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重庆市江北中学2013届高三上学期半期考试数学(理)试题


重庆市江北中学校 2012-2013 学年(上)半期考试

高 2013 级数学(理科)试题
命题人 费良琼 审题人 游绍斌 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.复数 z=1-i 的虚部是( ) A. 1 B. -1 C. i D. =( ) –i

r />2. 己知

,则

A.
3. ? ? 30 是cos2? ?
?

B
1 的( 2


C.

D.

A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 函数 f ( x) ? log 2 x ? 3sin( A.5

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?
2

x) 零点的个数是 (



B.4 C.3 D.2 π? ? 5. 函数 y=3sin?-2x- ?(x∈[0,π ])的单调递增区间是( 6? ?

)

? 5π ? A.?0, ? 12 ? ?
C.?

B.? D.?

?π ,2π ? ? 3 ? ?6 ?2π ,11π ? ? 12 ? ? 3
? 1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
101 100
)

?π ,11π ? ? 12 ? ?6

6. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? ( A. )

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

a+c 2B 7. 在△ABC 中,cos = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c
A.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

? f ( x ? 4), x ? 0 ? 8. 若f ( x) ? ? x 则f (2012) =( 21 ?e ? ?1 t dt , x ? 0 ?



第1页

A. 0

B. ln 2

C. 1 ? e

2

D. 1 ? ln 2

9. 已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R , 若 BQ ? CP = ? A . 1

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ??? ? ?

3 ,则 ? = ( 2

) B .

2
D.

1? 2 2

C .

1 ? 10 2

?3 ? 2 2 2 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 10. 若 a, b, c 均为单位向量, a? ? 0,(a ? c)? b ? c) ? 0 , | a ? b ? c | 的最大值为 且 b 则 ( (
A. 3 B.



2

C. 1

D.

2 +1

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.设 i 是虚数单位,则
3

i = 1? i3

12. 曲线 y= x -x+3 在点(1,3)出的切线方程为 13. 设 ? ? (0,

?
2

), 且函数 y ? (sin ? ) x

2

?6 x ?5

的最大值为 16,则 ? ?



14. 已知 a ,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m =( 3,?1 ) , n=(cosA,sinA).若 m ⊥n,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B = . 15. 对于下列命题:①在△ABC 中,若 sin2A ? sin2B ,则△ABC 为等腰三角形;②已知 a, b,

c 是△ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? ,则△ABC 有两组解;③设 a ? sin
6 b ? cos

?

2012? , 3

?? ? 2012? 2012? ? , c ? tan ,则 a ? b ? c ;④将函数 y ? 2sin ? 3x ? ? 图象向左平移 个单 6? 3 3 6 ?
? 6?

? 位,得到函数 y ? 2cos ? 3x ? ? 图象。其中正确命题的个数是 ? ?

.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? 2n2 ? n ,且 a1 , a2 依次是等 比数列 ?bn ? 的前两项。 (1)求数列 ?an ? 及 ?bn ? 的通项公式;

第2页

(2)是否存在常数 a ? 0 且 a ? 1 ,使得数列 ?an ? log a bn ? (n ? N ) 是常数列?若存在,求
?

出 a 的值;若不存在,说明理由。

17.(本小题 13 分) 已知向量 a =(cos
? ?

?

? x x 3 3 ? x, sin x), b ? (cos , ? sin ) , x∈[0, ]. 且 2 2 2 2 2

(1)求 a ? b

(2)设函数 f (x) = a ? b + a ? b ,求函数 f (x) 的最值及相应的 x 的值。

?

?

? ?

18. (本小题满分 13 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标 准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) , 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分 别为 , ;两人租车时间都不会超过四小时。 (1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E?

1 1 4 2

1 1 2 4

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

3 1 sin2 x ? cos2 x ? , ( x ? R) 2 2

(1)当 x ? ? ?

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

(2)设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ?

3 , f (C ) ? 0 ,若向量

m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,求 a, b 的值.

第3页

20.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1)求函数 f (x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. x ex e

21. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n? N* ,且

a1 , a2 ? 5 , a 3 成等差数列.
(1)求 a1 , a2 , a3 的值;
n n (2) 求证:数列 a ? 2 是等比数列

?

?

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

重庆市江北中学校 2012-2013 学年(上)半期考试

高 2013 级数学(理科)试题答案
命题人 费良琼 一.BDACB 二.11. ABDAC
12. 2x-y+1=0

审题人 游绍斌

1 1 ? i 2 2

13.

? 6

14.

? 6

15. (3)(4)

第4页

16. (13 分)解: (1)n=1,

a1 ? s1 ? 1

n ? 2, an ? sn ? sn?1 ? 4n ? 3
n ? 1, 4n ? 3 ? 1

?an ? 4n ? 3 a2 ? 5,

q ? 5, bn ? 5n?1
an ? l o ga b n ? 4 ? 3? n ? 1) lao g ?5 ? 4 n ( (
a

(2)存在 a ? 4 5 ,

l o g ?5 )? n

为常 a

3

log 5

数列, 4 ? loga 5 ? 0, a ? 4 5 17. (13 分)解: (1)由已知条件: 0 ? x ?
?

?
2

, 得:

a? b ?

?

2 ? 2cos 2x =2sinx

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2sin x+ cos 2 x 2 2 2 2 1 2 3 2 = ?2sin x ? 2sin x ? 1 ? ?2(sin x ? ) ? 2 2
(2) f ( x) ? 2sin x ? cos

?0 ? x ?

?

1 ? 3 ? ? sin x ? 即x ? , f max ( x) ? ,sin x ? 0或 sin x ? 1即x ? 0或x ? , f min ( x) ? 1 2 6 2 2
18.(13 分)解: (1)所付费用相同即为 0,2,4 元。设付 0 元为 P ? 1 分 付 2 元为 P2 ?

2

,? 0 ? sin x ? 1

1 1 1 ? ? ,………2 4 2 8

1 1 1 ? ? , 2 4 8 1 1 1 付 4 元为 P3 ? ? ? 4 4 16 5 16

…………………4

分 则所付费用相同的概率为 P ? P ? P2 ? P2 ? 1 ……………6 分

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0,2,4,6,8

第5页

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

…………………10 分

分布列

?
P

0
1 8

2

4

6
3 16

8
1 16

5 16

5 16

E? ?

5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2

…………………13 分

2 19. (本小题满分 12 分)解:(I) f ( x ) ? sin( x ?
? ?

?
6

)?1

…………3 分

?
12

? x?

5? 12

??

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? 3

??

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 6

?1?

3 ? ? s i n2(x ? ) ? 1 ? 0 2 6
……………………6 分

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (II) f (C ) ? sin(2C ?

3 ,最大值是 0 . 2

?

6 6 ? 0 ? C ? ? ,? 0 ? 2C ? 2? ,? ? ? ? 2C ? ? ? 11? , 6 6 6

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 ,

? 2C ?

?
6

?

? ? C? 3, 2,

……………………………8 分

? 向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线

第6页

1 sin A ? ? 2 sin B ,

由正弦定理得, a ? 1 b 2
2 2 2

①………10 分

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 . 20. (本小题满分 12 分)

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3
2 2



………………………………12 分

解: (1) f (x) 定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? ln x ? 1 , 当 x ? (0, ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 当 x ? ( ,?? ) , f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增. …………………………2 分 ①0 ? t ? t ? 2 ?

1 e

1 e

1 , t 无解; e

……………………………3 分

x ? (0,1), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递减, x ? (1,??), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递增…… 8 分

h(x) 在 (0,??) 上,有唯一极小值 h(1) ,即为最小值.
所以 h( x) min ? h(1) ? 4 ,因为对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成成立, 所以 a ? h( x) min ? 4 ; …………………9 分

第7页

(3)问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0,?? )) , ex e 1 1 ,当且仅当 x ? 时取到, e e

由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0,??)) 的最小值是 ?

x 2 1? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 m' ( x) ? x , x e e e 1 易得 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ? x ? 成立. ex e
设 m( x ) ? 21.(本小题 12 分)解: (1) a ? 1, a ? 5, a ? 19 1 2 3 (2)由 相减得

…………………11 分 …………………12 分

2sn ? an?1 ? 2n?1 ?1 得 2sn?1 ? an ? 2n ? 1(n ? 2)

2an ? an?1 ? an _ 2n (n ? 2)

an?1 ? 2n?1 3an ? 2n ? 2n?1 ? ? 3(n ? 2) an ? 2n an ? 2n a2 ? 22 ? ?3 a1 ? 2
??an ? 2n ?
(3) 是首项为 3,公比为 3 的等比数列

an ? 3n ? 2n
1 n ? 2 ??n 2 ,? 所 以 3n ? 2n 2 ? ?1 n

?1 1 3 因 为 3n ? 3n ? 2 ? ?n

3 , 所 以

1 1 ? n ?1 , 于 是 an 3

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3? ?1? ? 3 3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2 ? ?3? ? 2 ? ? 1? 3

n

第8页


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