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必修二立体几何知识点+例题+练习+答案


立体几何知识点 一、空间几何体 1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体 的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面 体叫做棱锥。底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正多 边形的中心。 4.棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得 的棱台叫做正棱台。 正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面的 截面是相似的正多边形 5.旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫做 旋转体的轴, 6.圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所 在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩 形、等腰三角形、等腰梯形。 到弧长公式 l ? ?R 7.球:以半圆的直径为旋转轴, 旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简 称球) 8.简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图形 叫做俯视图。一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内的图 形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通常把这 个平面放在直立投影面的右面,投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视 图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成 的平面图形。
1

注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经常用

(1).三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等 (2).空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影) ; 侧视图(从左向右的正投影) ; 俯视图(从上向下正投影) . 例题 1.某四棱锥底面为直角梯形, 一条侧棱与底面垂直,四棱锥的三视图如右图所示, 则其体积为 .
P

1 正 视 图 2 1 1 俯 视 图 侧 视 图

例题 2.右图是底面为正方形的四棱锥, 其中棱 PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( [来源:学|科|网 Z|X|X|K] )
A 正前方 D B C

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

[来源:学_科_网]
俯视图 俯视图 俯视图 俯视图

A

B

C

D

(3).空间几何体的直观图——斜二测画法特点: ①斜二测坐标系的 y 轴与 x 轴正方向成 45? 角;②原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度不 变;③原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 2 2 :1. 例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 B.
1+ 2 2

). C.
2+ 2 2

D. 1+ 2

2

9.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线) :
S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh

S 正棱锥侧面积 ?

1 ch ' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl
S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

1 S 正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' S圆台侧面积 ? (r ? R)?l 2
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

S圆 柱 表? 2?r ?r ? l ?

?

?

S 球面 = 4? R 2

10.柱体、锥体、台体和球的体积公式:

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? ? 2r h

V锥 ?

1 Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

V 球 = 4 ? R3
3

例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图) 是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2) V ? 64 ……………7分 (2)求该几何体的侧面积S (3) S ? 40 ? 24 2 ………12分 )

例 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

例 5.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为_____. 练习: 1 .已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? ( A. 12? B. 16? C. 18? D. 64? ) )

2 .右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 (
2 4
俯 视 图 正(主)视图 图 2

A . 32?

B . 16?

C . 12? D . 8?

4
侧 ( 左 )视

2 1 4
侧(左)视图 正(主)视图

3 .某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形,则此几何体的体积是 A.
20 π 3

( C.


10 π 3

B 6π .

D.

16 π 3
俯视图

(第 3 题图)

3

4 .一个几何体的三视图是三个边长为 1 的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( )

1 A. 6

1 B. 3

5 C. 6

D.1

5. 一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体 的体积为( A. 4 ) B. 8 C. 12 D. 24

6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的体积为 ( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3

B.6

C. 27 3 D. 36 3

7. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=(

)

A. 2

B.

2 2

C. 3

D.

3 2

8.某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是 两个全等等腰三角形 ) 根据图中标出的数据 , 可得这个几何体的 表面积为 ( A. 4 ? 4 3 ) B. 4 ? 4 5
8 C. 3

a

D.12 )
正(主)视图

a

a
侧(左)视图

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
a3 2

B.

a3 6

C.

a3 12
4

D.

a3 18
俯视图

第4题图

10.已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位: cm ), 可得这个几何体的体积是
4 A. cm3 3 8 B. cm3 3



) C. 2cm3 D. 4cm3
正视图

2 2
侧视图

2

二、 立体几何点

线 面的位置关系
2

1 1

平行与垂直关系可互相转化

俯视图

第 5 题图

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定 判定推论 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

例1. 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的 中点,则以下结论中不成立的是( A. EF与BB1垂直 C. EF与CD异面 )

B. EF 与BD垂直 D. EF与A1C1异面 )

例 2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

例 3.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β 练习: 1.设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列说法中正确的是( . A.在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直
5



D. AC⊥β



B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直

C.与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 ? 平行 D.与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直 . . 2.设 a, b 为两条直线, ?,? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? 3.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是( . (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4 ) )

B.若 a ∥? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

4.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( (A) ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

5.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 其中真命题的序号是( A.①④ B.②③ ) C.②④ D.①③ ) ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ④若 m // n, n ? ? ,则 m // ?

6 .对于平面 ? 和直线 m, n ,下列命题中假命题 的个数是( ...

① 若 m ? ? , m ? n , 则 n // ? ;②若 m // ? , n // ? , 则 m // n ;③若 m // ? , n ? ? , 则 m // n ; ④若 m // n , n // ? ,则 m // ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
)

7.若 l,m,n 是互不相同的空间直线,α,β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是(
A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n C.若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m B.若 α⊥β,l?α,则 l⊥β D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β

8.知 a、b 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
6

①若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β ③若 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b④若 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b 其中正确命题的序号有________

1、线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 (2)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 (3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (4)垂直于同一平面的两直线平行。 2、线面平行的判断: (1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 例 1、 (三角形中位线定理)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,求证: AC 1 // 平面 BDE 。 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1
BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面 BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
B A B1 A
1

D1

E

C
1

D

C

O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: C1O 例 2、 (证明是平行四边形) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,

∥面 AB1D1 ;

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 1
∵ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC 又 O1 , O 分别是 AC 1 1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O 1C1 ? AO

? A1 ACC1 是平行四边形
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

? AOC1O1 是平行四边形
7

?C1O∥AO1 , AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D 1 1 1 1 1
3、面面平行的判断:

∴C1O∥面 AB1D1

(1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。 例 4、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是
AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G
EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

1 E ? E , ? 平面 D EF ∥平面 又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG EF ? D 1

BDG

4、线线垂直的判断: 若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 例 5、已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求证:EF∥平面 PAD; (2) 求证:EF⊥CD;

5、线面垂直的判断: (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 (4)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
AD ? 面 SBC . 例 6、 (线线线面相互转化)已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证:

证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC

? B C? A C

S

? S A? B C

? BC ? 面 SAC
8

D A C B

? BC ? AD

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC
2 AC , 2

例 7、 (构造直角三角形)四面体 ABCD 中,AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点,且 EF ?
?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平面 ACD

证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,

// 1 AC ∴ EG ? 2 1 // BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? 1 AC , FG ? 2 2 1 ∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 2
∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD 例 8、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF
DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF.
A B D C A1 D1 B1 C1

∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE,CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE ,CD ? BE ? E ,∴ AH ? 平面 BCD. 例 9、 (三垂线定理)证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 平面 BC1D A1C ⊥

证明:连结 AC
∵B D ⊥ AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

6、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
9

例 10、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE;(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1)
A E

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?
B

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE

C

又∵ CE ? DE ? E

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , 练习 1. 如图:梯形 ABCD 和正 △ PAB 所在平面互相垂直,其中 AB // DC , AD ? CD ?
AB 中点. ( I ) 求证: BC // 平面 POD ;( II ) 求证: AC ? PD .
P

D

∴平面 CDE ? 平面 ABC

1 AB ,且 O 为 2

A D

O C

B

2.如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,

得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (Ⅰ)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; (Ⅲ)求 三 棱 锥 M ? ABD 的 体 积 .
A A O D C O D B B M C

10

3. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,
1 ∠ADC=90° ,BC= AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2

P

(Ⅰ )求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ.
Q A B M D C

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E

P

D

C

A

B

11

5. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA1 的中点. (I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .
A1 B1 C1

F E

A
D B

C

6. 正 方 形 A B C D 与 直 角 梯 形 ADEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , ?ADE ? 90 , AF // DE ,
DE ? DA ? 2 AF ? 2 .(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ;(Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体
BDEF 的体积.
E

F

D

C

A

B

7. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别 是 AP、AD 的中点求证: (1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

(第7题图)

12

1 8.如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥ 平面 ABCD,PD∥ QA,QA=AB= PD. (I)证明:PQ⊥ 2

平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值.

9. 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠ BDC=90°。 (1)证明:平面ADB⊥平面BDC; (2 )设 BD=1,求三棱锥 D—ABC的表面积。

10、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.
BDE ; (1)求证: AC (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 1 // 平面

13

三、线线、线面和面面的成角问题 1、 两异面直线及所成的角: 不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线 a,b,经过空 间任一点 O 作直线 a ? ∥ a , b ? ∥ b ,我们把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条直线互相垂直. 2、直线和平面所成的角:一条直线 PA 和一个平面α 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫 做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点 A 叫做斜足。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。 平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直 线垂直于平面,我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它 们所成的角是 0 . 3、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α 和β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多 少度。 常见角的取值范围:
? ?? ① 异面直线所成的角 ? 0, ? ? 2? ? ?? 直线与平面所成的角 ?0, ? ? 2?
0

二面角的取值范围依次 ?0,? ?

? ?? ② 直线的倾斜角 ?0,? ? 、 到 的角 ?0,? ? 、 与 的夹角的取值范围依次是 ?0, ? ? 2?

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是



点到平面距离:求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面 内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G= ? (0≤ ? ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A. 3 B.
2 2

D ) D.
5 5

C.

2? 3

14

例 2、 已知 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,AB ? 2 ,PA ? AD ? 4 ,

E 为 BC 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角. 证明:在 ?ADE 中, AD2 ? AE 2 ? DE 2 ,? AE ? DE ∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 300 练习: 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形
B G C E H D A

(2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。F 证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ? 同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 °
1 BD 2

1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

2、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形, 已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ )设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ )求四棱锥 P ? ABCD 的体积. (Ⅰ )证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD2 ? BD2 ? AB 2 . 故 AD ? BD .

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,
BD ? 平面 ABCD ,
P

所以 BD ? 平面 PAD ,

又 BD ? 平面 MBD ,
M D
15

故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ )解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O ,
A O

C B

由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,

所以 PO ? 平面 ABCD .

因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ?
3 ?4 ? 2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ?
2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

4?8 8 5 , ? 5 4 5

1 故 VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

3 、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 600 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是 等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,
PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB

(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC
? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角

在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 450 4.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?
OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点。

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。
16

解:方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE
ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD

又 NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD

(2) CD‖ AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
O

作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
2 ∵ ?ADP ? ,∴ DP = 4 2
∴c o s ?MDP ?

?

M

MD ? MA ? AD ? 2 ,
2 2

E Q A P B N C D

DP 1 ? ? ? , MDC ? ?MDP ? MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作
AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD

又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2

高考训练: 1,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.(1)证明 PA∥平面 EDB;(2)证明 PB⊥平面 EFD;

2, (2013·潮州模拟)如图 1,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE =EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE,AC∩BD=G.(1)求证:

17

AE⊥平面 BCE;(2)求证:AE∥平面 BFD;(3)求三棱锥 C—BGF 的体积.

3、 (2013·广州质检)如图 4,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE;(2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF,求 BF 的值. BE

234、(2013·佛山质检)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=1,AD= 3,AB⊥BC,CD⊥BD,如 图 6(1).把△ABD 沿 BD 翻折,使得平面
18

A′BD⊥平面 BCD,如图(2). (1)求证:CD⊥A′B; (2)求三棱锥 A′—BDC 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 A′N⊥BD?若存在,请求出 由. BN 的值;若不存在,请说明理 BC

5、 ( 2013 深圳一模) 如图甲, ⊙O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧,使 ?CAB ?

? , 4

?DAB ?

? .沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) , F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中 3

点.根据图乙解答下列各题: (1)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ; (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

C
·

F B

A

·

O

B

A D

·

E

O G

D
(图甲)

(图乙)

19

立体几何知识点 一、空间几何体 1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体 的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都平行, 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面 体叫做棱锥。底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正多 边形的中心。 4.棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得 的棱台叫做正棱台。 正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面的 截面是相似的正多边形 5.旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫做 旋转体的轴, 6.圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所 在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩 形、等腰三角形、等腰梯形。 到弧长公式 l ? ?R 7.球:以半圆的直径为旋转轴, 旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简 称球) 8.简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图形 叫做俯视图。一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内的图 形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通常把这 个平面放在直立投影面的右面,投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视 图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成 的平面图形。
20

注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经常用

(1).三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等 (2).空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影) ; 侧视图(从左向右的正投影) ; 俯视图(从上向下正投影) . 例题 1.某四棱锥底面为直角梯形, 一条侧棱与底面垂直,四棱锥的三视图如右图所示, 则其体积为
1 2
1 1 俯 视 图
P

1 正 视 图 2 侧 视 图



例题 2.右图是底面为正方形的四棱锥, 其中棱 PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( [来源:学|科|网 Z|X|X|K] B )
A 正前方 D B C

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

主视图

左视图

[来源:学_科_网]
俯视图 俯视图 俯视图 俯视图

A

B

C

D

(3).空间几何体的直观图——斜二测画法特点: ①斜二测坐标系的 y 轴与 x 轴正方向成 45? 角;②原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度不 变;③原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 2 2 :1. 例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是( A.2+ 2 B.
1+ 2 2

A ). C.
2+ 2 2

D. 1+ 2

21

9.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线) :
S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh

S 正棱锥侧面积 ?

1 ch ' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl
S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

1 S 正棱台侧面积 ? (c1 ? c2 )h' S圆台侧面积 ? (r ? R)?l 2
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

S圆 柱 表? 2?r ?r ? l ?

?

?

S 球面 = 4? R 2

10.柱体、锥体、台体和球的体积公式:

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? ? 2r h

V锥 ?

1 Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3

V 球 = 4 ? R3
3

例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图) 是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2) V ? 64 ……………7分 (2)求该几何体的侧面积S (3) S ? 40 ? 24 2 ………12分 )

例 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( C A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
3 3 ?R ___. 24

例 5.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为__ 练习:

1.已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? ( B ) A. 12? B. 16? C. 18? D. 64?

2.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( C )
2 4
俯 视 图 正(主)视图 图 2
正(主)视图

A . 32?

B . 16?

C . 12? D . 8?

4
侧 ( 左 )视

2 1 4
侧(左)视图

3 .某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形,则此几何体的体积是 A.
20 π 3

( C.

C
10 π 3
22

) D.
16 π 3
俯视图

B 6π .

(第 3 题图)

4 .一个几何体的三视图是三个边长为 1 的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( C )

1 A. 6

1 B. 3

5 C. 6

D.1 A )

5.一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( A. 4 B. 8 C. 12 D. 24

6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所 示,则这个棱柱的体积为

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

( C. 27 3 D. 36 3 C )

D )

A. 12 3

B.6

7.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=(

A. 2

B.

2 2

C. 3

D.

3 2

8. 某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两 个全等等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面 积为( B ) B. 4 ? 4 5 C.
8 3

A. 4 ? 4 3

D.12 A )
a a a
侧(左)视图

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
a 2
3

B.

a 6

3

正(主)视图

C.

a3 12

D.

a3 18
俯视图

第4题图

23

10. 已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位: cm ), 可得这个几何体的体积是
4 A. cm3 3 8 B. cm3 3

2
正视图



B ) C. 2cm3 D. 4cm3

2

侧视图

2

1 1
俯视图

二、 立体几何点

线 面的位置关系
2

第 5 题图

平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定 判定推论 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

例2. 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的 中点,则以下结论中不成立的是( D A. EF与BB1垂直 C. EF与CD异面 )

B. EF 与BD垂直 D. EF与A1C1异面

例 2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( D ) A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

例 3.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( D ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β 练习: 1.设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列说法中正确的是( . A.在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B ) D. AC⊥β )

B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直

C.与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 ? 平行 D.与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直 . .
24

2.设 a, b 为两条直线, ?,? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( D A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? 3.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是(D ) . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 D )

)

B.若 a ∥? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

4.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( (A) ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

5.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 其中真命题的序号是( A.①④ D ) C.②④ D.①③ D ) ②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ④若 m // n, n ? ? ,则 m // ?

B.②③

6 .对于平面 ? 和直线 m, n ,下列命题中假命题 的个数是( ... ①若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ;②若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ③若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; A.1 个 B.2 个

④若 m // n , n // ? ,则 m // ? C.3 个 D.4 个
)

7.若 l,m,n 是互不相同的空间直线,α,β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( D
A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n C.若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m B.若 α⊥β,l?α,则 l⊥β D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β

8.知 a、b 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β
25

③若 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b④若 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b 其中正确命题的序号有________.[答案] ①④

1、线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 (2)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 (3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (4)垂直于同一平面的两直线平行。 2、线面平行的判断: (1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 例 1、 (三角形中位线定理)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,求证: AC 1 // 平面 BDE 。 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1
BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面 BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
B C B1 A
1

D1

E

C
1

A

D

O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: C1O 例 2、 (证明是平行四边形) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,

∥面 AB1D1 ;

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 1
∵ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC 又 O1 , O 分别是 AC 1 1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O 1C1 ? AO

? A1 ACC1 是平行四边形
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1 , AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D 1 1 1 1 1
∴C1O∥面 AB1D1
26

3、面面平行的判断: (1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。 例 4、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是
AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面 BDG .

证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G
EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

1 E ? E , ? 平面 D EF ∥平面 又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG EF ? D 1

BDG

4、线线垂直的判断: 若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 例 5、已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求证:EF∥平面 PAD; (2) 求证:EF⊥CD;

5、线面垂直的判断: (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 (4)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
AD ? 面 SBC . 例 6、 (线线线面相互转化)已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证:

证明:∵?ACB ? 90 ° 又 SA ? 面 ABC

? B C? A C

S

? S A? B C ? BC ? 面 SAC

? B C? A D
A

D B C

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC
27

例 7 、 ( 构造直角三角形 ) 四面体 ABCD中, AC ? BD, E, F 分别为
AD, BC的中点, 且 EF ?

D1 A1 B1

C1

2 AC , 2

?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平面 ACD

D B

C

证明: 取 CD 的中点 G , 连结 EG, FG , ∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点, A

// 1 AC ∴ EG ? 2 1 // BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? 1 AC , FG ? 2 2 1 ∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 2
∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD 例 8、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H. 求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . 又 CF ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB .

DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF.

∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE,CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE ,CD ? BE ? E ,∴ AH ? 平面 BCD. 例 9、 (三垂线定理)证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D

证明:连结 AC
∵B D ⊥ AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

6、面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。

28

例 10、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE;(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1)
A E

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?
B

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE

C

又∵ CE ? DE ? E

D

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , 练习

∴平面 CDE ? 平面 ABC

1. 如图:梯形 ABCD 和正 △ PAB 所在平面互相垂直,其中 AB // DC , AD ? CD ?
AB 中点. ( I ) 求证: BC // 平面 POD ;( II ) 求证: AC ? PD .
P

1 AB ,且 O 为 2

A D

O C

B

2.如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC

BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,

得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (Ⅰ)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; (Ⅲ)求 三 棱 锥 M ? ABD 的 体 积 .
A A O D C O D B B M C

29

3. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,
1 ∠ADC=90° ,BC= AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2

P

(Ⅰ )求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ.
Q A B M D C

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E

P

D

C

A

B

30

5. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA1 的中点. (I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .
A1 B1 C1

F E

A
D B

C

6. 正 方 形 A B C D 与 直 角 梯 形 ADEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , ?ADE ? 90 , AF // DE ,
DE ? DA ? 2 AF ? 2 .(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ;(Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体
BDEF 的体积.
E

F

D

C

A

B

7. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别 是 AP、AD 的中点求证: (1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

(第7题图)

31

1 8.如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥ 平面 ABCD,PD∥ QA,QA=AB= PD. (I)证明:PQ⊥ 2

平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值.

9. 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠ BDC=90°。 (1)证明:平面ADB⊥平面BDC; (2 )设 BD=1,求三棱锥 D—ABC的表面积。

32

例 10、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.
BDE ; (1)求证: AC (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 1 // 平面

练习参考答案 1. 证明: (I) 因为 O 为 AB 中点, 所以 BO ?
1 AB, 2 1 AB , 2

…………………1 分

又 AB / /CD, CD ?

所以有 CD ? BO, CD / / BO, 所以 ODCB 为平行四边形,所以 BC / /OD, 又 DO ? 平面 POD, BC ? 平面 POD, 所以 BC / / 平面 POD . (II)连接 OC .

…………………2 分 …………………3 分

…………………5 分
P

因为 CD ? BO ? AO, CD / / AO, 所以 ADCO 为 平行四边形, 又 AD ? CD ,所以 ADCO 为菱形, 所以 AC ? DO , 因为正三角形 PAB , O 为 AB 中点, 所以 PO ? AB , …………………8 分 平面 PAB ? AB , …………………10 分 …………………7 分
A D

…………………6 分

O C

B

又因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,平面 ABCD 所以 PO ? 平面 ABCD , 而 AC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? AC ,

33

又 PO

DO ? O ,所以 AC ? 平面 POD .

…………………12 分 …………………13 分

又 PD ? 平面 POD ,所以 AC ? PD . 2. (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD . (Ⅱ)证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM
AC ? O ,

……………2 分

……………4 分

……………6 分
B M A

…………7 分

所以 OD ? 平面 ABC , 因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ? 平面 MDO .

……………8 分

O D

C

……………9 分 ……………10 分

(Ⅲ)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(Ⅱ)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.
? ABM 的面积为

……………11 分 ……………12 分

1 1 3 9 3 , BA ? BM ? sin120 ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2

1 9 3 所求体积等于 ? S?ABM ? OD ? . 3 2
1 3. 证明: (Ⅰ)AD // BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, 2

……………13 分

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, ∵ ∠ADC=90°

∴CD // BQ .
P

∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. (Ⅱ)当 t ? 1 时,PA//平面 BMQ.
34

M

……………………6 分
Q A

D C N B

连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC //
1 DQ, 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, ∵点 M 是线段 PC 的中点,∴ MN // PA. ∵ MN ? 平面 BMQ,PA ? 平面 BMQ,∴PA // 平面 BMQ.…13 分 4. (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE
PC ? 平面 BDE
E C O A B P

所以 PC ∥平面 BDE . ……………………6 分 (Ⅱ)证明:连结 OP 因为 PB ? PD ,所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP
AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC

D

因为 BD ? 平面 BDE

所以平面 PAC ? 平面 BDE .…………13 分

5. (Ⅰ)由已知可得 AF / / B1E , AF ? B1E ,
? 四边形 AFB1E 是平行四边形, ? AE // FB1 ,
AE ? 平面 B1FC , FB1 ? 平面 B1FC ,

? AE / / 平面 B1FC ;

又 D, E 分别是 BC, BB1 的中点, ? DE // B1C ,
? ED / / 平面 B1FC ;
AE

B1C ? 平面 B1FC , ED ? 平面 B1FC ,

……………4 分 ……………5 分

DE ? E, AE ? 平面 EAD , ED ? 平面 EAD ,

? 平面 B1FC ∥平面 EAD .

……………6 分
AD ? 面 ABC ,

(Ⅱ) ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ? C1C ? 面 ABC ,又
? C1C ? AD .

……………7 分

又 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等, D 是 BC 边中点,
35

? ?ABC 是正三角形,? BC ? AD ,

……………8 分

而 C1C

BC ? C , CC1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,
……………9 分 ……………10 分 ……………11 分 ……………12 分

? AD ? 面 BCC1B1 ,

故 AD ? BC1 . 四边形 BCC1B1 是菱形,? BC1 ? B1C , 而 DE // B1C ,故 DE ? BC1 , 由 AD ? DE ? D ,AD ? 面 EAD , ED ? 面 EAD , 得

BC1 ? 面 EAD .

……………13 分

6. (Ⅰ)证明:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , ?ADE ? 90 , 所以 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,所以 AC ? 平面 BDE . (Ⅱ)证明:设 AC …………………4 分 …………………2 分 …………………3 分

BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,

// 1 DE . 所以, OG ? 2

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分 ……………………9 分

// OG , 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ?

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF .

(Ⅲ)解:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF . ……………………11 分

因为 AF // DE , ?ADE ? 90 , DE ? DA ? 2 AF ? 2 ,
1 所以 ?DEF 的面积为 ? ED ? AD ? 2 , 2 1 4 所以四面体 BDEF 的体积 ? S ?DEF ? AB ? . 3 3

……………………12 分 ……………………13 分

7. 答案: (1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,
? EF PD, 又

PD ? 面PCD, EF ? 面PCD
36

? 直线 EF//平面 PCD

(2)连接 BD AB=AD,?BAD=60 , ?ABD 为正三角形 F 是 AD 的中点,? BF ? AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 面PAD ? 面ABCD=AD, ? BF ? 面PAD, BF ? 面BEF 所以,平面 BEF⊥平面 PAD. 8. 解: (I)由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 所以 PQ⊥平面 DCQ. (II)设 AB=a.
1 由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高,所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1 ? a 3 . 3

2 PD,则 PQ⊥QD 2

………………6 分

由(I)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高,而 PQ= 2a ,△DCQ 的面积为
1 所以棱锥 P—DCQ 的体积为 V2 ? a 3 . 3

2 2 a , 2

故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1.…………12 分 9. 1)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC,又∵AD ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA ? DB , DB ? DC , DC ? DA , DB=DA=DC=1,? AB=BC=CA= 2 ,
S ?S ?S ? 1 1 ? 1? 1 ? , S 2 2

平面 BDC.

DAM

DBC

DCA

ABC

1 3 ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2

1 3 3? 3 ∴三棱锥 D—ABC的表面积是 S ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 .

37

10、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.
BDE ; (1)求证: AC (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 1 // 平面

证明: (1)设 AC ? BD ? O ,
EO ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥
BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1

(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC , AC ? AA1 ? A ,? BD ? 平面 A1 AC , BD ? 平面 BDE ,? 平面 BDE ? 平面 A1 AC

三、线线、线面和面面的成角问题 1、 两异面直线及所成的角: 不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线 a,b,经过空 间任一点 O 作直线 a ? ∥ a , b ? ∥ b ,我们把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条直线互相垂直. 2、直线和平面所成的角:一条直线 PA 和一个平面α 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫 做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点 A 叫做斜足。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。 平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直 线垂直于平面,我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它 们所成的角是 0 . 3、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α 和β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多 少度。 常见角的取值范围:
38
0

? ?? ① 异面直线所成的角 ? 0, ? ? 2?

? ?? 直线与平面所成的角 ?0, ? ? 2?

二面角的取值范围依次 ?0,? ?

? ?? ② 直线的倾斜角 ?0,? ? 、 到 的角 ?0,? ? 、 与 的夹角的取值范围依次是 ?0, ? ? 2?

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是



点到平面距离:求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面 内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G= ? (0≤ ? ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A. 3 B.
2 2

D ) D.
5 5

C.

2? 3

例 2、 已知 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,AB ? 2 ,PA ? AD ? 4 ,

E 为 BC 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角. 证明:在 ?ADE 中, AD2 ? AE 2 ? DE 2 ,? AE ? DE ∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 300 练习: 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (3) 求证:EFGH 是平行四边形
B G C E H D

A

(4) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。F 证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ?
1 BD 2

39

同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 °

1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

2、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形, 已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ )设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ )求四棱锥 P ? ABCD 的体积. (Ⅰ )证明:在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD2 ? BD2 ? AB 2 . 故 AD ? BD .

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,
BD ? 平面 ABCD ,
P

所以 BD ? 平面 PAD ,

又 BD ? 平面 MBD ,
M D A O B C

故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ )解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD .

因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ?
3 ?4 ? 2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ?
2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

4?8 8 5 , ? 5 4 5

1 故 VP ? ABCD ? ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

3 、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 600 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是 等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ;
40

(3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,
PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB

(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC
? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角

在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 450 4.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?
OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点。

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 .方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE
ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD

又 NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD

(2) CD‖ AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
O

∴CD ? MP 作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D ,
2 ∵ ?ADP ? ,∴ DP = 4 2
∴c o s ?MDP ?

?

M

MD ? MA ? AD ? 2 ,
2 2

E Q A P B N C D

DP 1 ? ? ? , MDC ? ?MDP ? MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3

∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作 (3)∵ AB‖ 平面OCD,
AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
41

又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2

高考训练: 1,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB;(2)证明 PB⊥平面 EFD; 【证明】 (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO, 又 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB,

所以,PA∥平面 EDB. (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ∴PD⊥DC, ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形, 而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同理由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 由 DE 平面 PDC,∴BC⊥DE.② 底面 ABCD,

由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB 平面 PBC,∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB,EF∩DE=E,∴PB⊥平面 EFD.

2, (2013·潮州模拟)如图 1,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE,AC∩BD=G. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD;
42

(3)求三棱锥 C—BGF 的体积. 【思路点拨】 (1)由线面垂直可得线线垂直,进而可证线面垂直;

(2)将证线面平行转化为证线线平行,而线线平行可由三角形的中位线得到; (3)利用等积法求三棱锥 C—BGF 的体积. 【规范解答】 (1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC.

又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF.∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE. (2)依题意可知:G 是 AC 中点. ∵BF⊥平面 ACE,则 CE⊥BF,而 BC=BE.∴F 是 EC 中点. 在△AEC 中,FG∥AE,又 FG 平面 BFD.∴AE∥平面 BFD.

(3)∵AE∥FG,而 AE⊥平面 BCE.∴FG⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF. 1 ∵FG 是△AEC 的中位线,∴FG= AE=1. 2 1 ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥CE.∴Rt△BCE 中,BF=CF= CE= 2, 2 1 1 1 ∴S△CFB= · 2· 2=1,∴VC—BFG=VG—BCF= ·S△CFB·FG= . 2 3 3 3、 (2013·广州质检)如图 4,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1)求证:平面 AEC⊥平面 ABE; (2)点 F 在 BE 上.若 DE∥平面 ACF,求 BF 的值. BE

【证明】 (1)因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC. 因为平面 ABCD⊥平面 BCE, 平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB 所以 AB⊥平面 BCE. 因为 CE 平面 BCE,所以 CE⊥AB. 平面 ABE,BE 平面 ABE,AB∩BE=B, 平面 ABCD,

因为 CE⊥BE,AB 所以 CE⊥平面 ABE. 因为 CE

平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 ABE.

(2)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OF. 因为 DE∥平面 ACF,DE 平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDE=OF,所以 DE∥OF. BF 1 = . BE 2

又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点,所以 F 为 BE 中点,即

43

4、(2013·佛山质检)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=1,AD= 3,AB⊥BC,CD⊥BD,如图 6(1).把△ABD 沿 BD 翻折,使得平面 A′BD⊥平面 BCD,如图(2).

图6 (1)求证:CD⊥A′B; (2)求三棱锥 A′—BDC 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 A′N⊥BD?若存在,请求出 明理由. 【证明】 (1)∵平面 A′BD⊥平面 BCD,平面 A′BD∩平面 BCD=BD,CD⊥BD, ∴CD⊥平面 A′BD,又∵A′B 平面 A′BD,∴CD⊥A′B. BN 的值;若不存在,请说 BC

(2)如图(1),在 Rt△ABD 中,BD= AB2+AD2=2.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=30°. 在 Rt△BDC 中,DC=BDtan 30°= 2 3 1 2 3 .∴S△BDC= BD·DC= . 3 2 3

如图(2),在 Rt△A′BD 中,过点 A′作 A′E⊥BD 于 E, ∴A′E⊥平面 BCD. ∵A′E= A′B·A′D 3 1 1 2 3 3 1 = ,∴VA′—BDC= ·S△BDC·A′E= · · = . BD 2 3 3 3 2 3

(3)在线段 BC 上存在点 N,使得 A′N⊥BD,理由如下: 1 BE 1 如图(2),在 Rt△A′EB 中,BE= A′B2-A′E2= ,∴ = . 2 BD 4 过点 E 作 EN∥DC 交 BC 于点 N,则 BN BE 1 = = ,∵CD⊥BD,∴EN⊥BD. BC BD 4

又 A′E⊥BD,A′E∩EN=E,∴BD⊥平面 A′EN, 又 A′N 平面 A′EN,∴A′N⊥BD. BN 1 = . BC 4
? , 4

∴在线段 BC 上存在点 N,使得 A′N⊥BD,此时

5、 ( 2013 深圳一模) 如图甲, ⊙O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧,使 ?CAB ?

44

?DAB ?

? .沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) , F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中 3

点.根据图乙解答下列各题: (1)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ; (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

C F B G
(第 18 题图乙)

·

A

·

O

B A D

·

E

O

D
(第 18 题图甲)

解:(1)

C 为圆周上一点,且 AB 为直径,??C ? 90?

?CAB ?

?
4

, ? AC ? BC ,

∵ O 为 AB 中点,? CO ? AB ,

AB ? 2,?CO ? 1 .
∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ∴ CO ? 平面 ABD ,? CO ? 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt ?ABD 中, S?BOD ?

1 1 1 3 , S?ABD ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 4

1 1 3 3 ?VC ? BOD ? S?BOD ? CO ? ? ?1 ? . ………………………………………4 分 3 3 4 12
(2)在 ?AOD 中,

?OAD ? 60?, OA ? OD,

? ?AOD 为正三角形,


E 为 OA 的中点,? DE ? AO ,

∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ,

? DE ? 平面 ABC .
∴ CB ? DE . ………………………………………9 分
45

(3)存在, G 为 BD 的中点.证明如下: 连接 OG, OF , FG , ∴ OG ? BD , ∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴ AD ? BD ∴ OG // AD ,

OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD ,
∴ OG // 平面 ACD . 在 ?ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点,

? OF // AC , OF ? 平面 ACD ,? OF // 平面 ACD ,

OG OF ? O,
∴平面 OFG // 平面 ACD , 又 FG ? 平面 OFG ,? FG // 平面 ACD .………………………………………14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.

46


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