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不等式的性质


2014 学年度高三数学第一轮复习讲义

02—不等式的性质

不等式的性质
【知识提要】 一、 差比法: 利用差比法可判断两实数的大小: 1. a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0 ; a ? b ? a ? b ? 0

“几个正数或几个负数 的和” ? 3.当 a、b

? C 时: a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0 注意:(1)当 a、b ? R 时 a ? b 表示数轴上 a、 b 对应两点间的距离
(2)比较大小的基本方法有:ⅰ差比法;ⅱ函数的单调性;ⅲ不等式的性质;ⅳ特值 法 例一、1.比较大小: (1)

2. a ? b ? ?

“几个最简因式的乘积 ” ?

a2 1 _____ 4 2 1? a 4 2 2 (2) a ? 6a b ? b 4 _______ 4ab a 2 ? b 2

? (3) ?a ? 1? ______ ?a ? a ? 1??a ? a ? 1?
2 2 2 2

?

(4) ?x ? 1??x ? 5? _______ ?x ? 2? (2)已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0 那么 a、b、 _______________________
? 3 3

2

2. (1)已知 a ? 0,?1 ? b ? 0, 那么 a、ab、ab 之间的大小是___________
2

ac ? bd ac ? bd 、 之间的大小是 c?d c?d
2 2

3. (1)已知 a、b ? R ,求证: a ? b ? a b ? ab ;

(3)已知 a、b ? R ,求证: a 2 ? b 2 ? 2?2a ? b? ? 5 二、 不等式的基本性质: 不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的基础,因此涉及到不等式运算时,每一 步都必须严格按照不等式的基本性质来进行,切记 1. a ? b ? b ? a (对称性) ; 2. a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) ; 3. a ? b ? a ? c ? b ? c ; 注意:当 a、b、c ? C 时: a ? b 是 a ? c ? b ? c 的既不充分也不必要条件 4. a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(2)已知 a、b、c ? R, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ? 2?a ? b ? c ? ;

a?b ? ?? ab ? 0? a?b ? (2) ?? ab ? 0?
(1)

1 1 ? a b 1 1 ? a b

注意:在进行不等式运算时,若要约分,则需考虑公因式(或公因数)的符号(若不明确 则需讨论) 5. a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (慎用此条性质解不等式或证明) 例二、 (1)已知 p(x,y)是圆 C: x ? y ? 1 上的任意一点,求:x+y 的取值范围;
2 2

,求 ? ? ? 及 ? ? 2? 的取值范围 2 2 6. a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (易错) 1 1 7. a ? b ? 0 ? 0 ? ? (有关范围问题特别要注意此条性质,如值域问题) a b (2)已知 ?

?

?? ? ? ?

?

1

2014 学年度高三数学第一轮复习讲义

02—不等式的性质

例三、(1)在实数范围内判断下列各命题的真假:
2 2 ① a ? b ? ac ? bc ; ② ac ? bc ? a ? b ;



a b ? 2 ? a ? b; 2 c c



a ? .b? ?? a?c ?b?d; c?d?

a?b ? a b ? ⑤c ? d ? ? ? c d cd ? 0? ? 1 (2)求函数 f ( x ) ? 2 的值域 x ? 2x 8. a ? b ? 0, n ? 1, n ? N ? a n ? b n 且 n a ? n b
注意: a ? b, n ? 1 且 n 为奇数 ? a ? b 且 n a ? n b
n n

例四、解不等式 ?1 ? x ? 3 ? ?3 ? x ? 三、 不等式的其他性质:
?

1

?

1 3

a2 ? b2 ?a?b? 1. 若 a、b ? R ,则 ab ? ? (当且仅当 a=b 时等号成立) ? ? 2 ? 2 ? ? 2. 若 a、b ? R ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时等号成立)
注意: (1)①应用公式的条件;②取等号的条件;③正确选择公式;④公式的逆用与变式: ⅰa?R且a ? 0 ? a ? ⅱ ab ? 0 ?

2

1 ? 2 (当且仅当 a= ? 1 时等号成立) a

b a ? ? 2 (当且仅当 a=b 时等号成立) a b 2 2 2 ⅲ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a=b=c 时等号成立) 2 2 2 2 (2)当 a+b 或 a ? b 为定值时,ab 有最大值;当 ab 为定值时,a+b 或 a ? b 有最
小值 (3)对研究“对勾”函数的性质有重要意义
2 2 例五、 (1)已知 x ? y ? 1 ,求:① x ? y 的最值;② xy 的最值; ? (2)已知 x、y ? R 且 x ? y ? 1 ,求证:① xy ?

1 1 2 2 ;② x ? y ? ; 4 2
2 2

1? ? 1? 25 1 1 ? ? 1 ?? 1 ? y? ? ? ③ ? ? 4 ;④ ?1 ? ?? 1? ? ? 9 ;⑤ ? x ? ? ? ? ? ? ? ? x? ? y? 2 x y y? ? ? x ?? (3)已知 x、y ? R ? 且 x 3 ? y 3 ? 2 ,求证: x ? y ? 2
注意:求此类最值也可转化为函数问题来解决,方法的选择以简便为主 3. 柯西不等式: | a | ? | b | ? a ? b ? a ? b 注意: (1)几何意义及取等号的条件; (2)适用于解决含绝对值的极值问题 例六、 (1)已知 x ? 1 ,求 x ? 1 的取值范围; (2)已知 ? 1 ? x ? 3 ,求 2 x ? 1 的取值范围 方法:①柯西不等式;②不等式的性质;③三角;④数形结合(数轴、函数) 【课后练习】 1.若 a、b ? R ,且 a ? b 则( )

b ?1? ?1? (A) a ? b ; (B) ? 1 ; (C) lg?a ? b ? ? 0 ; (D) ? ? ? ? ? a ? 2? ? 2?
2 2

a

b

2

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02—不等式的性质

2.若 a ? b ? 0 ,则以下结论中不成立的是(



1 1 1 1 ? ; (C) a ? b ; (D) a 2 ? b 2 (A) ? ; (B) a b a?b a 1 1 3.给定命题: ① a ? b 且 ab ? 0 ? ? ; ② a ? b ?a ?b; a b 2 2 ③ a ? b ? ?b ? a ? b ; ④ ac ? bc ? a ? b
其中真命题的个数是( ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3 4.若 a ? b ? 0 ,下列各不等式中恒成立的是(
2 2



(A)

2a ? b a 1 1 b ?1 b a b ? ; ? 2 ; (B) 2 (C) a ? ? b ? ; (D) a ? b a ? 2b b a b a ?1 a

5.下列命题中,正确的一个是( ) (A) 若 a ? c 或 b ? c ,则 a ? b ? 2c ; (B)若 a ? c 且 b ? c ,则 a ? b ? 2c ; (C)若 a ? c 且 b ? c ,则 a ? b ? 2c ; (D)若 a ? c 或 b ? c ,则 a ? b ? 2c 6.若 a ? b 、 c ? d、cd ? 0 ,则( ) (A) a ? c ? b ? d ; (B)
2 2

a b 3 3 3 3 ? ; (C) ac ? bd ; (D) a ? d ? b ? c c d

2 2

7.下列命题中正确的个数是(

① a ? b ? a ? b ;② a ? b ? ac ? bc ;③ a ? b ? a ? b ;④ a ? b ? ac ? bc (A) 1; (B)2; (C)3; (D)4 8.下列命题中不正确的个数是( ) ①a ? b ?

1 1 a c c ? ;② a ? b ? ? 1 ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ;④ a ? b ? ? a b b a b


(A) 1; (B)2; (C)3; (D)4 9.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( (A)

a 1 1 2 2 ? 1; (B) ? ; (C) b ? a ; (D) ? a ? ? b b a b 2 10.设 a ? R 且 a ? a ? 0 ,则有( ) 2 2 2 2 (A) a ? a ? ?a ? ?a ; (B) ? a ? a ? ?a ? a ; 2 2 2 2 (C) ? a ? a ? a ? ?a ; (D) a ? ?a ? a ? ?a 11.若 log3 M ? log3 N ? 4 ,则 M+N 的最小值是( )
(A) 4; (B) 4 3 ; (C)18; (D)19
a b 12.设 a、b ? R 且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是(



(A) 4 2 ; (B) 3 2 ; (C)4; (D)3

2 8 ? ? 1 ,则 xy 有( ) x y 1 1 (A) 最大值 64; (B)最小值 ; (C)最小值 ; (D)最小值 64 64 2 ? 14.设 x、y ? R 且满足 x ? 4 y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值为( )
13.若 x、y ? R ? 且 (A)40; (B)10; 15.函数 y ?
2

(C)4;

(D)2 ) (D)最大值-1

x ? 2x ? 2 , (?4 ? x ? 1) 有( 2x ? 2

(A)最小值 1; (B)最大值 1;

(C)最小值-1;

3x , ( x ? 0) 的值域为( 16.函数 y ? 2 ) x ? x ?1 (A) (-1,0) ; (B) ?? 3,0? ; (C) ?? 3,?1? ;

(D) ?? ?,0?

3

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02—不等式的性质

17. x ? y 与

1 1 ? 同时成立的充要条件是_____________________ x y

18.若 ab<0,比较大小:|a+b|_________|a-b|

1 1 ? 是不等式 ab(a-b)>0 的__________________条件 a b x2 ? 5 20.函数 y ? 的最小值为___________ x2 ?1 7 21. 函数 y ? x?7 ? 3x ?, (0 ? x ? ) , 当 x ? _________时, 有最______值,其值是________ 3 1 2 2 ? 22.若 a、b ? R 且 a ? b ? 1, 则 a 1 ? b 2 的最大值是____________ 2
19. 23.不用计算器,比较大小: (1) 1 ? 3 与 7 ; (2) 3 ? 2 与 2 ? 1 ;

(3) 8 ? 7 与 6 ? 5 ,试推导出一个一般性的结论,并加以证明;

(4) x ?
3

1 1 4 与 x ? 4 ( x ? 0, x ? 1 ) ,试推导出一个一般性的结论,并加以证明; 3 x x

24.若 a ? b ? 0,0 ? c ? d , 求证:

a b ? c d

25.某厂产量第一年的增长率 a, 第二年的增长率 b,(a>0,b>0),这两年的平均增长率为 x, 试判断 x 与

a?b 的大小 2

26.某单位用木料制作窗框,窗框的下部是边长分别为 x、y(单位:m) 的矩形, 上部是等腰直角三角形 (斜边为矩形的一边) , 要求窗框围成的 总面积为 8 m ,问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m)时用料最省? x
2

y

4


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