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圆的标准方程公开课PPT


?

创设情境

引入新课

奥运五环

y


o


l : Ax ? By ? C ? 0
x

直线可以用一个方程表示,圆也可以 用一个方程来表示吗?怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.

高一数学备课组

1、什么是圆? 平面内与定点距离等于 定长的点的集合(轨迹) 是圆.

思考: 在平面直角坐标系中,两点确定一条 直线,一点和倾斜角也确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢?

2、确定圆需要几个要素?

圆心--确定圆的位置(定位) 半径--确定圆的大小(定形)

二、探究新知,合作交流

探究一

已知圆的圆心c(a,b)及圆的 半径R,如何确定圆的方程?
y
M P={M||MC|=R}
C(a,b)

O

x

一、圆的标准方程
1、建系如图; 建
y O

2、设点M(x, y)为圆上

M(x,y)
C x

任意一点; 设
3、限定条件 |MC|= R 限

4、代点; ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R 代 5、化简;

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R 2 化

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

随堂练习
1、圆心为 A( 2,?3) ,半径长等于5的圆的方程为( B ) A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
变式: 圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1)的圆的方程

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
2、圆 (x-2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为( D) A C(2,0) r = 2 B C( – 2,0) r = 2 C C(0,2) r = 2 D C( 2 , 0 ) r= 2

3、圆(x+1)2+(y - 3 ) 2=a2,(a ?0)的圆心,半径 r是?

圆心(-1,3),半径r= a

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是: 2 2

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7)的坐标代入方程 左右两边相等,点 M 1的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢?圆上?还是在圆外呢?
y M2 M3

C

o

M1

x

知识探究二:点与圆的位置关系 探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? M M M

O
|OM|<r 点在圆内

O

O

|OM|=r
点在圆上

|OM|>r
点在圆外

知识点二:点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 )

M ( x0 , y 0 ) O ( a, b)

O(a, b)

O(a, b)

练习:

点P( m 1 ,5)与圆x2+y2=25的位置关系 ) A在圆外 B在圆上 ( A D
C在圆内 D在圆上或圆外

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

y
L2

A(5,1) R
O D

x B(7,-3)

L1

E
C(2,-8)

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
(法二)解:AB中点为(6, -1),k AB ? ?2

1 则直线AB的中垂线为y+1= ( x ? 6) 2 即为x ? 2 y ? 8 ? 0(1)

同理可得直线BC的中垂线为x ? y ? 1 ? 0(2)
联立(1)和(2),得圆心为D(2, -3) 半径为 AD =5,圆的方程为(x-2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

变式: 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, - 2),且圆心C在直线 l:x -y +1=0上,求圆心为C的圆 的标准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

变式: 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

变式: 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方 程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关 系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合

能力提升 方程 与
y ? 4 ? ( x ? 1) 2

表示的曲线分别是什么?

将标准方程展开,是一个什么形式? 它有什么特点?


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