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高中数学2-2-1(1)圆的标准方程课件苏教版必修


圆的方程
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆? 平面上到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是 圆。定点就是圆心,定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心C(a ,b ),半径是r 的圆的方程。 c 如图(1),设M(x ,y )是圆上任 意一点,根据定义,点M到圆心C的 o 距离等于r ,所以圆C就是集合 x P={M||MC|=r } 图⑴

点M适合的条件可表示为

( x ? a)

2

? ( y ?b)

2

=r



①式两边平方,得 2 2 2 ? ? (x?a) ( y ?b) r ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程,我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的,如果圆心在原点,这时 a ? 0, b ? 0 ,那么 2 2 2 ? ? 圆的方程是 x y r 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程: ⑴圆心在原点,半径是3; ⑵圆心在点 C ?3,4?,半径是 5 ; ⑶经过点 P?5,1? ,圆心在点 C?8,?3?。 2 2 2 2 ? ? ⑵ ? (x?3) ( y ?4) ? 5 答:⑴ x y 9 2 2 ? ⑶ (x?8) ( y ?3) ? 25 点评:⑶中,可先用两点距离公式求圆的半径,或设 2 2 2 ,用待定系数法求解。 ? ? x ? 8 y ? 3 ? ? ? ? r

例2 ⑵? x ? 4 ? ⑶x
2 ?

说出下列圆的圆心坐标和半径长:
2 ?
2 ?

⑴? x ?3?

? y ?1?

? y2? 2 ?

? y ?2? 2? 4 ;
?7 ;

2

答:⑴圆心 (3,?2),半径为2; ⑵圆心 (?4, 2 ),半径为 7; ⑶圆心 (0,?1),半径为4

? 16.

例3 求以C?1,3? 为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。 解:∵圆与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, ∴圆心C?1,3? 到 3x ? 4 y ? 7 ? 0的距离
3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 16 d ?r? ? 2 5 2 3 ? ?4

∴圆的方程为? x ?1? ? ? y ?3?

? ?
2

2

?

256 25

例4 已知圆O的方程为 ? x ?1? ? ? y ?1? ? ,判断下面的点在 4 圆内、圆上、还是圆外? A?1,1? B?0,1? C ? 0,3?
解:①∵?1?1?
2

2

2

?

?1?1? ? 4,∴点 A 在圆上;
2
2

②∵? 0?1? ? ?1?1? ? 1 ? 4,∴点 B在圆内;
2

③∵ ? 0?1?
小结: P
0

2

?

? 3?1?

2

,∴点 C 在圆外。 ?5 ?4
2 ?r ?r ?r 2

( x0 , y ) 与圆( x ?a)2 ? ( y ?b) 2 ? 2 的关系判断:
2 ?(y 0 ?b)

r

⑴( x 0 ? a) ⑶( x 0 ? a)

,P在圆外, ,P在圆上, ,P在圆内。

⑵( x 0 ? a)

2

?(y ?(y

0 ?b)

2

2 2

2

0 ?b)

2

例5 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆,车辆只能在道路的中心线一侧 行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车 能不能驶入这个隧道?

例6 已知圆的方程是x M ?x0 , y ?的切线的方程。 0 解:如图⑵,设切线的斜率 k , 半径OM的斜率为 k1 ,因为圆的 切线垂直于过切点的半径,于是

2

2 2 ? y ? r ,求经过圆上一点

y

P(x,y) M(x0,y0) o x

y ∵k? x
1

k
0

??

1

k

1



k??

0

x y

0 0

经过点M的切线方程是 图⑵ 2 整理,得 x0 x ? y0 y ? r 当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适 用。 思考:是否可以用平面几何的知识求此切线方程。
0 0 0

y ?y

??

x? ? ? y x x
0

小结:⑴ M

?x , y ?在x
0 0

2

xx
0

?y
0

⑵M

圆的切线方程为 ( x 0 ? a)( x ? a) ? ( y ? b)( y ? b) ? r 2 0

?x , y ?在(x?a)2 ? ( y?b)2 ? r 2 上时,过 M ?x , y ?
0
0 0 0

y

?r

2

? y ?r

2

2

上时,过 M 的切线为



三、课堂练习
练习1 2 3

四、小结 五、作业

习题2.2(1) 1 2 3


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