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抽象函数定义域的求法例题


抽象函数的定义域
1、已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知, 要构成复合函数, 则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中, 因此可得其方法为:若 f ( x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为

/>f [ g ( x)] 的定义域。
2、已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。 3、已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义域求得 f ?x ? 的 定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x ?] 的定义域。 4、已知 f ( x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出 各个函数的定义域,再求交集。 例 1、已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15 , ? ,求 f (3x ? 5) 的定义域. 解:

4 10 f ( x) 的定义域为 ??15 , ? ,??1≤ 3x ? 5 ≤ 5 ,? 3 ≤ x ≤ 3 .

故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 ? , ? . 3 3 练习:若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为 2 解:依题意知: ∴

? 4 10 ? ? ?

?1 ? ? ?



1 ? log 2 x ? 2 解之,得: 2 ? x ? 4 2

f (log2 x) 的定义域为 x | 2 ? x ? 4

?

?

2 例 2、已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域.

分析:若 f ? g ( x)? 的定义域为 m ≤ x ≤ n ,则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为 f ( x ) 的定义 域.这种情况下, f ( x ) 的定义域即为复合函数 f ? g ( x)? 的内函数的值域。本题中令 u ? x ? 2 x ? 2 ,
2

则 f ( x ? 2x ? 2) ? f (u) ,
2

由于 f (u ) 与 f ( x ) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x ) 的定义域.

5 .令 u ? x ? 2 x ? 2 ,则 f (x 2 ?2x ?2) ? f (u) 解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1≤ x ?2 x ?2 ≤
2 2

,1 ≤ u ≤ 5 .故

1

f ( x) 的定义域为 ?1 , 5? .
练习: 已知函数 解:由 例 3. 函数 ,得 定义域是 的定义域为 所以 ,则 ,则 ,故填 的定义域是( ) 的定义域为________。

A. 解:先求

B. 的定义域

C.

D. 的定义域是 ,



的定义域是

,再求

的定义域

的定义域是
x

,故应选 A

练习:已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域.

1 x x 解 ∵y=f(2 )的定义域是[-1,1] ,即-1≤x≤1,∴ 2 ≤2 ≤2. 1 ∴函数 y=f(log2x)中 2 ≤log2x≤2.即 log2 2 ≤log2x≤log24,∴ 2 ≤x≤4.
故函数 f(log2x)的定义域为[ 2 ,4] 例4 若 f ( x ) 的定义域为 ? ?3 , 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.

解:由 f ( x ) 的定义域为 ? ?3 , 5? ,则 ? ( x) 必有 ? 所以函数 ? ( x) 的定义域为 ? ?4, 0? .

??3 ≤ ? x ≤ 5, 解得 ?4 ≤ x ≤ 0 . ??3 ≤ 2 x ? 5 ≤ 5,

练习:已知函数

的定义域是

,求

的定义域。

分析:分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域,再取交集。 解: 由已知,有

,即

函数的定义域由



2

函数 例 5 若函数 f(x+1)的定义域为[-

的定义域是

1 2 ,2],求 f(x )的定义域. 2 1 1 1 解:先求 f(x)的定义域:由题意知- ≤x≤2,则 <x+1<3,即 f(x)的定义域为[ ,3], 2 2 2
再求 f[h(x)] 的定义域: ∴

1 2 2 2 <x <3,解得- 3 <x<- 或 <x< 3 . 2 2 2
2

∴f(x )的定义域是{x|- 3 <x<-

2 2 或 <x< 3 }. 2 2

例 6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、 2 y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm . 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 分析:应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还需考虑实际上的有 效范围。实际上的有效范围,即实际问题要有意义,一般来说有以下几中 常见情况: (1)面积问题中,要考虑部分的面积小于整体的面积; (2)销售问题中,要考虑日期只能是自然数,价格不能小于 0 也不能大于 题设中规定的值(有的题没有规定) ; (3)生产问题中,要考虑日期、月份、年份等只能是自然数,增长率要满 足题设; (4)路程问题中,要考虑路程的范围。本题中总面积为

S 三角形 ? S 矩形 ? xy ?
是0 ? x ? 4 2。

1 2 1 x ? 8 ,由于 xy ? 0 ,于是 x 2 ? 8 ,即 x ? 4 2 。又 x ? 0 ,∴ x 的取值范围 4 4

x2 8? 1 2 4 = 8 ? x (0<x<4 2 ). 解:由题意得 xy+ x =8,∴y= x 4 x 4
于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

3 16 2 x )=( + 2 )x+ ≥4 6 ? 4 2 . 2 x 2

当(

3 16 + 2 )x= ,即 x=8-4 2 时等号成立. 2 x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省. 变式训练: 13.(2007·北京理,19)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆
3

上.记 CD=2x,梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x (2)求面积 S 的最大值. 解(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O-xy(如图) , 则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标 y 满足方程

x2 y2 ? ? 1(y≥0), r 2 4r 2
解得 y=2 r 2 ? x 2 (0<x<r).S=

1 (2x+2r)·2 r 2 ? x 2 2

=2(x+r)· r 2 ? x 2 ,其定义域为{x|0<x<r}. (2)记 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,则 f′(x)=8(x+r) (r-2x).
2 2 2 2

1 r r.因为当 0<x< 时,f′(x)>0; 2 2 r 1 当 <x<r 时,f′(x)<0,所以 f( r)是 f(x)的最大值. 2 2
令 f′(x)=0,得 x= 因此,当 x=

1 r 时,S 也取得最大值,最大值为 2

1 3 3 2 f ( r) ? r . 2 2

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 2 r . 2

巩固训练(各专题题目数量尽量一致,各题均附答案及解析) 1. 设函数 (2)函数 2、已知函数 3、已知函数 的定义域为 ,则(1)函数 _______。 ,则 的定义域为___ _____。 的定义域为__ ______。

的定义域为___ 的定义域为 的定义域为

,则 y=f(3x-5)的定义域为__5/3≤x≤2.

4、设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] ,q 求 y=f( x ? ) ? f ( x ? ) 定义域。 分析:做法与例题 4 相同。 解 :由条件,y 的定义域是 f ( x ? ) 与 ( x ? ) 定义域的交集.

1 3

1 3

1 3

1 3

1 2 ? ? 1 0 ? x ? ? 1 ?? ? x ? ? 1 2 ? ? 3 3 3 ?? ? ?x? , 列出不等式组 ? 3 3 ?0 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? x ? 4 ? ? 3 3 ? ?3
故 y=f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域为 ? , ? . 3 3 3 3
4

1

1

?1 2 ? ? ?


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