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2013届高三理科数学高考专题训练26 分类讨论思想 Word版含答案]


高考专题训练二十六
班级_______ 姓名________时间:45 分钟

分类讨论思想
分值:75 分 总得分_______

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=

?an, 当an为偶数时, ?2 ?3an+1, 当an为奇数时.
A.4 或 5 C.5 或 32

)若 a6=1, 则 m 所有可能的取值为( B.4 或 32

)

D.4,5 或 32

a5 解析:若 a5 为偶数,则 a6= =1,即 a5=2. 2 a4 若 a4 为偶数,则 a5= =2,∴a4=4; 2 1 若 a4 为奇数,则有 a4= (舍). 3 若 a3 为偶数,则有 a3=8;若 a3 为奇数,则 a3=1. 若 a2 为偶数,则 a2=16 或 2; 7 若 a2 为奇数,则 a2=0(舍)或 a2= (舍). 3 若 a1 为偶数,则 a1=32 或 4; 1 若 a1 为奇数,有 a1=5 或 a1= (舍). 3 若 a5 为奇数,有 1=3a5+1;所以 a5=0,不成立. 综上可知 a1=4 或 5 或 32. 答案:D

点评:本题考查了分类讨论的应用,要注意数列中的条件是 an

为奇数或偶数,而不是 n 为奇数或偶数. 2.已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 a 等于( A.-3 C.3 ) B.- 3 D. 或-3 8 3 8

解析:当 a<0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=-1 时取得最大值, 得 a=-3; 3 当 a>0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=2 时取得最大值,得 a= . 8 答案:D 3.对一切实数,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取 值范围是( ) B.[-2,+∞) D.[0,+∞)

A.(-∞,-2) C.[-2,2]

解析:本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为 a y=x+x型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式 x2+a|x|+1≥0 对一切实数恒成立.①当 x=0 时,则 1≥0,显然成立;②当 x≠0 1 时,可得不等式 a≥-|x|- 对 x≠0 的一切实数成立.令 f(x)=-|x| |x |
? 1? 1 - =-?|x|+|x|?≤-2.当且仅当|x|=1 时,“=”成立. |x | ? ?

∴f(x)max=-2,故 a≥f(x)max=-2. 答案:B 4.0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数

恰有 3 个,则( A.-1<a<0 C.1<a<3

) B.0<a<1 D.3<a<6

解析:(x-b)2-(ax)2>0,(x-b-ax)(x-b+ax)>0. 即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0. 令 x1= b b ,x2= . 1-a 1+a ①

b ∵0<b<1+a,则 0< <1,即 0<x2<1. 1+a
? b ? 当 1-a>0 时,若 0<a<1,则不等式①的解集为?-∞,1+a?∪ ? ? ? b ? ,+∞?,不符合题意. ? ?1-a ? ? ? b ? ? b 若-1<a<0,不等式的解集为?-∞,1-a?∪?1+a,+∞?,不符 ? ? ? ?

合题意. 当 1-a<0 时,即 a>1 时,需 x1= ∴a<3. 综上,1<a<3.故选 C. 答案:C 5.已知 a=(-1,-2),b=(1,λ).若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是(
? 1? A.?-∞,-2? ? ? ? ?

b <-2,a+1>b>-2(1-a), 1-a

)
? 1 ? B.?-2,+∞? ? ?

? 1 ? C.?-2,2?∪(2,+∞)

D.(2,+∞)

1 解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a· b<0,即有 λ>- .又当 λ=2 时, 2

a 与 b 反向.故选 C. 答案:C
? ?a 6.对任意两实数 a,b 定义运算“*”如下,a*b=? ?b ?

?a≤b?, ?a>b?,

)

则函数 f(x)=log1
2

(3x-2)*log2x 的值域为( 2 B.[log2 ,0] 3 D.R

)

A.(-∞,0]

2 C.[log2 ,+∞) 3

解析: 根据题目给出的情境,得 f(x) = log 1
2

(3x - 2)*log2x =

?log2 ? 1 ? 3x-2 log2?3x-2?*log2x=? ? ?
1

?x≥1?, ?0<x<1?.

?log2x

)由于 y=log2x 的图象在

定义域上为增函数,可得 f(x)的值域为(-∞,0].故选 A. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7.若函数 f(x)=4x+a· 2x+a+1 在(-∞,+∞)上存在零点,则 实数 a 的取值范围为________. 解析:设 2x=t(t>0),则函数可化为 g(t)=t2+at+a+1,t∈(0, +∞),函数 f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数 g(t)在(0, +∞)上有零点.

(1)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数 a 应满足

? a ?-2>0, ?g?0?=a+1>0,

Δ=a2-4?a+1?≥0, 解得-1<a≤2-2 2.

(2)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞, 0)时,实数 a 应满足 g(0)=a+1<0,解得 a<-1. (3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时,g(0)=a+1,a=-1,此时可 求得函数 g(t)的另一个零点是 1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知 a 的 取值范围是 a≤2-2 2. 答案:a≤2-2 2 8.连掷两次骰子得到的点数为 m 和 n,记向量 a=(m,n),与 π 向量 b=(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈(0, ]的概率是________. 2 解析:∵m>0,n>0, ∴a=(m,n)与 b=(1,-1)不可能同向. π ∴夹角 θ≠0.∴θ∈(0, ]?a· b≥0,∴m≥n. 2 当 m=6 时,n=6,5,4,3,2,1; 当 m=5 时,n=5,4,3,2,1; 当 m=4 时,n=4,3,2,1; 当 m=3 时,n=3,2,1; 当 m=2 时,n=2,1; 当 m=1 时,n=1; ∴概率是 6+5+4+3+2+1 7 = . 12 6×6

答案:

7 12

9.当点 M(x,y)在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时,目标 函数 z=kx+y 取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数 k 的取值范 围是________.

解析:如图,延长 BC 交 y 轴于点 D,目标函数 z=kx+y 中 z 的几何意义是直线 kx+y-z=0 在 y 轴上的截距, 由题意得当此直线 经过点 C(1,2)时,z 取得最大值,显然此时直线 kx+y-z=0 与 y 轴 的交点应该在点 A 和点 D 之间, 而 kAC= 2-1 2-0 =1, kBD=kBC= = 1-0 1-3

-1, 直线 kx+y-z=0 的斜率为-k, 所以-1≤-k≤1, 解得 k∈[- 1,1].

答案:[-1,1] x 2 y2 10. 设 F1、 F2 为椭圆 + =1 的两个焦点, P 为椭圆上一点. 已 9 4 |PF1| 知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 |PF2| 的值为________.

解析:若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5. 解得|PF1|= 14 4 |PF1| 7 ,|PF2|= .∴ = . 3 3 |PF2| 2

若∠F1PF2=90° ,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2. 解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴ 综上, |PF1| 7 = 或 2. |PF2| 2 |PF1| =2. |PF2|

7 答案: 或 2 2 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)已知 a>0,且 a≠1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,它满 an-1 1 足条件 S =1-a.数列{bn}中,bn=an· lgan.
n

(1)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)若对一切 n∈N*,都有 bn<bn+1,求 a 的取值范围. an-1 1 分析:(1)本题从 S =1-a可以得出 Sn,进而由 an 和 Sn 的关 n
? ?S1 系 an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?.

)可求出数列{an}的通项,也就求出了

{bn}的通项公式.(2)应注意分 a>1 和 0<a<1 讨论. an-1 a?an-1? 1 解:(1) S =1-a,∴Sn= . a-1 n a?a1-1? 当 n=1 时,a1=S1= =a; a-1

a?an-1? a?an-1-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =an. a-1 a-1 ∴an=an(n∈N*).此时,bn=an· lgan=n· anlga. ∴Tn=b1+b2+?+bn=lga(a+2a2+3a3+?+nan). 设 un=a+2a2+3a3+?+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+?+an -na
n+1

a?an-1? = -nan+1. a-1

nan+1 a?an-1? ∴un= - . a-1 ?a-1?2 n· an+1 a?an-1? ∴Tn=lga[ - ]. a-1 ?a-1?2 (2)由 bn<bn+1?nanlga<(n+1)an+1lga. n ①当 a>1 时,由 lga>0,可得 a> . n+1 ∵ n n <1(n∈N*),a>1,∴a> 对一切 n∈N*都成立,此时 a n+1 n+1

的范围为 a>1.
? n ? n ②当 0<a<1 时, 由 lga<0 可得 n>(n+1)a, 即 a< , 即 a<?n+1? n+1 ? ?
min.



1 1 n n ≥ ,∴a< 时,对一切 n∈N*,a< 都成立,此时,a 2 n+1 2 n+1

1 的范围为 0<a< . 2 1 由①②知:对一切 n∈N*,都有 bn<bn+1 的 a 的范围是 0<a< 或 2 a>1. y2 x 2 12.(13 分)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上两 a b

?x1 y1? ?x2 y2? 3 点. 已知 m=? b , a ?, n=? b , a ?, 若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= , 2 ? ? ? ?

短轴长为 2,O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的 斜率 k; (3)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果 不是,请说明理由. 3 c 分析: (1)由 e=a= 及 b=1 可求 a.(2)设出 AB 的直线方程, 代 2 入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件 m· n=0,解出 k 值.(3)应 分 kAB 不存在及 kAB 存在两种情况讨论求解. a2-b2 3 c 解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e=a= a = . 2 y2 ∴a=2,c= 3.椭圆的方程为 +x2=1. 4 (2)由题意,设 AB 的方程为 y=kx+ 3,

?y=kx+ 3, 由?y2 2 ? 4 +x =1,
∴x1+x2=

整理得(k2+4)x2+2 3kx-1=0.

-2 3k -1 ,x1x2= 2 . 2 k +4 k +4

由已知 m· n=0 得: x1x2 y1y2 1 2 + 2 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) b a 4
? k? 3 3 =?1+ 4 ?x1x2+ k(x1+x2)+ 4 4 ? ?
2

1 ? k2+4? 3 -2 3k 3 ?- 2 ?+ k· 2 = + =0.解得 k=± 2. 4 ? k +4? 4 k +4 4 (3)①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1=x2, y1=-y2,由 m· n=0 得
2 y1 2 2 2 x1- =0?y1 =4x1 .

4

又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 ∴|x1|=

2 4x1 2 x1+ =1,

4

2 1 1 ,|y1|= 2,S= |x1||y1-y2|=1= |x1|· 2|y1|=1,所以三 2 2 2

角形面积为定值. y2 ②当直线 AB 斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b,代入 + 4 x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以 x1+x2= -2kb ,x1x2= k2+4

b2-4 ?kx1+b??kx2+b? y1 y2 ,x1x2+ =0?x1x2+ =0,代入整理得 2b2- 2 4 4 k +4 k2=4, |b| 4k2-4b2+16 1 |b | 1 2 ∴S= · |AB|= |b| ?x1+x2? -4x1x2= = 2 1+k2 2 k2+4 4b2 =1. 2|b| 所以△ABC 的面积为定值. 点评: 本题是平面向量与解析几何的交汇题, 综合考查了椭圆方 程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜 率存在与斜率不存在讨论.


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