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2014届不等式选讲专题(一)不等式性质(文科)


2015 届不等式选讲专题(文)
不等式的基本性质: (1)实数的有序性是___________________________________________. (证明不等式、比较数式大小的通性通法,还有那些方法?) (2)不等式的性质: ①__________________________________________________________(对称性)

②__________________________________________________________(传递性) ③__________________________________________________________(可加性) ④__________________________________________________________推轮 ⑤__________________________________________________________(可乘性) ⑥__________________________________________________________推论 ⑦__________________________________________________________(乘方性) ⑧__________________________________________________________(开方) (3)基本不等式 重要不等式_______________________________________ 基本不等式__________________________________________ 总的表达式__________________________________________ 【题型一、不等式及基本不等式】 考点一:利用不等式性质、基本不等式、比较大小 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 例 1.比较 ( x ? 3)(x ? 7) 和 ( x ? 4)(x ? 6) 的大小

a b , 的大小 d c b b?m 例 3 若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m 1 1 练习:若 0 ? a ? b ? 1 ,试比较 m ? a ? 与 n ? b ? 的大小. a b
例 2:比较 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 2.分析法(不等式性质) ; 例 2.对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2 2

④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
⑤ 若a ? b ? 0, 则 其中正确的命题是______ 5.图象法/放缩
6 10 14 例 1:2013(8)设 a ? log 3 , b ? log 5 , c ? log 7 ,则()同真数

(A)c>b> a
0.4

(B)b>c> a
5

(C) a >c>b ) (C) a >c>b
1

(D) a >b>c

(2)设 a ? lg 0.4 , b ? 2 , c ? 0.4 ,则( (A)c>b> a (B)b>c> a

(D) a >b>c

(3)若 x ? (e ?1 ,1), a ? ln x, b ? 2 ln x, c ? ln 3 x, 则( (A) a ? b ? c (B) c ? a ? b 6.利用函数的单调性; 例 1(1)若 a ? A. a ? b ? c

) (D) b ? c ? a

(C) b ? a ? c ) C. c ? a ? b

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( 2 3 5
B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

考点二:利用性质、基本不等式求最值、范围(函数/线性规划、数形结合、不等式) 利用不等式性质 例 1(1)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (2)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

c 的取值范围是______ a

? lg x , 0<x ? 10, ? (3)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , ?? x ? 6, x>10 ? 2
则 abc 的取值范围是( (A) ?1,10? ) (C) ?10,12? (D) ? 20, 24? (B) ? 5,6 ?

(4)如如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (6)如果关于 x 的不等式 5x ? a ? 0 的非负整数解是 0,1, 2,3 ,那么实数 a 的取值
2

范围是( ) . A. 45 ? a ? 80

B. 50 ? a ? 80

C. a ? 80

D. a ? 45

利用基本不等式,

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 a ? b ? c ? 33 abc 2 2 1?1 a b, ,

例 2(1)下列命题中正确的是

1 x2 ? 3 的最小值是 2 B、 y ? 的最小值是 2 x x2 ? 2 4 4 C、y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 D、y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x x x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ 1 1 (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______ x y 练习(1)△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a ,b,c,已知 a ? b ? 2c 则 B 最大值为_____;
A、 y ? x ? (2).已知 x ? 0, y ? 0 , x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 ) .

(a ? b)2 的最小值是 cd

(3)设 a, b, c ? 1 ,则 loga b ? 2logb c ? 4logc a 的最小值为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2

(4) 已知不等式 ( x ? y)( ? A. 2
y x

1 x

a 则正实数 a 的最小值为 ( ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立, y
C. 6 D. 8

) .

B. 4

(5)已知 log ? ?2, 则 x ? y 的最小值是______ (6) 如图 1, 把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形, 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,切去的正方形边长是多 少____时,才能使盒子的容积最大.

题型二:绝对值不等式的解法及其恒成立问题

例 1(1)若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 (2)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围_____ (3)已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范 围____。

08(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)作出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

10 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设函数 f ( x ) = 2x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画出函数 f ( x ) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

3

1124. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值.

1224. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (Ⅰ)当 a=-3 时,求不等式 f ( x )

? 3 的解集;

(2)若 f ( x ) ≤ x ? 4 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

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