,3,3,…

a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 (3)-8,-6,-4,-2,0,… 是
是 是

a, -a n+16 n是不是同一个常数? (6)15,12,10,8 , … 不是

1 1 1 1小结:判断一个数列是不是等差数 不是 (5)1, , , , 列,主要是由定义进行判断: ,? 2 3 4 5

a1=3,d=0

你注意到了吗?

1、等差数列要求从第2项起,后一项与 前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数,也可以是0和负数。

判断题 (1)数列a,2a,3a,4a,…是等差数列; (2)数列a-2,2a-3,3a-4,4a-5,…是等差数列; (3)若an-an+1=3 (n∈N*),则{an}是公差为3的等差数列; (4)若a2-a1=a3-a2, 则数列{an}是等差数列。 思考:上述数列的公差与该数列的类型有关系吗? 已知数列{an}是等差数列,d是公差,则: 当d=0时, {an}为常数列; 当d>0时, {an}为递增数列; 当d<0时, {an}为递减数列;

探究
在如下的两个数之间插入一个什么数之后这 三个数会成为一个等差数列。 (1)2,___, 8 (2)-6,___, 0 (3)a, ____, b

等差中项
如果a,A,b三个数成等差数列,这时我们 称A为a与b的等差中项。利用等差数列的 a?b 概念可知: A? 不难发现,在一个等差数列中,从第 2项起,每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项.
1 已知数列{an }的递推公式是:an ?1 ? (an ? an ? 2 ) 2 则该数列也是等差数列。

2

数列:1,3,5,7,9,11,13… 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项; 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项. 求出下列等差数列中的未知项

(1):3, a, 5;

(2):3, b, c,-9;

练习 填空题 (1)等差数列8,5,2,…,的第5项是_____; -4 (2)已知等差数列-5,-9,-13,… ,则d=____; -4
? a1 ? ?5 an= -4n-1 递推公式是___________; 通项公式是_________. ? ? an?1 ? an ? 4

(3)已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,通项公 式是___________;

练习 (3)已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,通项公式 是___________; 方法1:∵由等差数列的定义可得 ∴ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d 不完全归纳法…… an=an-1+d=a1+(n-1)d 又∵当n=1时,上式也成立
∴an=a1+(n-1)d

练习 (3)已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,通项公式 是___________; 方法2:∵由等差数列的定义可得 a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … … an-an-1=d (n>1)

叠加法

上述各式两边同时相加,得 an-a1=(n-1)d

又∵当n=1时,上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d

二、新课讲解 (二)等差数列的通项公式: 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 an=a1+(n-1)d 课本P39.1,2

例1:在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首 项a1与公差d . 解:由题意得:

这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组, 解之得: ? a1 ? ?2 ? 学案P66.例1,变式 ?d ? 3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3. 注: 等差数列的通项公式中 ,an , a1 , n,d这四个变 量 , 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。

?a5 ? a1 ? 4d ? 10 ? ?a12 ? a1 ? 11d ? 31

三、例题 例2. 在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求a10 解:a10=a1+9d=2+9×3=29 (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n 解:∵21=3+(n-1)×2 ∴n=10 (3)已知a1=12,a6=27,求d 解: ∵a6=a1+5d,即27=12+5d ∴ d=3 (4)已知d=-1/3,a7=8,求a1 解:∵a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3) ∴a1=10

三、例题 例3. (1)等差数列8,5,2,· · · · · · 的第20项是几? (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,· · · · · 的项? 如果是,是第几项?
解: (1)依题意得,a1=8,d=5-8=-3 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49 (2)由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401 ∵an=a1+(n-1)d ∴-401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项

三、例题 例5.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价10元, 即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某人乘坐 该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通, 等候时间为0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km 时,每增加1km,乘客需要支付1.2元. 所以,我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1 =11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。 那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付 车费 a11=11.2+ (11-1) ×1.2=23.2 答:需要支付车费23.2元。

二、例题 例4.在等差数列{an}中, a5=10, (1)若a12=31,求a25 ; (2)若d=2,求a10;

解:(1)依题意得 an ? am a1+4d=10 d? n?m a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70 an=am+(n-m)d
等差数列通项公式的另一种形式

例.a10=a5+ 5 d, a32=a99+ -67 d.

三、新课 等差数列的常用性质1 设 {an}是公差为d的等差数列,那么

a n ? am (2) d ? n?m

(1) an=am+(n-m)d

练习:1. 等差数列{an}中, a2=-5, a6= a3 +6,则a1 =_______ -7 2. 若x≠y,且两个数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,
a2 ? a1 4 ? ______ b3,y各成等差数列,那么 b2 ? b1 3

练习 1. 在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则

插入这7个数中的第4个数的值为______ 15
2. 若{an}为等差数列,ap= q, aq=p(p ≠q),则ap+q= ______ 0

3. 在等差数列{an}中,已知am+n=A, am-n=B,则a2m = _____
m ( A - B ) ? n( A ? B ) 2n

二、例题 例6已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p、q为常数且 p≠0,判断这个数列是不是等差数列,并证明你的判断.
解:数列{an} 是一个等差数列 证:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1 (n≥2) ,则

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ?1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q ) ?p

∵p是一个与n无关的常数 ∴{an}是一个等差数列 1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数) 2.证明数列{an}是等差数列的方法:证明:an+1-an= 常数. . 3.等差数列{an}的通项公式为an=p n+q 的图象的特征 是 各项对应的点在同一条直线上. ; 各项对应的点所在直线的斜率. . 数列的公差的几何意义是:

如何判断一个数列为等差数列
(1)定义法:a n ? a n ?1 ? d(常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列

(2)递推法: 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 (常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列 (3)通项法:a n为n的一次函数 ? {a n }为等差数列

(4)证明:若数列 ?an ? 与 ?bn ? 是等差数列,

(3) 已知数列{an}是等差数列, 求证:数列{an+an+1} 也是等差数列.

?an ? bn ? 是等差数列吗?

{an }是公差为 d 的等差数列,则下列数列: (1){c + an } (c为任一常数)是公差为 d 的等差数列 ? an } (2){c (c为任一常数)是公差为 cd 的等差数列


等差数列的常用性质2

* (3) an + an+ k (k为任一常数, k ∈ N )是公差为 2d 的 等差数列 (4)去掉前几项后余下的数列是等差数列吗?奇 数项数列和偶数项数列仍是等差数列吗?

{

}

若{an }、 {bn}分别是公差为 d1、d2的等差数列,则数
列 pan + qbn (p、q是常数)是公差为pd1 + qd 2的等 差数列

{

}

例:等差数列{a n }和{b n }中,a1 ? 34, b1 ? 66, a 98 ? 85, b98 ? 15, 求a 2008 ? b 2008

已知数列{an }是等差数列,则数列 {bn }为等差数列的是( A、bn ? an C、bn ? an 2 ) B、bn ? an D、bn ? 1- an

等差数列的常用性质2 已知数列 { an }为等差数列,那么有

若 m,? p,n( ? ? m,? p,n ? ? N )成等差数列,则 am ,a p ,an 成等差数列.
*

证明:根据等差数列的定义, m, p, n 成等差数列,

? p ? m ? n ? p,

? (p ? m)d ? (n ? p)d.

推广:在等差数列有规律地取出若干项,所得新数列仍 然为等差数列。(如奇数项,项数是7的倍数的项)

? a p ? am ? an ? a p . 即 am ,a p ,an成等差数列. 如 a1 ,a6 ,a11成等差数列,a3 ,a6 ,a9 成等差数列.

等差数列的常用性质2

推论: 已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an
(1)将前m项去掉,其余各项组成的数列是等差数 列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

am+1,am+2,……an是等差数列 首项为am+1,公差为d,项数为n-m

等差数列的常用性质2

已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an
(2)取出数列中的所有奇数项,组成一个数列,是等 差数列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

a1,a3,a5,……是等差数列 首项为a1,公差为2d
取出的是所有偶数项呢?

a2,a4,a6,……是等差数列

首项为a2,公差为2d

等差数列的常用性质2

已知一个等差数列的首项为a1,公差为d
a1,a2,a3,……an

(3)取出数列中所有项是7的倍数的各项,组成一个数列, 是等差数列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

a7,a14,a21,……是等差数列 首项为a7,公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢?

ak,a2k,a3k,……是等差数列

首项为ak,公差为kd

等差数列的常用性质2

已知一个等差数列的首项为a1,公差为d
a1,a2,a3,……an

(4)数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,……是等差数列吗 公差是多少?

a1+a2,a3+a4,a5+a6,……是等差数列,公差为2d 数列a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5……是 等差数列吗?公差是多少? a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5……是等差数列, 公差为3d。

等差数列的常用性质2

例: 等差数列中,a

1

? a 4 ? a 7 ? 19,

a 2 ? a 5 ? a 8 ? 13, 求a 3 ? a 6 ? a 9

数列?a n ?是等差数列, m , n , p , q ? N ? , 且m ? n ? p ? q , 求证:a m ? a n ? a p ? a q .

?an ?的首项是a1 , 公差是d, 证明:设
则am ? a1 ? (m ? 1)d ,
a p ? a1 ? ( p ? 1)d ,

an ? a1 ? (n ? 1)d ,
aq ? a1 ? (q ? 1)d ,

? am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,
a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d , ? m ? n ? p ? q,? am ? an ? a p ? aq .

等差数列的常用性质3

在等差数列?an ?中,m , n, p, q ? N ? , 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq 特别地,若m ? n ? 2 p,则am ? an ? 2a p

注意:逆命题是不一定成立的 ;

例3 .在等差数列{an}中,a6=19 ,a15=46,求a4+a17的值. 练习.在等差数列{an}中, (1)已知 a6+a9+a12+a15=20,求:a1+a20 10 (2)已知 a3+a11=10,求:a6+a7+a8 15 (3)已知 a2+a14=10,能求出a16吗? 不能

(4)已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d. d= _2
a14=
_3



d= 2 a14= 31

等差数列的常用性质3推论

与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的

和,即 a1 + an = a2 + an-k +1 =2a n+1 an-1 =ak +
判断: (1)a √ 3 ? a 5 ? a1 ? a 7
2

× 1 ? a 4 ? a 6 ? a3 ? a8 (2)a
√ 3 ? a 4 ? a 5 ? 3a 4 (4)a × 3 ? a 4 ? a 5 ? 4a 3 (5)a

可推广到三项, 四项等

√ 1 ? a 5 ? a 6 ? a 2 ? a 3 ? a 7 注意:等式两 (3)a

边作和的项数 必须一样多

二、例题 例4.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积也 为12,求此三数. 解:设这三个数分别为a-d,a,a+d 则 (a-d)+a+(a+d)=12,即3a=12

∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12,即(4-d)(4+d)=12 解得 d=±2 ∴当d=2时,这三个数分别为2,4,6 当d=-2时,这三个数分别为6,4,2 练习:若四个数成递增等差数列,中间两个数的和为2, 首末两数的积为-8,求这四个数 学案P69例1

例4.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积也 为12,求此三数. 练习:若四个数成递增等差数列,中间两个数的和为2, 首末两数的积为-8,求这四个数

设项技巧:等差数列的常用性质4
(1)若有三个数成等差数列,则可设为

a - d , a, a + d
(2)若有四个数成等差数列,则可设为

a - 3d , a - d , a + d , a + 3d
(3)若有五个数成等差数列,则可设为

a - 2d , a - d , a, a + d , a + 2d

练习:
四个数成等差数列,其中四个数的平方和为94, 第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个 数的积少18,求这四个数.

构造等差数列
1.已知 f (1) ? 2, f (n ? 1) ? 解:

2 f ( n) ? 1 (n ? N * ) ,求 2

f (2007)的值。

? 2 f (n ? 1) ? 2 f (n) ? 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 1 ? ? f (n)?是首项为2,公差为 的等差数列 2 1 3 即f (n) ? n ? 2 2 1 3 ? f (2007) ? ? 2007 ? ? 1005 2 2

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 d=an+1—an=4

构造等差数列

3、已知数列{an }的各项均为正数,且满足a n ?1 ? an ? 2 an ? 1,

a1 ? 2,求an
4、

1 已知{ }是等差数列,且a1 ? 6, a6 ? 4, 求a10 . an

学案P70例2换元法求通项公式:

1 等差数列a1 ? , 第10项大于1,求公差d的范围. 25

五、小结 1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数) 2.判断等差数列的方法: (定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数 (中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系

3.等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列,那么 (1) an=am+(n-m)d
(3)在等差数列?an ?中,m , n, p, q ? N ? , 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq 特别地,若m ? n ? 2 p,则am ? an ? 2a p

a n ? am (2) d ? n?m

作业3.14
作业本:课本P40.1,3

学案3.2.1

作业3.15
1.已知{an}是等差数列, a5=10,a8=16,求a15 ; 2.已知an是公差为d的等差数列,证{c + an } (c为任 一常数)是公差为 d 的等差数列 3.已知数列 {an } 为等差数列,且满足

a3 + a4 + a10 + a11 = 48, 那么a6 + a7 +a 8 = ?

学案3.2.2

作业3.16
等差数列{an },满足a3 ? a7 ? ?12, a4 ? a6 ? ?4, 求数列通项公式.

已知三个数乘等差数列并且数列是递增的, 它们的和为18,平方和为116,求这三个数.

作业3.17
1 1 1 1.在数列{an }中,a1 ? 1, ? ? , 求a50 an ?1 an 3 2. 等差数列an是递减数列,且a2 a3 a4 ? 48,

a2 ? a3 ? a4 ? 12,求数列an的通项公式

五、小结
1.定义:an-an-1=d (n≥2)或 an+1-an=d (n∈N*) 2. 通项公式 an =a1+(n-1)d

3. 等差数列的性质 {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? an+1=an+d ? an= a1+(n-1) d

? an= kn + b(k、b为常数)

1 ? an?1 ? (an ? an ? 2 ) 2


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