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2011年 北京市高考数学试卷(理科)


2011 年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 2 1. (5 分) (2011?北京) 已知集合 P={x|x ≤1}, M={a}. 若 P∪M=P, 则 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,﹣1] B.[1,+∞) C.[﹣1,1] D. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) 2. (5 分) (2011?北京)复数 A.i B.﹣i C. =( D. )



3. (5 分) (2011?北京)在极坐标系中,圆 ρ=﹣2sinθ 的圆心的极坐标系是( A. B. C. (1,0) D. (1,π)



4. (5 分) (2011?北京)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为(



A.﹣3 B.﹣

C.

D.2

5. (5 分) (2011?北京)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA;②AF?AG=AD?AE③△ AFB~△ ADG 其中正确结论的序号是( )

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

1

6. (5 分) (2011?北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)



(A,C 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第

A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 7. (5 分) (2011?北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 ( )

A.8

B.

C.10

D.

8. (5 分) (2011?北京)设 A(0,0) ,B(4,0) ,C(t+4,4) ,D(t,4) (t∈R) .记 N(t) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数 的点,则函数 N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分) (2011?北京)在△ ABC 中.若 b=5, a= . ,tanA=2,则 sinA= ;

10. (5 分) (2011?北京)已知向量 =( 与 共线,则 k= .

,1) , =(0,﹣1) , =(k,

) .若

11. (5 分) (2011?北京)在等比数列{an}中,a1= ,a4=﹣4,则公比 q= |a1|+|a2|+…+|an|= .



12. (5 分) (2011?北京)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的 四位数共有 个. (用数字作答)

2

13. (5 分) (2011?北京)已知函数

若关于 x 的方程 f(x)

=k 有两个不同的实根,则数 k 的取值范围是



14. (5 分) (2011?北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(﹣1,0)和 F2(1,0)的距离的 2 积等于常数 a (a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△ F1PF2 的面积不大于 a . 其中,所有正确结论的序号是 .
2

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (13 分) (2011?北京)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. .

16. (14 分) (2011?北京)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

17. (13 分) (2011?北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录 中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. (Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望.

3

(注:方差 x2,…xn 的平均数)

,其中 为 x1,

18. (13 分) (2011?北京)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;



(Ⅱ)若对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围.

19. (14 分) (2011?北京)已知椭圆

.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 I

2

2

交椭圆 G 于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 20. (13 分) (2011?北京)若数列 An=a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1﹣ak|=1(k=1,2,…, n﹣1) ,数列 An 为 E 数列,记 S(An)=a1+a2+…+an. (Ⅰ)写出一个满足 a1=as=0,且 S(As)>0 的 E 数列 An; (Ⅱ)若 a1=12,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An,使得 S(An)=0?如 果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An;如果不存在,说明理由.

4


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