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高三数学寒假练习:填空题


高三数学寒假练习:填空题
1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 3i (i 是虚数单位) ,则 z =__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.已知命题 P :“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”,请写出命题 P 的否定:
2



3.已知 sin ? ?

? 1 ? ?? ,其中 ? ? ? 0, ? ,则 cos( ? ? ) ? 6 2 ? 2?



4.若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 5.已知函数 f ( x) ? x ? e x ,则 f '(0) ? 6.函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2



. . .

?
6

) 的最小正周期是

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? a12 ? a17 ? a19 ? 8 ,则 S25 的值为 8 . 已 知 圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 1 经 过 椭 圆
2

e=

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0? 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率

.

9 .设直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ?1 ,直线 l2 : mx ? y ? 4 ? 0 的倾斜角为 ? 2 ,且 ?2 ? ?1 ? 90? ,则 m 的值 为 . 10.已知存在实数 a 满足 ab2 ? a ? ab ,则实数 b 的取值范围为 . .

11.已知函数 f ( x) ? x 2 ? (b ? 2 ? a 2 ) x ? a ? b 是偶函数,则此函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 12.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 中点为 M ( x? , y? ) ,且 y? ? x? ? 2 ,则 围为 .

y? 的取值范 x?

13 . 已 知 平 面 上 的 向 量 PA 、 PB 满 足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设 向 量 PC ? 2PA ? PB , 则 PC 的 最 小 值 是 .

??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

14 . 如 果 函 数 f ( x) ? a x (a x ? 3a 2 ?1) (a ? 0 且 a ? 1) 在 区 间 ?0 ,∞ ? ? 上是增函数,那么实数 是 .

a 的取值范围

15. (本小题满分 14 分)已知 O 为原点,向量 OA ? (3cos x,3sin x) , OB ? (3cos x,sin x) , OC ? (2,0) , x ? ? 0, (1)求证: OA ? OB ? OC ;⑵ 求 tan ?AOB 的最大值及相应的 x 值.

??? ?

??? ?

??? ?

? ?

??

?. 2?

?

??? ? ??? ?

?

????

16. (本小题满分 14 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D ,且

| CD |? 4 10 . (1)求直线 CD 的方程;
⑵求圆 P 的方程;

⑶设点 Q 在圆 P 上,试问使△ QAB 的面积等于 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论.

1. 3 ? 2i 6. ?

2. ? x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0
2

3. 9.-2

1 2

4.2 10.

5.1

7.50 12. ? ?

8.

1 3

? ??, ?1?

3 ? a ?1 3 ??? ? ??? ? ? ? 15[解]:解:⑴ ∵ 0 ? x ? , ∴ 3sin x ? sin x ,∴ OA ? OB ? 0 (1 分) 2 ??? ? ??? ? 又 OA ? OB ? ? 0, 2sin x ? (3 分) ??? ? ??? ? ???? ∴ OA ? OB ? OC ? 0 ? 2 ? 2sin x ? 0 ? 0 ??? ? ??? ? ???? ∴ OA ? OB ? OC 。 (6 分)
11.2 13.2 14.

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

? ?

? ?

3sin x sin x 1 ? tan x , tan ?BOC ? ? tan x (8 分) 3cos x 3cos x 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ∵ OA ? OB ? BA ,∴ BA ? OC , 0 ? ?AOB ? 。 2 ∴ tan ?AOB ? tan ? ?AOC ??BOC ? (10 分)
⑵ tan ?AOC ?

1 tan x ? tan x tan ?AOC ? tan ?BOC 3 ? ? 1 1 ? tan ?AOC tan ?BOC 1 ? tan 2 x 3 2 tan x 2 tan x 3 (13 分) ? ? ? 2 3 ? tan x 2 3 tan x 3 ? (当 tan x ? 3 即 x ? 时取“ ? ”) 3 ? 3 所以 tan ?AOB 的最大值为 ,相应的 x ? 3 3 16.解:⑴直线 AB 的斜率 k ? 1 , AB 中点坐标为 ?1, 2 ? ,
∴直线 CD 方程为 y ? 2 ? ? ? x ?1?即x+y-3=0

(14 分)

(4 分)

⑵设圆心 P ? a, b ? ,则由 P 在 CD 上得:

a ?b?3 ? 0 ① ??? ? ??? ? 又直径 | CD |? 4 10 ,? | PA |? 2 10 ,?(a ? 1)2 ? b2 ? 40 ,又 PA ? PB ? 24 ∴ a 2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 27 ? 0 ② (7 分) a ? ?3 a ?5 b ? 6 b ? ?2 由①②解得 或

?

?

∴圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴圆 P 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 6 ? ? 40
2 2

或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 40
2 2

(9 分)



AB ? 42 ? 42 ? 4 2 ,
∴ 当△ QAB 面积为 8 时 ,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 。 (12 分) 又圆心 P 到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 且 4 2 ? 2 2 ? 2 10

∴圆上共有两个点 Q 使 △ QAB 的面积为 8

. (14 分)


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