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合情推理与演绎推理课件(精品课件)


数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3+7=10 3+17=20 13+17=30

10= 3+7 20= 3+17 30= 13+17
一个规律: 偶数=奇质数+奇质数

6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, ?? 1000=29+971, 1002=139+863, ??

猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.

观察下面图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为(



□ ● ?

? ■ ○
● ?

A. ■ B. ? C. □ D. ○

佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
第一个芒果是甜的 想一想: 故事中仆人的做法实际吗? 第二个芒果是甜的 换作你,你会怎么做? 第三个芒果是甜的

?

这个果园 的芒果都 是甜的

某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所 学校做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下:
高中数学 学习状态 问卷调查 甲学校 对数学 的印象 生动 活泼
19%

你认为数学 学习过程主要 是为了 发现 问题
11%

严肃 枯燥
71%

解决 问题
89%

乙学校
丙学校 丁学校

7%
16% 25%

75%
64% 53%

23%
21% 16%

77%
79% 84%

根据这四所学校的情况,你能判断该市高中生对 数学的普遍印象吗?

1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n
2n ? 1 个数是_______.

这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.

1.已知数列{ }的第一项 且 (

a=1, n

a1
1 an ? n

an an ?1 ? n 请归纳出这个数列的通项公式为________. 1 ? an

=1,2,3,·· ·),

确定 已知的判断 新的判断

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.

本节知识结构

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

归纳
(部分到整体、 特殊到一般)

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,
10=3+7,20=3+17,30=13+17.

偶数=奇质数+奇质数
6=3+3, 8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…, 1 000=29+971,…

⑴ 一个偶数(不小于6)总可以表示成两个 奇质数之和; ⑵ 没有发现反例 。

1.归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为
归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别
到一般的推理。

哥德巴赫猜想的过程: 归纳推理的过程:

具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

例如: 金受热后体积膨胀, 银受热后体积膨胀, 铜受热后体积膨胀, 铁受热后体积膨胀, 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热 后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此 距离加大,从而导致体积膨胀 所以,所有的金属受热后都体积膨胀。

例如: 磨擦双手(S )能产生热(P), 敲击石头(S )能产生热(P) , 锤击铁块(S )能产生热(P) , 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动; 所以,物质运动能产生热。
1
2 3

铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电

?

第一个数为2 一切金属 都能导电.

第二个数为4
第三个数为6 第四个数为8

?

第n个 数为2n.

三角形内角和

为 180

?

凸四边形内角 和为 360 和为
?

凸五边形内角

540

?

?

?n ? 2??180 ?.

凸n边形 内角和为

第一个芒果是 甜的 第二个芒果是 甜的 第三个芒果是 甜的

?

这个果园 的芒果都 是甜的

铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电

部分

?

第一个数为2 一切金属 都能导电.

第二个数为4
第三个数为6 第四个数为8

整 体 一 般
这个果园 的芒果都 是甜的

?

第n个 数为2n.

个别 三角形内角和
为 180
?

凸四边形内角 和为 360 和为
?

凸五边形内角

540

?

?

?n ? 2??180 ?.

凸n边形 内角和为

第一个芒果是 甜的 第二个芒果是 甜的 第三个芒果是 甜的

?

例:观察下图,可以发现
1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ??
2. 1+3+?+(2n-1)=n

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

2.类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征,和其

中一类对象的某些已知特征,推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理

(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”

类比推理
“火星上是否有生命”

【例3】如图,利用类比推测球的有关性质
圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的 两条弦长相等 球 球心与截面圆(不经过 球心的截面圆)圆心的 连线垂直于截面圆。 与球心距离相等的两个截面 圆面积相等;与球心距离不 等的两个截面圆面积不等; 与球心距离较近的截面圆面 积较大。 球的表面积 S
2

圆的周长C= 圆的面积S=

?d
?r

? 4?r 4 3 球的体积 V ? ?r 3

2

? 类比推理举例

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。

类比推理的几个特点;

1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.

例4 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想.

例5 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°

4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3 和1个“斜面” S

类比推理

由特殊到特殊的推理

类比推理 以旧的知识为基础,推测新的结果,具有发现的 功能

注意

类比推理的结论不一定成立

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向

小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理

通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.

B

2.由上图(左)有面积关系:

B'

S ?PA ' B ' PA'?PB' ? S ?PAB PA ? PB
A

B'

P

则由上图(右),则类似的结论是:

A'

P

VP ? A'B 'C ' ? VP ? ABC

PA'?PB'?PC ' PA ? PB ? PC

3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式 可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推 广的命题为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.

设圆的方程为① (x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或 b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.

4.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边 的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc

平面上 图 形 B 结 论
A P pb pc pa B C A

空间中
P D C



pa pb pc pa pb pc pd ? ? ?1 ? ? ? ?1 ha hb hc ha hb hc hd



1 BC ? pa pa 2 S ?PBC ? ? , 证 ha 1 BC ? h S ?ABC a 2 同理有 pb S ?PAC pc S ?PAB   ? , ? , hb S ?ABC hc S ?ABC S ?PBC ? S ?PAC ? S ?PAB ? S ?ABC ,

法 pa pb pc S ?PBC ? S ?PAC ? S ?PAB
ha ? hb ? hc ? S ?ABC

?1

例6:已知? ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则
2S ? ABC内切圆半径r= ___________ . a?b?c

分析:面积法
1 由2r(a+b+c)=S 2S r= a+b+c

变式: 已知? ABC 三边长为a , b, c , 面积为S,则 2S ? ABC内切圆半径r= . a?b?c 根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的 A 面积分别为S1 , S 2 , S 3 , S4 , 体积为V ,
则四面体的内切球半径 R ? ________________ .
O
O B

3V S1 ? S 2 ? S 3 ? S4

D

C

练习 (直击高考: 浙江文第16题 ) 09 设等差数列?an ? 的前n项和为S n , 则S4,S8 ? S4, 设等比数列?bn ? 的前n项积为Tn , S12 ? S8,S16 ? S12成等差数列.类比以上结论:

T16 则T4, ____, _____, 成等比数列. T12

T8 T4

T12 T8

a1+a2+?+an 1.已知数列{an}是等差数列,则{ } n 是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是 等比数列,类比上述等差数列,则 是 等比数列?

例7.

答:数列{

n

a1a2?an}是等比数列.

(2004广东,15) 由图(1)有面积关系:

则由图(2)有体积关系:

S?PA?B? PA? ? PB? ? S?PAB PA ? PB VP ? A?B?C ? PA? ? PB? ? PC ? ? VP ? ABC PA ? PB ? PC

B?

B

B?
A

B
C

P
图(1)

C?

A?

P

A?
图(2)

A

T20 T30 T40 100 , , 成等比数列, 公比为q T10 T20 T30

案例分析:
完成下列推理, 它们有什么特点?

1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.

一般性的原理 特殊情况 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 特殊情况 所以2007不能被2整除. 结论

案例分析2:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理.
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

演绎推理的定义
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下 的结论,这种推理称为演绎推理. 1.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.演绎推理的一般模式“三段论” ⑴大前提---已知的一般原理

⑵小前提---所研究的特殊情况
⑶结论---根据一般原理,对特殊情况做出的判断

例8.用三段论的形式写出下列演绎推理
(1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以, 正方形的对角线相等。
矩形的对角线相等 正方形是矩形 (大前提) (小前题)

正方形的对角线相等 (结论)

(2) y=sinx是三角函数,三角函数是周期函数, y=sinx(x为R)是周期函数。
三角函数是周期函数(大前提)

y=sinx是三角函数(小前题)
y=sinx是周期函数(结论)

3.三段论的基本格式
M—P(M是P)
(大前提)

S—M(S是M)
所以 S—P(S是P)
三角函数是周期函数 y=sinx是三角函数

(小前提)
(结论)

M……P S……M

y=sinx是周期函数

S……P

4. 用集合的观点来理解: 演绎推理
矩形的对角线相等 正方形是矩形 (大前提) 若集合M的所有元素 (小前题) 都具有性质P,

正方形的对角线相等 (结论)

S是M的一个子集,
那么S中所有元素也 都具有性质P.

M

?

p

S

例9:完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.





演绎推理(练习)
练习1:把下列推理恢复成完全的三段论:

( )函数y ? 2 x ? 5的图象是一条直线 1 .
(2)因为?ABC三边长依次为3, 5,所以?ABC 4, 是直角三角形;

()函数y ? 2 x ? 5的图象是一条直线. 1
一次函数y ? kx ? b(k ? 0)的图象是一条直线 (大前提)

函数y ? 2 x ? 5是一次函数 函数y ? 2 x ? 5的图象是一条直线

(小前提) (结论)

(2)因为?ABC三边长依次为3, 5,所以?ABC 4, 是直角三角形;
一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 (大前提)

?ABC的三边长依次为 ,5,而52 ? 42 ? 32 3 4, ?ABC是直角三角形

(小前提) (结论)

例10 x 因为指数函数 y ? a 是增函数(大前提) 1 x 而 y ? ( ) 是指数函数(小前提) 21 所以 y ? ( ) x 是增函数(结论) 2 (1)上面的推理形式正确吗? (2)推理的结论正确吗?为什么? 推理形式正确,但推理结论错误,因为 大前提错误。

练习2 分析下列推理模式是否正确,结论正 确吗?为什么? 大前提错误
(1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误 (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

错误的前提和推理形式可能导致错误的结论;
演绎推理错误的主要原因: 大前提错误

①大前提错误; ②小前提错误; ③推理形式错误

(2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数.

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

(4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

错误的前提和推理形式可能导致错误的结论;
演绎推理错误的主要原因:

①大前提错误;(大前提不成立) ②小前提错误;(小前提不成立或不符合大前提的条件) ③推理形式错误
☆但是

正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论!
因而,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具

所以,我们主要运用演绎推理来证明数学命题

例11、 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足.求证AB的中点M到D,E的距离 C 相等. 证明:(1)∵有一个内角是直角
大前提 的三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提 ∴△ABD是直角三角形. 结论 A 同理△ABE是直角三角形
E D

M

B

(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
1 ∴DM= AB. 2

结论

同理 EM=

1 AB. 2

∴DM = EM.

例12 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
C

证明:(1)∵

E

D

在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提 结论 ∴△ABD是直角三角形. A 同理△ABE是直角三角形

M

B

(2)∵, M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
1 ∴DM= AB. 2

结论
可以省略不写。

同理 EM=

1 AB. 2

∴DM = EM.

例13 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函 数. 证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x) 是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? ( ??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? x1 ? 2 x1 ) ? ( ? x2 ? 2 x2 )

大前提

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
? x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; ? x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

例14 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:
任取x1 , x2 ? ( ??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? x1 ? 2 x1 ) ? ( ? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
? x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; ? x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

在应用三段论进行证明时,因为作为一般性道理 的大前提被人们熟知,是显然的,所以书写时可以省

略不写。
例 求证:一个三角形中,最大的角不小于60°。 证明:设?ABC中, ∠ A≤∠B≤∠C,
省略了大前提 不等式的性质 省略了大前提 三角形内角和是180 °




∠ A+ ∠B +∠C ≤3∠C
3∠C≥180 °

所以

∠C≥60 °

思考:证明过程中哪步到哪步是三段论?

回顾小结:
1 演绎推理的定义; 演绎推理的一般模式——三段论. 2 演绎推理错误的主要原因是:
①大前提错误;②小前提错误;③推理形式错误 正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论! 数学证明主要运用演绎推理

3 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.数学结论、证明思路等的发现, 主要靠合情推理. 4 合情推理与演绎推理的区别与联系.

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理
推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法,称为演绎推理.
注: 1.演绎推理是由一般到特殊的推理;

1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 是三角函数, 所以tan ? 是周期函数

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况;

⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.

2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 (2)小前提 (3)结论 已知的一般原理;

M是P,

所研究的特殊情况; S是M, 根据一般原理,对特 所以,S是P。 殊情况做出的判断.

☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P. M
?

a

S

1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以,铜能够导电.

2.个位数字是0或5的正整数必是5的倍数 2375的个位数是5 所以,2375是5的倍数

例16.已知lg2=m,计算lg0.8

解 (1) lgan=nlga(a>0) lg8=lg23 所以lg8=3lg2
(2)lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

lg0.8=lg(8/10)

所以,lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1

练习:1. 把下列推理恢复成完全的三段论: 1 (1)因为 tan ? ? ,所以 cot ? ? 2 2 (2)函数 y ? 2 x ? 5的图象是一条直线.

练习2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, ∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF. A
证: (1)同位角相等,两直线平行,(大前提) ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD= B C ∠A , (小前提) D 所以, DF∥EA. (结 论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提) DE∥BA且DF∥EA, (小前提) 所以,四边形AFDE是平行四边形. (结 论) (3)平行四边形的对边相等, (大前提) ED和AF为平行四边形的对边, (小前提) 所以,ED=AF. (结 论)
F E

练习3. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;

(1)整数是自然数, -3是整数,

-3是自然数;
(2)无理数是无限小数,

1 (? 0.333?)是无限小数, 3 1 是无理数. 3

演绎推理错误的主要原因
(1)大前提不成立;

(2)小前提不符合大前提的条件

4.演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论 是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完 全蕴涵于前提之中。 (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联 系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的, 那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数 学中严格证明的工具。 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少 创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用,有助于科学的理论化和系统化。


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