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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(11)


加试模拟训练题(11) 1 、 已 知 圆 内 接 五 边 形 ABCDE 满 足 ?ABC 的内切圆半径等于 ?AED 的内切圆半 径, ?ABD 的内切圆半径等于 ?AEC 的内切 圆半径,证明 ?ABC ≌ ?AED 。 2、设 a, b, c ? (0, ? ?) ,且满足 abc ? 1 ,试证: 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? . a (b ? c) b (c

? a ) c (a ? b) 2 3 3、在平面上有 n(≥3)个点,设其中任意两点的距离的最大值为 d,我们称 距离为 d 的两点间的线段为该点集的直径,证明:直径的数目至多有 n 条. 4.若 3n ? 1 可以写成有限小数,那么自然数 n 的值是多少? n(2n ? 1) 加试模拟训练题(11) 1 、 已 知 圆 内 接 五 边 形 ABCDE 满 足 ?ABC 的内切圆半径等于 ?AED 的内切圆半 径, ?ABD 的内切圆半径等于 ?AEC 的内切 圆半径,证明 ?ABC ≌ ?AED 。 证明:设 ?ABC , ?AED, ?ABD, ?AEC 的内切圆半径分别为 r1 , r2 , r3 , r4 ,外接圆 半径为为 R ,不含其它顶点的弧 AB, BC , CD, DE , EA 分别为 2a, 2b, 2c, 2d , 2e ,则有 r1 r , ? 1 ? 2 ? cos e ? cos d ? cos ? e ? d ? R R r r cos a ? cos ? b ? c ? ? cos ? e ? d ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? cos e ? cos ? d ? c ? ? cos ? a ? b ? 。 R R b?c?d d ?c ?b 两式相减得 cos b ? cos ? d ? c ? ? cos d ? cos ? b ? c ? ,从而有 cos , ? cos 2 2 cos a ? cos b ? cos ? a ? b ? ? 1 ? 舍去一种情况后可得 b ? d 。 代入第一个式子得 cos a ? cos ? b ? e ? ? cos e ? cos ? a ? b ? , 类 似地可得 a ? e 。因此有 ?ABC ≌ ?AED 。 2、设 a, b, c ? (0, ? ?) ,且满足 abc ? 1 ,试证: 1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? . a (b ? c) b (c ? a ) c (a ? b) 2 3 证明 由 a ? (?b) ? 2ab? ( ? 为参数) ,得 2 2 a2 ? 2?a ? ?2 b. b ① 则有 (bc) 2 ? 2?bc ? ?2 a (b ? c), a (b ? c) (ca) 2 ? 2?ca ? ?2 b(c ? a ), b (c ? a ) (ab) 2 ? 2?ab ? ?2 c(a ? b). c ( a ? b) ② ③ ①+②+③,得 (bc) 2 (ca) 2 (ab) 2 ? ? ? 2? (ab ? bc ? ca) ? 2?2 (ab ? bc ? ca) a (b ? c) b(c ? a ) c(a ? b) ? 2(ab ? bc ? ca)(? ? ?2 ). ④ 因 ab ? bc ? ca ? 33 (abc) 2 ? 3 ,取 ? ? 1 ,代入④中,得 2 (bc) 2 (ca) 2 (ab) 2 1 3 ? ? ? 2 ? 3? ? . a (b ? c) b(

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