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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为 A.

>
答:[ B.

]

a?b 2

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

?1 1? ?2 4?

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M D. N

答:[

]

3. 在如图的表格中, 如果每格填上一个数后, 每一横行成等差数列, 每一纵列成等比 列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答:[

数 ]

x
y

z
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对
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]

答: [

]

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x 2 ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, 则A

?

?

?

?

B ? ___________________.

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? ____________(结果要求写 成既约分数). 8. 已 知 点 O 在 ?ABC 内 部 , OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的 面 积 之 比 为 _________________. 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =______________. c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?时,

?1 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

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12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9
1
2

?

OA

1 为定值; 2 OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在 平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是锐角. 求 二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).
N C A D

B M

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14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每 列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

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