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3[1].1.2两条直线平行与垂直的判定课件


3.1.2

两条直线平行 与垂直的判定

复习1:
直线的倾斜角

斜率
k ? tan? (? ? 90 )
?

斜率公式
y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

定义

三要素

范围 ? ? ?0?,180?

?

k ? ? ??, ???

k ? ? ??, ???

复习2:平面上两条直线位置关系
y

l1

l2

O

x
l3

1.观察以上直线,我们可以发现:以上直线有平 行和垂直两种位置关系 2.我们设想如何通过直线的斜率来判定这两种位 置关系.

探究(一):两条直线平行的判定

思考1:若两条不同直线的倾斜角相 等,这两条直线的位置关系如何? 反之成立吗?
y l1 l2
1

α
O

α

2

x

思考2:若两条不同直线的斜率相等, 这两条直线的位置关系如何?反之 成立吗?

结论:
如果L1与L2不重合,那么
注意:
1.两条直线平行的条件是在斜率存在且不重合 的情况下得到的,所以“斜率存在”和“不重 合”缺一不可。 2.如果L1与L2的斜率都不存在呢?

l1 // l2 ? k1 ? k2 (k1 , k2均存在)

结论1: 前提:两条直线不重合
L1// L2 ? 直线倾斜角相等
?

L1// L2

k1=k2 或k1,k2都不存在

两条直线平行,它们的斜率相等吗?

问题.若两条直线互相垂直 :
(1)它们的倾斜角有何关系? (2)它们的斜率有何关系?
y
l2

l2

l1

y

l1

O

α1

α2

x

O

x

结论2:
L1 ⊥ L2 ?
k1k2=-1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在

两条直线垂直,一定是它们的斜率 乘积为-1这种情况吗?

例1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论。

Y A Q P X B

解:直线BA的斜率 直线PQ的斜率

k BA ?

3?0 1 ? 2 ? (?4) 2

2 ?1 1 k PQ ? ? ? 1 ? (?3) 2

因为 kBA ? kPQ ,所以直线

BA // PQ

7 例1 A 2, ? 3)、( B 5,- )、C (2, 3) 2 ,求证:顺次连结( 2 y D ( ? 4,)四点所得的四边形是梯形。 4
D●

4 3

C


分析:1.什么是梯形?
-4

o
-3

2


5

x


2.怎么样处理直线平行?

A

B

7 ? ? (?3) 1 2 解: ? k AB ? ?? 5?2 6 7 3 ? (? ) 13 2 kBC ? ?? 2?5 6

y
D● 3

C


-4

kCD

k DA

?3 ? 4 7 ? ?? 2 ? (?4) 6

4?3 1 ? ?? ?4 ? 2 6

o
-3

2


5


x
B

A

? k AB ? kCD , kBC ? kDA ? AB//CD,BC不平行于DA,所以四边形ABCD是梯形

例3已知A(5,-1),B(1,1),C (2,3)三点,试判断△ABC的形状。

解:AB边所在直线的斜率 k

AB

1 ?? 2

BC边所在直线的斜率 kBC ? 2 由 ,得 k ABkBC ? ? 1
AB ? BC 即 ?ABC ? 90
?

所以 ?ABC 是直角三角形

例4 已知点A(m,1),B(-3,4), C(1,m),D(-1,m+1),分别 在下列条件下求实数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

解:根据题意得

3 k AB ? ?3? m

k ,

CD

1 ?? 2

(1)当 AB // CD 时,k AB ? kCD



3 1 ?? ?3? m 2

,解得 m ? 3

k ABkCD ? ?1 (2)当 AB ? CD 时,



3 1 ? ( ? ) ? ?1 ?3? m 2

, 解得

m??

9 2

学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识

一、知识内容上
(前提:两条直线不重合,斜率都 l1 // l2 ? k1 ? k2

存在)

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 (前提:两条直线都有斜率,
并且都不等于零)

二、思想方法上
(1)运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系 (2)数形结合的思想


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