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二轮复习之导数的应用问题(提高篇)


二轮复习之导数的应用问题(提高篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版 1. 函数的单调性与导数

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

知识点

2. 函数的极值与导数 3. 函数的最大(小)值与导数 1. 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数

的单调区间

教学目标

2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区 间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) ;

教学重点 教学难点

函数极值与最值的考查以及利用导数研究函数不等式、函数与方程问题 函数极值与最值的考查以及利用导数研究函数不等式、函数与方程问题

教学过程
一、高考解读
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是 函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点 本节内容主要
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是指导考生对这种方法的应用

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二、复习预习
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式:
C ? ? 0 (C 为常数) ;

? ? nxn?1 n ( xn ) , ?N? ;

(sin x ?? )

?? cx o s ; (xc o? s ) x sin

(e x )? ? e x ;(a x )? ? a x ln a ;

1 1 (ln x)' ? ;(loga x)? ? loga e x x
? ?

? () ? ? ? 法则(1) : [() ux () vx ]? () ux ? vx
? ?() ?uxvx uxvx ] ()() u xvx () 法则(2) : [()()
? u () x ?? ()() u ? x () v () x ? u x v? x ? (() v x ) 0? ? v 2 ( x) ? v( x) ?

法则(3) :?

三、知识讲解
考点 1

考点 2
1
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可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得,但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的

点处取得,因此,一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较,如 y=|x|,在 x=0 处不可导,但它是最小 值点
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四、例题精析
例题 1 围.
1 已知 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x , (a ? R ) .若在区间 ?1 , ? ?? 上, y ? f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范 2

【规范解答】 y ? f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,等价于 f ( x) ? 2ax 在给定区间恒成立.构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ,

x ? ?1 , ? ?? ,下求 g ( x)max ? 0 成立时,参数 a 的取值范围

? 2a ? 1? x ? 1? 2a ? 1? x 2 ? 2ax ? 1 ? 1 ? ? ? x ? 1? g ( x) ? (2a ? 1) x ? ? 2a ? ?? x x x
'

a?

1 对导数零点有影响,应先进行讨论: 2 1 x ?1 时, g ' ? x ? ? ? ,当 x ? ?1 , ? ?? 时, g ' ? x ? ? 0 成立, g ( x) 单调递减 2 x

当a ?

g ( x)max ? g (1) ? ?1 ? 0 成立,满足要求;

? 2a ?1? x ?1? 2a ? 1? x 2 ? 2ax ? 1 ? ? 1 ' ? ? x ? 1? ?? 当 a ? 时, g ( x) ? 2 x x
∵ x ? ?1 , ? ?? ,故 x ? 1 ? 0 , ? 2a ?1? x ?1 ? 0 , g ' ? x ? ? 0 成立, g ( x) 单调递减

g ( x)max ? g (1) ? ?a ?

1 1 1 ? 0 成立即可,解得 - ? a ? 2 2 2

当a ?

1 1 时,令 g ' ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? (两根大小不确定,需进行讨论) 2 2a ? 1 1 1 时, g ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x , 2 2

当 1 ? x1 ? x2 ,即 1 ? a ?

1 其中 (a ? ) x 2 ? 2ax 为开口向上的二次函数,易知当 x 逐渐变大时, g ( x) 趋近于无穷大,不满足 g ( x)max ? 0 ;同理可 2

知,当 1 ? x1 ? x2 时, g ( x)max ? 0 同样不成立
1 1 综上所述, a 的取值范围是 ? ? a ? 2 2

【总结与反思】导函数单调性的运用

例题 2 已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1 (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由
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【规范解答】解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c
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∵x=±1 是函数 f(x)的极值点, ∴x=±1 是方程 f′(x)=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根
? 2b ? ? 0??① ? ? 3a 由根与系数的关系,得 ? ? c ? ?1 ② ? ? 3a
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又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1, 由①②③解得 a= , b ? 0, c ? ,
1 3 2 2 3 3 3 ∴f′(x)= x2- = (x-1)(x+1) 2 2 2 1 2 3 2



(2)f(x)= x3- x,

当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0 当-1<x<1 时,f′(x)<0

∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数 ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1, 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1
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【总结与思考】利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的
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关键知识点,通过对函数极值的判定,可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解 考查函数 f(x)是实数域上的可导
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函数,可先求导确定可能的极值,再通过极值点与导数的关系,建立由极值点 x=±1 所确定的相等关系式,运用待定系 数法求值
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例题 3 已知 f(x)=x2+c,且 f[f(x)]=f(x2+1) (1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式; (2)设φ (x)=g(x)-λ f(x),试问
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是否存在实数λ ,使φ (x)在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数

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【规范解答】(1)由题意得 f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c

f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1)
∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c, ∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ (x)=g(x)-λ f(x)=x4+(2-λ )x2+(2-λ ) 若满足条件的λ 存在,则φ ′(x)=4x3+2(2-λ )x ∵函数φ (x)在(-∞,-1)上是减函数, ∴当 x<-1 时,φ ′(x)<0 即 4x3+2(2-λ )x<0 对于 x∈(-∞,-1)恒成立 ∴2(2-λ )>-4x2,

∵x<-1,∴-4x2<-4 ∴2(2-λ )≥-4,解得λ ≤4 又函数φ (x)在(-1,0)上是增函数 ∴当-1<x<0 时,φ ′(x)>0 即 4x2+2(2-λ )x>0 对于 x∈(-1,0)恒成立 ∴2(2-λ )<-4x2, ∵-1<x<0,∴-4<4x2<0 ∴2(2-λ )≤-4,解得λ ≥4 故当λ =4 时,φ (x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的λ 存在 【总结与思考】导数的综合问题的考察
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例题 4

函数 f ( x) 对任意的 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1

(1) 求证: f ( x) 在 R 上是增函数。 (2) 若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m 2 ? m ? 2) ? 3 。

【规范解答】 (1)设 x1,x2 ? R, 且x1 ? x2 , 则x2 ? x1 ? 0, f ( x2 ? x1 ) ? 1,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [(x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 ,? f ( x2 ) ? f ( x1 ),故f ( x) 是 R 上的增函数。

(2)根据题意,? f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 1 ? 5,? f (2) ? 3 ,? 原不等式可化为 f (3m 2 ? m ? 2) ? f (2) ,? f ( x) 是

R 上的增函数,? 3m 2 ? m ? 2 ? 2 ,
解得 ? 1 ? m ?
4? 4 ? ,故不等式的解集为 ? ? 1, ? 。 3? 3 ?

【总结与反思】导函数的综合运用

例题 5 已知函数: f ( x) ? x ? (a ? 1) ln x ?

a 1 (a ? R) , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x 当 a ? 1 时,若存在 x1 ? ?e, e 2 ? , 使得对任意的 x 2

x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立,求 a 的取值范围.

【规范解答】 f ' ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) (a ? R) x2

2 当 a ? 1 时, x1 ? ? ? e, e ? ? , f ?x ? 为增函数,

? f ? x1 ?min ? f ? e ? ? e ? ? a ? 1? ? a ,
e
g ' ( x) ? x ? e x ? xe x ? e x ? x 1 ? e x ,

?

?

当 x2 ? ?? 2,0? 时 g ' ( x) ? 0, g ?x? 为减函数, ∴ g ( x2 ) min ? g ?0? ? 1, 若存在 x1 ? e, e 2 ,使得对任意的 x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立 只需 f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min 即可

?

?

? e ? (a ? 1) ? a ? 1, a ? e
e

2

2 ? 2e ? a ? ( e ? 2e ,1) e ?1 e ?1

【总结与反思】函数的最大最小值域增减性综合问题

例题 6 在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的

B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分
别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?

【规范解答】解法一 根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km,
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则 ∵BD=40,AC=50-x, ∴BC= BD2 ? CD2 ? x 2 ? 402 又设总的水管费用为 y 元,依题意有
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y=30(5a-x)+5a x 2 ? 402 (0<x<50) y′=-3a+
5ax x 2 ? 40 2

,令 y′=0,解得 x=30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省
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解法二 设∠BCD=Q,则 BC=
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40 ? ,CD=40cotθ ,(0<θ < ), sin? 2

∴AC=50-40cotθ 设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有

f(θ )=3a(50-40·cotθ )+5a·
=150a+40a·

40 sin?

5 ? 3cos? sin? (5 ? 3 cos? )? ? sin? ? (5 ? 3 cos? ) ? (sin? )? 3 ? 5 cos? ? 40a ? ∴f′(θ )=40a· 2 sin ? sin2 ? 3 令 f′(θ )=0,得 cosθ = 5 3 根据问题的实际意义,当 cosθ = 时,函数取得最小值, 5 4 3 此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 4

∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省
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【总结与反思】解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主
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要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解 根据题
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设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构 造相应的函数关系
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课程小结


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