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山东省2015届高三冲刺模拟(4)数学【理】试题及答案


山东省 2015 届高三冲刺模拟(四)理科数学
说明:本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、复数 z=

/>2 ? 4i (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i
B. (-l,3) C. (3,-1)

( D. (2,4) ( D. k ? 10



A. (3,3)

2、程序框图如图,如果程序运行的结果为 S ? 132 ,那么判断框中可填入 A. k ? 11 B. k ? 11 C. k ? 10



2

3、已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为 A. 2 3 B. ( )

1 正视图 2 2

1 侧视图

4 3 3
2 3 3

2

C. 3 4、有下列命题:

D.

俯视图

? π? ? π? ①函数 y=cos?x-4?cos?x+4?的图象中,相邻两个对称中心的距离为 π;
x+3 ②函数 y=x-1的图象关于点(1,1)对称; ③关于 x 的方程 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有且仅有一个零点,则实数 a =-1; ④已知命题 p:对任意的 x ? 1 ,都有 sinx≤1,则 ? p:存在 x ? 1 ,使得 sinx>1. 其中所有真命题的序号是 A.① ② 5、设函数 B.② ③ C.③ ④ D.② ③ ④ ( )

f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减,若数列 ?an ? 是等差数列,且
( )

a3 ? 0 ,则 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? 的值
A.恒为负数 B.恒为正数 C.恒为 0

D.可正可负

6、如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 θ(00 θ<900)的平面所截,截面是一个椭圆.当 θ 为 30° 时,这 椭圆的离心率为 A. ( B. )

< 个

1 2
3 3

3 2

C.

D.

2 3
( )

7、下列命题中的真命题是 ① 若命题 p : ?x ? 0, x ? sin x ,命题 q : 函数 ② 若变量 x, y 的一组观测数据 性相关系数 r ? 1 ; ③ 若 a, b ? A.① ②
2

f ? x ? ? x 2 ? 2 x 仅有两个零点,则命题 ? p ? q 为真命题;

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

, ? xn , yn ? 均在直线 y ? 2 x ? 1 上,则 y与x 的线

?0,1? ,则使不等式 a ? b ? 1 成立的概率是 1 .
2 4
B.① ③ C.② D.② ③

8、 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,若方程 f ( x) 范围是 A. ( ?2,0) 9 、已知函数 f ? x ? ? ( A. ? ) B. ( ?2,?1)

?

?2 ? bf ( x) ? c ? 0 恰有七个不相同的实根,则实数 b 的取值
( C. (0,1) ) D. (0,2)

x 2 ? ax ? 11 ? a ? R ? ,若对于任意的 x ? N * , f ? x ? ? 3 恒成立,则 a 的最小值等于 x ?1

8 3

B. ?3

C. ?4 2 ? 3

D. ?6

10、设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ( M , ??) ,且 M

? 0 ,且对任意 a, b, c ? ( M , ??), 若 a, b, c 是直角三


角形的三边长,且 f ( a ), f (b), f (c) 也能成为三角形的三边长,则 M 的最小值为( A.

2

B. 2

2

C. 3

2

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 11 、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? 2by ( a ? 0, b ? 0) 的最大值为 1 ,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
1 1 ? 2 的最小值为 2 a 4b


12、在△ABC 中, ?A ? 则 ?B 等于 13、过双曲线

π ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC , 6


x2 y 2 a2 2 2 ( > 0 , > 0 )的左焦点 ( , 0 ) ( > 0 )作圆 的切线, ? ? 1 x ? y ? b a ? c c F 1 a 2 b2 4

切 点 为 E , 直 线 F1E 交 双 曲 线 右 支 于 点 P , 若 OE ? 为 14 、 定 义 : .

1 (OF1 ? OP ) , 则 双 曲 线 的 离 心 率 2

? a, a ? b min ?a ,b? ? ? , 在 区 域 ?b, a ? b

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 6

内 .









p ? x, y ?,则x、y满足 min ? x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4? ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为

15、不妨设 c 为斜边,则 M ? a ? c, M ? b ? c ,可得 ab ? M 2 结合题意对于函数 域内存在实数 x , 满足

f ? x ? ,若在定义

x x ?1 2 f ??x? ? ? f ? x? , 称 f ? x ? 为“局部奇函数”, 若 f ? x ? ? 4 ? m2 ? m ? 3

为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 所对边分别为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 且满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的值; (Ⅱ)求错误!未找到引用源。的值.

17、 (本小题满分 12 分)

如图, 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件, 分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 , 已知每个元件正常工作的概率均为 且各元件相互独立. (Ⅰ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率;

2 , 3

(Ⅱ)记随机变量 ? 表示 T1 , T2 , T3 , T4 这四个元件中正常工作的元件个数,求 ? 的分布列及数学期望.

18、 (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD , ABCD 为直角梯形, BC//AD ,∠ADC=90° , 2BC=2CD=AD=2,PA=PD,E,F 分别为 AD,PC 的中点. (Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)若 PC 与 AB 所成角为 45° ,求 PE 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 F-BE-A 的余弦值.

P F

E A

D B

C

19、 (本小题满分 12 分) 已知 且 k1

?an ? 是首项为 a ,公差不为零的等差数列,?an ? 的部分项 ak
? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 .

1

、 ak2 、…、 akn 恰好为等比数列,

(Ⅰ)求数列

?an ? 和 ?kn ? 的通项公式;
?kn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: 1
S1 ? 1 ? S2 ? 1 3 ? . Sn 2

(Ⅱ)设数列

20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 (Ⅰ)当 a (Ⅱ)当 a

f ( x) ?

( x ? a) 2 (其中 a 为常数) . ln x

? 0 时,求函数的单调区间;
? 1 时,对于任意大于 1 的实数 x ,恒有 f ( x) ? k 成立,求实数 k 的取值范围;

(Ⅲ)当 0 ?

a ? 1 时,设函数 f ( x) 的 3 个极值点为 x1,x 2,x3 ,且 x1 ? x 2 ? x3 .
? x3 >

求证: x1

2 e

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

C1 :

x2 y 2 3 3 , 且 过 点 (1, ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? ) .抛物线 2 a b 2 2

1 C2 : x 2 ? ?2 py, ( p ? 0) 的焦点坐标为 (0, ? ) . 2
(Ⅰ)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程; (Ⅱ)若点 M 是直线 l : 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动点,过点 M 作抛物线 C2 的两条切线,切点分别为

A, B ,直线 AB 交椭圆 C1 于 P, Q 两点.
i)求证直线 AB 过定点,并求出该定点坐标; ii)当 ?OPQ 的面积取最大值时,求直线 AB 的方程.

理科数学(四) 2 ? 4i ? 2 ? 4i ??1 ? i ? ? ? ?1 ? 3i ,所以 z 在复平面内对应的点的坐标是 ? ?1,3? 1、B 解析:解: z ? 1? i ?1 ? i ??1 ? i ?
2、 C 解析:由题意知,程序框图的功能是求S=1×12×11×…, ∵程序运行的结果为S=132,∴终止程序时,k=10, ∴判断框的条件是k≤10,故答案选C. A 【思路点拨】 程序框图的功能是求S=1×12×11×…, 由程序运行的结果为S=132, 终止程序时,k=10,从而求出判断框的条件. 2 3、 B 解析: , 由 由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原为直观图如右所示( P 到繁) ,由俯视图 ? 侧视图 ? 正视图 ? 直观图 , 其为四棱锥 P ? ABCD , 所以
D


2 1

3

C



?? 1 ? ? cos ? x ? ? ? cos 2 x ,所函数的周期为 ? ,相邻两个对称中心距离 4? 4? 2 ? ? x?3 4 ,所以函数的对称中心为 ?1,1? ,命题正确.③当 a=0 ? 1? 为 ,所以命题不正确.② y ? 2 x ?1 x ?1 时,不成立,当 a ? 0 时, ? ? 0, 可得 a=-1 或 a=0(舍),所以命题正确.④当全称命题变为非命题时, 全称量词改成特称量词,所以非 p 应该为,存在 x ? 1 ,使得 sin x ? 1 ,所以④不正确. 5、 B 解析: 因为函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ? x ? 单调递减, 所以 x<0 时 f ? x ? >0,
4、B 解析:① y ? cos ? x ?

1 4 3 ,选 B . VP ? ABCD ? S矩ABCD ? 3 ? 3 3

1 B

? ?

??

x>0 时 以

f ? x ? <0,因为 a3 ? 0 ,所以 f ? a3 ? ? 0 ,又因为 a1 , a5 的中点是 a3 , a2 , a4 的中点是 a3 ,所

f ? a1 ? ? f ? a5 ? ? 0, f ? a2 ? ? f ? a4 ? ? 0 ,所以

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? 的值恒为正数,故选 B.
6、A 解析:解因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30° 的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的 短半轴为:R, 长半轴为: = ,∵a2=b2+c2,∴c= ,∴椭圆的离心率为:e= = .

7、 A 解析:解:命题 p 是假命题,命题 q 也是假命题,所以①是真命题;由线性相关系数的定义可知②正 确;③的概率是

1 ,所以答案 A 正确. 8
另 < 个 -1) 设h

8、B f(1)=f(3)=0,f(2)=1,f(x)≥0,∵若方程[f(x)]2+bf +c=0 恰有七个不相同的实根, (x) ∴t2+bt+c=0, 其中一个根为 1, 一个根在(0,1)内,∴g(t)=t2+bt+c,g(1)=1+b+c=0,g(0,0<-

b 2

b <1,g(0)=c>0 方程[f(x)]2+bf(x)+c=0 恰有七 2

不相同的实根∴c=-1-b>0,b≠-2,-2<b<0,即 b 的范围为: (-2, 故选:B 8 9、 A 解析: x∈N*时,不等式 f(x)≥3 可化为 a≥-x-x+3, 8 8 -x2+8 (x)=-x-x+3,则 h′(x)=-1+x2= x2 ,当 x∈(0, 2 2)时,h′(x)>0,当 x∈(2 2,+∞)时,h′(x)<0,所以 x∈N*

8 8 时,h(x)max={h(2) ,h(3)}max=-3,所以 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,只需 a≥-3即可. 10、A 解析:不妨设 c 为斜边,则 M ? a ? c, M ? b ? c ,

? ab ? M 2 由题意可得 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2c ? c 2 ? 2c ? ln a ? ln b ? ln c ab ? c ? ? 即 c ? 2 ? ab ? 2, M 2 ? 2 即 M ? 2 所以选 A.
11、8 解析: 由约束条件可作出可行域,由图可知,目标函数 z ? ax ? 2by( a ? 0, b ? 0) 取 得 最 大 值 的 点 为

B ?1,1? ? a ? 2b ? 1 ,则 12 ? 1 2 ? 2 12 ? 1 2 ? 1 (当 a 4b a 4b ab 1 ? a? ?a ? 2b ? 1 ? ? 2 ?? 且 仅 当 a=2b 时 取 等 号 ) 由 ? 所以 1 ? a ? 2b ?b ? ? ? 4 1 1 ? ?8 1 1 ? 的最小值为 1 1 ab 2 2 ? a 4b 2 4 2 2 2 2 5 ? 12、 解析:∵ AB ? AD ? BD ? DC ? AD ? AB ? BD ? DC ? 0 12 ∴ AB ? AD ? BD ? BD ? DC ? 0 ∴ BD ? AB ? AD ? DC ? 0

?

∴ BD ?

? AB ? AC ? ? 0 取 BC 中点 E,则 BD ? AE ? 0
?
6
= ( + ) ,∴E 为 F1P 的中点,

?

?

?

∴ ?ABC 是以 A 为顶点的等腰三角形,∵ A ? 13、 解析:∵

∴B ?

5? 12

∵O 为 F1F2 的中点,∴OE 为△PF1F2 的中位线, ∴OE∥PF2,|OE|= |PF2|,∵|OE|= a ∴|PF2|=a ∵PF1 切圆 O 于 E∴OE⊥PF1∴PF2⊥PF1, ∵|F1F2|=2c,|PF1|﹣|PF2|=2a? |PF1|=2a+a=3a, ∴由勾股定理 a2+9a2=4c2∴10a2=4c2,∴e= = .

14、

16 4 解析:本题是一个几何概型,∵试验包含的所 P? 3 ? 2?6 9 16 ? 2 16 4 | ? , 所以由几何概型公式得到 ? 0 P? 3 ? 3 ? 2?6 9



|0≤x≤2, 0≤y≤6}, |0≤x≤2, 事件对应的集合 Ω={ (x , y) ∴SΩ=1×1=1∵满足条件的事件 A={ (x , y) 0≤y≤6 , x2+x+2y≤x+y+4} , 即 A={ ( x , y ) |0≤x≤2 , 0≤y≤6 , y≤4-x2} ,

? SA ? ?

1 ? 4 ? x ? dx ? ? 4 x ? x ? 0 3 ?
2

2

3

15 、 1 ?

3 ≤ m ≤ 2 2 解析: f ( x) 为 “ 局部奇函数 ” ,∴存在实数 x 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,即 4? x ? 2m2? x ? m 2 ? 3 ? ?4 x ? 2m2 x ? m 2 ? 3 , 1 2 1 2 令 t ? 2 x (t ? 0) ,则 2 ? t ? 2m( ? t ) ? 2m ? 6 ? 0 , t t 1 1 ( ? t ) 2 ? 2m( ? t ) ? 2m 2 ? 8 ? 0 在 t ? (0,??) 上有解, t t 1 再令 h ? ? t ( h≥2) ,则 g (h) ? h 2 ? 2mh ? 2m 2 ? 8 ? 0 在 h ? [ 2,??) 上有解.函数关于 h 的对 t 称 轴 为 h ? m , ① 当 m≥2 时 , g ( h)≥g ( m) , ? g (m) ? m 2 ? 2m 2 ? 2m 2 ? 8 ≤ 0 , 解 得 2 2 ≤ m ≤ 2 2 ;②当 m ? 2 时,则 g (2) ? 4 ? 4m ? 2m ? 8 ≤ 0 ,即 m 2 ? 2m ? 2 ≤ 0 ,解得 1 ? 3 ≤ m ? 2 .综合①②,可知 1 ? 3 ≤ m ≤ 2 2 .

16、解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ………1 分 , 又错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。………2 分 ,又错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 。 ………6 由余弦定理得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,………10 分, 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。原式错误!未找到引用 源。 ………12 分 17、解: (1) 记事件 则 P ( Ai ) ?

Ai 为“元件 Ti 正常工作”, i ? 1,2,3,4 ,事件 B 表示“电流能在 M 与 N 之间通过”,

2 , 由于 A1 , A2 , A3 , A4 相互独立, 3 所以 B ? A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 ,

P( B) ? P( A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 ) ? P( A4 ) ? P( A4 A1 A2 ) ? P( A4 A1 A2 A3 ) 2 1 2 2 1 1 2 2 70 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;----5 分 3 3 3 3 3 3 3 3 81 2 k 2 k 1 4? k (2)由题 ? ~ B ( 4, ) , P (? ? k ) ? C 4 ( ) ( ) , k ? 0,4 , 3 3 3 1 8 24 = P(? ? 1 ) ?P ( P(? ? 0) ?P ( ) P(? ? 2) ? P4 (2) = 4 1) ? 4 0 81 81 81 32 P(? ? 3) ? P4 (3) ? 81 16 P(? ? 4) ? P4 (4) ? --------10 分 81 -----11 分 ? 0 3 1 2 4 z 1 8 24 32 16 P P 81 81 81 81 81 8 期望 E (? ) ? .------12 分 F 3
18、 (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO ∵

BC // AD , BC ?

1 AD , E 为 AD 中点 2

D E A O

C

B

y

x

∴ ∴ ∴ 又 ∵ ∴

AE//BC,且 AE=BC 四边形 ABCE 为平行四边形 ------2 分 O 为 AC 中点 F 为 AD 中点∴ OF // PA

OF ? 平面BEF , PA ? 平面 BEF

-----3 分

PA //平面 BEF -----4 分 (Ⅱ) PA ? PD E为AD中点 ? PE ? AD ? 侧面PAD ? 底面ABCD, 侧面PAD ? 底面ABCD ? AD, PE ? 平面PAD ? PE ? 平面ABCD 易知 BCDE 为正方形? AD ? BE -------5 分 建立如图空间直角坐标系 E ? xyz , PE ? t ( t ? 0 ) 则 E?0 ,0 ,0 ?, A ?1 ,0 ,0 ?, B?0 ,1 ,0 ?, P?0 ,0 , t ?, C? ? 1 ,1 ,0 ? ------6 分
? PC ? ? ? 1 ,1 , ? t ?, AB ? ? ? 1 ,1 ,0 ? ? PC与AB所成角为 45?
? cos ? PC , AB ? ?
解得: t ?

PC ? AB PC AB

?

1?1?0 2? t
2

2

? cos 45? ?

2 , 2

2

? PE ? 2 --------8 分
? 1 1 2? F ?? ?? 2, 2, 2 ? ? ,----9 分 ? ?

(Ⅲ) F 为 PC 的中点,所以

? 1 1 2? EB ? ?0 ,1 ,0 ? , EF ? ? ?? 2 ,2 , 2 ? ? ? ?
? n ? EB ? y ? 0 , ? ? 1 1 2 设 n ? ?x , y , z ? 是平面 BEF 的法向量则 ?n ? EF ? ? x ? y ? z ? 0. 2 2 2 ? ? ? -------11 分 取 x ? 2 ,则 z ? 2 ,得 n ? 2,0 , 2

?

?

EP ? 0 ,0 , 2 是平面 ABE 的法向量

?

?

cos ? n , EP ? ?

n ? EP n EP

?

3 3

由图可知二面角 F ? BE ? A 的平面角是钝角, 所以二面角 F ? BE ? A 的余弦值为 ? 19、解: (1)设数列

?an ? 的公差为 d ,

3 .-----12 分 3

由已知得 a1 =a , a5

? a ? 4d , a17 ? a ? 16d 成等比数列,

2 ∴ ( a ? 4d ) ? a (a ? 16d ) ,即 2d 2 ? ad .∵ d

? 0 ,∴ d ?

∴ an

? a1 ? (n ? 1)d ? a ? (n ? 1)

a n ?1 ? a. 2 2

a .-------------2 分 2

a5 3a kn ? 1 ? 3, a ,而等比数列 {akn } 的公比 q ? ? a1 a 2 k ?1 n ?1 n ?1 a ? a ? 3n ?1 .-------4 分 ∴ akn ? a1 ? 3 ? a ? 3 ,故 n 2 n ?1 a ? a ? 0 由 1 ,得 kn ? 2 ? 3 ? 1 .-----5 分
∴ akn ?

2(1 ? 3n ) ? n ? 3n ? n ? 1 ----6 分. 1? 3 n n 0 1 2 2 n ?1 n ?1 n n ∵当 n ? 1 时, 3 ? (1 ? 2) ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 2
(2)由(1)知, S n ? 2 ? (1 ? 3 ? 3 ?
2

? 3n ?1 ) ? n ?

0 1 n ? Cn ? Cn ? 2 ? Cn ? 2n ? 2n ? 2n ? 1 ? 2n ? n ? 1 (也可用数学归纳法证明) ,---7 分 1 1 1 ? n ? n (n ? 2) .--------8 分 ∴ 3n ? n ? 1 ? 2n ( n ? 2) .∴ Sn 3 ? n ? 1 2 ∴当 n ? 2 时,

1 1 ? ? S1 S 2

1 1 1 1 ? ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? Sn 2 2 2

[1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 1 3 4 2 ? ? ( ) n ? .----10 分 ? n ? 1? 1 2 2 2 2 1? 2

1

1

1 3 ? 1 ? ,不等式也成立. S1 2 1 1 1 3 ? ? ? ? 成立.-----12 分 综上所述,不等式 S1 S 2 Sn 2 x(2 ln x ? 1) 20、 【解析】 (1 ) f ' ( x ) ? ln 2 x
当 n ? 1 时,左边 ?

a ? 1 时, h(a) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 , ∴ 函数 f ( x) 的递增区间有 ( x1 , a ) 和 ( x3 ,??) ,递减区间有 (0, x1 ) , ( a,1) , (1, x3 ) , 此时,函数 f ( x) 有 3 个极值点,且 x 2 ? a ; a ∴当 0 ? a ? 1 时, x1 , x3 是函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 的两个零点,---10 分 x
当0 ?

2 ? 1 ? ] 上单调递增, ? F ?? x ? ? F ? ? ? 0 ∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ? . ? ? e e ? e? x2 3 3 21、解: (I)由于椭圆 C1 中, e ? ,则设其方程为 ? y 2 ? ? ? 0 ,由于点 (1, ) 在椭圆上,故 4 2 2 2 p 1 x ? ,故 p ? 1 ,从而椭圆 C1 代入得 ? ? 1 .故椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1 .对抛物线 C2 中, 2 2 4 x2 的方程为 ? y 2 ? 1 ,抛物线 C2 的方程为 x 2 ? ?2 y .------4 分 4 (0, 1
(II) i) 设点 M ( x0 , y0 ) , 且满足 2 x0 从而 MA 的方程为

? 4 y0 ? 3 ? 0 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则切线 MA 的斜率为 ? x1 ,
x12 , 则切线 MA 的方程为 x1 x ? y ? y1 ? 0 , 2

y ? ? x1 ( x ? x1 ) ? y1 , 考虑到 y1 ? ? y ? y2 ? 0 ,----5 分

同理切线 MB 的方程为 x2 x ?

由于切线 MA, MB 同过点 M ,从而有 ?

? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0 ,由此点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 在直线 ? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0

x0 x ? y ? y0 ? 0 上.又点 M 在直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上,则 2 x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 ,-6 分 故直线 AB 的方程为 (4 y0 ? 3) x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ,即 y0 (4 x ? 2) ? (2 y ? 3 x) ? 0 ,显然直线 AB 过 1 3 定点 ( ? , ? ) .-------8 分 2 4 ii)设 P ( x3 , y3 ), Q ( x4 , y4 ) ,考虑到直线 AB 的方程为 x0 x ? y ? y0 ? 0 ,则联立方程

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 2 ,消去 y 并简化得 (1 ? 4 x0 ) x ? 8 x0 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 ,-----9 分 ? 4 ?x x ? y ? y ? 0 0 ? 0 2 8 x0 y0 4 y0 ?4 2 2 x x ? -------10 分 ? ? 16(4 x0 ? y0 ? 1) ? 0 , x3 ? x4 ? ? 2 , 3 4 2 4 x0 ? 1 4 x0 ? 1
2 2 2 从而 | PQ |? 1 ? k PQ | x3 ? x4 |? 1 ? k PQ ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? 1 ? x0 2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) ,--11 分 2 1 ? 4 x0

点 O 到 PQ 的距离 d ? 从而 S ?OPQ ?

| y0 |
2 1 ? x0



2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) | y0 | 1 1 2 ? | PQ | ?d ? ? 1 ? x0 ? 2 2 2 2 1 ? 4 x0 1 ? x0

?2

2 2 2 2 2 2 y0 ? (4 x0 ? y0 ? 1) y0 ? (4 x0 ? y0 ? 1) ? ? 1 ,-----12 分 2 2 1 ? 4 x0 1 ? 4 x0

1 2 2 2 2 又由于 2 x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 ,从而消去 x0 得 2 y0 ? (4 y0 ? 3) ? 1 ,即 7 y0 ? 12 y0 ? 5 ? 0 ,从而求得
当且仅当 y0 ? 4 x0 ? y0 ? 1 ,即 y0 ? 2 x0 ?
2 2 2

2

2

1 ? 1 ? x0 ? ? ? x ? 5 ? ? 14 y0 ? 1或y0 ? ,从而 ? 0 2 或 ? ,从而所求的直线为 5 7 ? ? ? y0 ? 1 ? y0 ? 7 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 14 y ? 10 ? 0
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