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浙江省嵊州市2014-2015学年高一第二学期期末教学质量检测数学试卷(A卷)


嵊州市 2014 学年第二学期期末教学质量检测试卷

高一 数学(A 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?3,4? ,则 2a ? b ? A. ? ?1,5? B. ?1,5? C. ? ?1,6? D.

?1,6 ?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x , 4) ,若向量 a // b ,则实数的 x 值为 A. 2 B.

?2

C. 8

D. ?8

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 7 ? a2 ,则 S 4 的值为 A.15 B.14 C.13 D.12

4. 3 sin x ? cos x ? A. sin ? x ?

? ?

?? ? 6?

B. 2sin ? x ?

? ?

?? ? 6?

C. sin ? x ?

? ?

?? ? 3?

D. 2sin ? x ?

? ?

?? ? 3?

5.已知 a , b 为非零向量,若 a ? b ? b ? a ,则
A. a , b 方向相同,且 a ? b C. a , b 方向相同,且 a ? b 6. 已知 t ? R , tan A. B. a , b 方向相反,且 a ? b D. a , b 方向相反,且 a ? b

?
2

? t ,则 cos? ?

2t 1? t2

B.

2t 1? t2

C.

1? t2 1? t2

D.

1? t2 1? t2

7.已知 x ? y ? A. x 2 ? y 2 ? 2

?? ?? ? ? 2 sin ? ? ? ? , x ? y ? 2 sin ? ? ? ? ,则 4? 4? ? ?
B. x 2 ? y 2 ? 1 C. x 2 ? y 2 ? 1 D. x2 ? y 2 ? 2

8. 设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 7 a1 ,则数列 {an } 的公比 q 的值为 A. 2 或 ? 3 B. 2 或 3 9.已知 AB 是圆 O 的一条弦. C. 2 D. 3

A.若 ?ABO 的面积确定,则 OA ? AB 的值确定 B. 若 ?ABO 的周长确定,则 OA ? AB 的值确定

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

C. 若 AB 的弦长确定,则 OA ? AB 的值确定 D. 若 ?OAB 的大小确定,则 OA ? AB 的值确定 10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? ?? an ? n2 ,若对于给定的 k ? N? , 差数列,其中 k ? p ? r ,则 A. p ? 2k ?1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2 C. p ? 2k ? 1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2 B. p ? 2k ?1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2 D. p ? 2k ? 1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 1 1 , , 成等 a p ar ak

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知向量 a ? ?1, 2? ,则 a ? ▲ . ▲ .

12.已知数列 ?an ? 为等差数列, a2 ? 3 , a5 ? 9 ,则公差为 13.在△ ABC 中, M 为 AB 的中点, AN ? 2 NC , 若 MN ? xAB ? yAC ,则 x ? y ?

????

????

A

???? ?

??? ?

??? ?





M

N
C

14.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,

? ,则边长 c = ▲ . 6 12 3 15.已知 ? , ? 都是锐角, cos ? ? , cos ?? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 13 5 ,b ? 3,A ? 已知 a ? 1

B
▲ .

2 16.等比数列 {an } 的首项为正数,若 ak ak ?2 ? a6 ? 1024 , ak ?3 ? 8 , at ? 128 ,则 t 的值

为 ▲ . 17.已知平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,当 a ? b 取最小 值时, a ? b ? ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系中, O 为原点,点 A ? 2,1? ,点 B ? 3, 4 ? . (I)求 OA ? OB ; (II)设 P 为任意一点, P 关于 A , B 的对称点分别为 M , N ,求 MN .

??? ? ??? ?

???? ?

19. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)求证: sin 75? ?

6? 2 ; 4

(Ⅱ)在△ ABC 中, ?CBA ? 45? , ?CAB ? 75? , AB ? 10 ,求 AB 边上高的长度.

20. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列, a3 ? 5 , a4 ? 2a2 ? a1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 bn ?
1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

(i)求 Tn ; (ii)若 T1 , Tm , Tn 成等比数列, m ? 1 ,求正整数 m , n 的值.

21. (本小题满分 10 分)

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (Ⅰ)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin (Ⅱ)求

2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 a2 , a3 ;

在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?

an?1 ? 2 .

(Ⅱ)求证:数列 ?an ? 单调递减; (III)求证: an ? 2 ?

1 an ?1 ? 2 ( n ? 2 , 3 , ??? ) . 4

高一 数学答案(A 卷)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. DABBD DCACA 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 15.

5
56 65

12. 2 16. 8

13.

1 6

14.1 或 2

17. 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 10 分) 解: (I) OA ? OB ? 10 ; (II)设 P ? a, b? , 则 P 关于 A , B 的对称点分别为 M ? 4 ? a,2 ? b ? , N ? 6 ? a,8 ? b? ,-------6 分 故 MN ? ? 2,6 ? , 从而 MN ? 2 10 . 19. (本小题满分 10 分)
? ? ? ? 解: (1) sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45

??? ? ??? ?

------------4 分

???? ?

-------8 分 ------------10 分

???? ?

------------2 分

1 2 3 2 6? 2 . ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
(2)∵ ?CAB ? 75? , ?CBA ? 45? . ∴ ?ACB ? 180? ? ?CAB ? ?CBA ? 60? . 由正弦定理得:

------------------------4 分

------------6 分

AB BC ? , sin ?ACB sin ?CAB
------------8 分

∴ BC ?

AB sin 75? . sin 60?

过点 C 作 AB 的高,垂足为 D ,则 BD 的长即为所求.

BD ? BC sin 45? =
20. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) ?

5 3? 3 3

?

?

------------10 分

?a1 ? 2d ? 5, ?a3 ? 5, ? 即? ? ?a4 ? 2a2 ? a1 , ?a1 ? 3d ? 2 ? a1 ? d ? ? a1 ,

------2 分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 , ? an ? 2n ? 1 . (Ⅱ) (i)? bn ?

------------4 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
------------7 分

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 m n , Tn ? (ii) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即 由

m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

------------8 分

m2 n . ? 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 n m2

?1?

6 6 . ? m ? 1? 2 2

------------9 分 ------------10 分

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 21. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 sin

x x x ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 . 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan2 2

----------2 分

-------------4 分

(Ⅱ)原式=

cos2 x ? sin 2 x 2 2 2( cos x ? sin x) sin x 2 2

------------6 分

?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) cos x ? sin x ? sin x (cos x ? sin x) sin x

----------8 分

3 1 ? (? ) ? 1 ? . 4 4
22. (本小题满分 12 分) 解析(Ⅰ)由 a 1 ? 3, a n ? a n ?1 ? 2 易知, a 2 ? 5 , a 3 ? (Ⅱ)由 a 1 ? 3, a n ? a n ?1 ? 2 易知 a n ? 0 , 由 a n ? a n ?1 ? 2 得, a n ? a n ?1 ? 2 , 则有 a n ?1 ? a n ? 2 . 由(2)-(1)得
2 2

----------------10 分

5 ? 2 .------------4 分

(1)

(2)

a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ,即 (a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ) ? a n ? a n ?1 ,
? a n ? 0 , 所以 a n ?1 ? a n 与 a n ? a n ?1 同号.

2

2

------------6 分

由 a 2 ? a 1 ? 5 ? 3 ? 0 易知, a n ? a n ?1 ? 0 ,即 a n ? a n ?1 , 可知数列 {a n } 单调递减. ------------8 分

(III)由 a n ? a n ?1 ? 2 可得, a n ? 4 ? a n ?1 ? 2 , (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n ?1 ? 2 , 所以 | a n ? 2 |?
| a n ?1 ? 2 | . an ? 2

2

2

------------10 分

由 (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n ?1 ? 2 易知, a n ? 2 与 a n ?1 ? 2 同号, 由于 a 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 可知, a n ? 2 ? 0 ,即 a n ? 2 ,? a n ? 2 ? 4 ,? 所以 | a n ? 2 |?
1 1 ? , an ? 2 4

1 | a n ?1 ? 2 | ,得证. 4

-----------12 分


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