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数学:1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件(新人教A版选修2-3)


第一章

计数原理

高考资源网数学学科编辑部制作

10 汽车牌照一般从 26 个英文字母、 个阿拉伯 数字中选出若干个 , 并按照 适当顺序排列而 成,随着人们生活水平的提 高 ,家庭 汽车拥有 量迅速增长 ,汽车牌子号码需要扩容 .另外, 许 多车主还希望自己的牌 照" 个性化 ".那么,交通 管理部门应如何确定汽 车牌照号码的组成方 法,才能满足民众的需求呢 ? 这就要 " 数出" 某 种汽车牌照号码组成方 案下所有可能的号码 数, 这就是计算 . 日常生活、生产中类似 的计数 问题大量存在 .例如幼儿会通过一个一 个地数

数的方法 计算自己拥有玩具的数 ;学校要 , 量 举行班际篮球比赛在确定赛制后体育组老 , , 师要算一算 共需要举行多少场比赛用红、 ;

黄、绿三面旗帜组成航 海信号, 颜色的不同 排列表示不同的信号共可以组成多少种不 , 同的信号? ? ? ? ? ? 虽然用列举所有各种可 能性的方法即一个 , 一个去数 , 可以求出相应的数, 但当这个数 很大时 ,列举的方法很 难实施 .本章所关心 的是如何能不通过一个 一个地 数而确定出 这个数.

在小学我们学了加法和 乘法 , 这是将若干个 " 小的" 数结合成" 较大" 数的最基本 技巧 .这种 技巧经过推广就成了本章将要学习的分 类加 法计数原理和分步乘法 计数原理 .这是解决计 数问题的两个最基本、 最重要的方法.应用这 两个计数原理 我们可以得到两类特殊 , 计数问 题的计算公式即排列数公式和组合数 , 公式, 应 用它们就可以方便地解 决一些计数问题.作为 计数 原理与计数公式的一个 应用, 本章我们还 学习在数学上有广泛应 用的二项式定理 .

1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理

思考 用一个大写的英文字母 或一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号 ,总共能编出多少种不同 的号 码? 因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 ? 10 ? 36种不同的号码. 26

探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 最重要的特征是 " 或" 字的出现 : 每个座位 , 可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号.由于英文 字母、阿拉伯数字各不相同,因此用英文字母编出的号 码与用阿拉伯数字编出的号码也是各不相同的 .

你能举一些生活中类似 的例子吗?

一般地,有如下原理 :

分类加法计数原理 完成一件事有两 类不同方案 在第 1 类方案中有m 种不 , 同方法 , 在第 2 类方案中有n 种不同方 法 .那么完成 这件事共有 N ? m ? n 种 不同方法.

两类中的方法互不相同 .

例1 在填写高考志愿表时一名高中毕业生 , 了解到 A,B两所大学各有自己感兴 , 趣的强项 专业, 具体情况如下:
A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学

B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

那么 这名同学可能的专业选 , 择共有多少种 ?

分析 由于这名同学在 ,B两所大学中只 A 能选择一所而且只能选择一个专业又由 , , 于两所大学没有共同的 项专业 ,因此符 强 合分类加法计数原理的 条件.
解 这名同学可以选择A,B两所大学中的 一所.在 A 大学有5 种专业选择方法, 在B大 学中有4 种专业选择方法.又由于没有一个 强 项专业 是两所大学共有的 ,因此根据分 类加法计数 原理 , 这名同学可能的专业选 择共有 5 ? 4 ? 9?种?.

探究 如果完 成一件事有三类不同方 , 案 在第1类方法中有m1种不同的方法在第2 , 种方案中有m2 种不同的方法在第3 类方 , 案中有m3 种不同方法那么完成这件事共 . 有多少种不同的方法 ?

思考 用前6个大写英文字母和 ~ 9九个 1 阿拉伯数字,以 A 1, A 2 ,? ? ?,B1,B2 ,? ? ?的方式给 教室里的座位编号总共能编出多少个不 , 同的号码?

这个问题与前一个问题 不同.在前一 个问题中用26个英文字母中的任何 , 一个或10 个阿拉伯数字中的任何 一 个, 都可以给出一个座位号 .而在这 码 个问题中 号码必须由一个英文字 , 母 和一个作为下标的阿拉 伯数 字组成, 得到一个号码必须经过先确定一个 英文字母, 后确定一个阿拉伯数字 这 两个步骤.用图 .1 ? 1的方法可以列出 1 所有可能的号码 .
图1.1 ? 1是解决计数间题常用的树形 " 图".请你用树形图列出所有 可能号码 .

字 母

A

数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9

我们还可以这样来思考 : 由于前6个英文字母的任意一个都能与9 个数 字中的任何一个组成一个号码, 而且它们各不 相同,因此共有6 ? 9 ? 54 个不同的号码.

探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中最重要的特征是 和" 字的出现 : , " 每个座位由一个英文字 母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的 数字组成的 号码是各不相同的 .

一般地, 有如下原理 : 分步乘法计数原理 完 成一 件事需 要两个步骤, 做第1步有m种不同方法, 做第2步有n种不同方法, 那么完成这 件事共有 N ? m ? n 种不同的方法.

无论第 步采用哪种方法都不影响第 1 , 2步方法的选取 .

例 2 设某班有男生30名, 女生24 名.现要从中 选出男、女生各一名代 表班级参加比赛共有 , 多少种不同的选法 ?

分析 选出一组参赛代表可分两个步骤第 , . 1步选男生 第2步选女生 , . 解 第1步, 从30名男生中选出1人,有30种不同 选法;

第2步, 从24名女生中选出1人,有24种不同选择; 根据分步乘法计数原理,共有30 ? 24 ? 720 种不同的选取法.

探究 如果完成一件事需要三 个步骤, 做第1步有m1种不同的方法做第2步有 , m2种不同的方法做第3步有m3种不同 , 的方法,那么完成这件事共的多 少种不 同的方法?

如果完成一件事需要 个步骤 , 做每步 n 中都有若干种不同方法 ,那么应当如何 计数呢?

例 3 书架的第 层放有4本不同的计算机书 1 , 第2层放有3本不同的文艺书第3 层放有2 本 , 不同的体育书 . ?1?从书架中任取1本书, 有多少种不同取法? ?2?从书架的第,2,3层各取1本书, 有多少种不 1 同取法? 解 ?1? 从书架上任取一本书, 有 3 类方法 : 第 1类方法是从第1层取1本计算机书, 有 4 种方法; 第2类方法是从第2层取1本文艺书 有3种方法; ,
第3类方法是从第3层取1本体育书 有2种方法. , 根据分类加法计数原理 不同取法的种数是 , N ? m1 ? m2 ? m3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 9.

?2?从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成
3个步骤完成 :
第1步从第1层取1本计算机书 有 4 种方法; , 第2步从第2层取1本文艺书 有3种方法; , 第3步从第3层取1本体育书 有2种方法. ,
根据分步乘法计数原理 不同取法的种数是 , N ? m1 ? m2 ? m3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24.

例 4 要 从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出 2 幅分别挂在左、右两边 墙的指定位置问共 , 有多少种不同的挂法 ? 解 从 3 幅画中选取 2 幅分别挂在左、右两 边墙上,可以分两步完成 :

第 1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种 方法; 第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙 上,有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理 不同挂法种数是 , N ? 3 ? 2 ? 6.

6种挂法可以表示如下 :

左边


右边 乙

得到的挂法 左甲右乙 左甲右丙 左乙右甲






丙 丙


左乙右丙
左丙右甲



左丙右乙

分类加法计数原理和分 步乘法计数原理 , 回答的都是 有关做一件事的不同方 法的 种数问题 .区别在于: 分类加法计数 原理 针对是 " 分类"问题, 其中各种方法相互独 立, 用其中任何一种方法都 可以做完这件 事; 分步乘法计数原理针对 的是 " 分步"问 题, 各个步骤中的方法互相 依存, 只有各个 步骤都完成才算做完这 件事.

例5 给程序模块命名需要用 个字符, 其中首字符 , 3 要求用字母A ~ G或U ~ Z, 后两个要求用数字 ~ 9. 1 问最多可以给多少个程 序命名? 分析 要给一个程序模块命名 ,可以分三个步骤: 第1 步, 选首字符 第2步,选中间字符第 3 步选最后一个字 ; ; 符.而首字符又可以分为两 . 类 解 先计算首字符的选法.由分类加法计数原理, 首字符共有7 ? 6 ? 13 种选法. 再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原 理, 最多可以有13 ? 9 ? 9 ? 1053 个不同的名称, 即最多可以给1053个程序命名 .

你还能给出不同的解法 ? 吗

例 6 核糖核酸?RNA ?分子是在生物细胞中发 现 的化学成分一个RNA 分子是一个有着数百个 . 甚 至数千个位置的长链长链中每一个位置上都 , 由 一种称为碱基的化学成 分所占据 .总共有 4 种不 同的碱基, 分别用 A, C, G,U表示.在一个RNA 分子 中, 各种碱基能够以任意次 序出现, 所以在任意一 个位置上的碱基与其他 位置上的碱基无关假设 . 有一类RNA 分子由100 个碱基组成 那么能有多 , 少种不同的RNA 分子 ?
C A U C A U G A G U A

分析 用下面的图来表示由 100 个碱基组成的长链 , 这时我们有 个位置, 每个位置都可以从 , C, G,U中 100 A 任选一个来占据 .
4 ? 1.6 ? 10 60 , 这是一个 非常大的 数.有兴趣 的同学可 以自己查 阅一下R ? NA 的有关 资料.
100

第1位

第2位

第3位

??????

第100位

4种

4种

4种

4种

解 100个碱基组成的长链共有 个位置, 100 如上图所示.从左到右依次在每个位置中, 从 A, C, G,U中任选一个填入, 每个位置有4种填 根据分步乘法计数原理 长度为 , 充方法. 100的所有可能的不同RNA分子数目有
4 ? 4 ? ? ? ? ? 4 ? 4100 ?个?.
100个4

例 7 电子元件很 容 易实现电路的通与断、电位 的高与低等两种状态 ,而这也是最容易控制的 两种 状态.因此计算机内部就采用 了每一位只有 或 1两 0 种数字的记数法即二进制为了使计算机能够识别 , . 字符,需要对字符进行编码每个字符可以用一个或 , 多个字节来表示, 其中字节是计算机中数 据存储的 最小计量单位 每个字节由 个二进制位构成 : , 8 .问 ?1?一个字节?8位 ?最多可以表示多少个不 同的字符? ?2?计算机汉字国标码GB码?包含了6763个汉字,一 ? 个汉字为一个字符要对这些汉字进行编码每个汉 , , 字至少要用多少个字节 表示 ?

分析 由于每个字节有 个二进制位 每一位上的 8 , 值都有 0,1两种选择,而且不同的顺序代表不 同的 字符,因此可以用分步乘法计 数原理求解本题 . 解 用图1.1 ? 3来表示一个字节
第1位 第2位 第3位

??????

第8位

2种

2种

2种

2种

图1.1 ? 3

一个字节有8 位, 每位上有2种选择.根据分步乘 法计数原理, 一个字节最多可以表示 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 256 个不同的字符;
8

?2?由 ?1?知 ,用一个字节所能表示的不同
字符不够6763个, 我们就考虑用2 个字节 能够表示多少个字符.前一个字节有256 种不同的表示方法, 后一个字节也有256 种表示方法.

根据分步乘法计数原理,2个字节可以表 示 256 ? 256 ? 65 536 个不同字符, 这已 经大于汉字国标码包含的汉字个数6763 . 所以要表示这些汉字, 每个汉字至少要用 2个字节表示.

例 8 计算机编程人员在编写 好程序以后需 要对程序进行测试.程序员需要知道到底有 多少条执行路 径 (即程序从开始到结束的 路 线),以便知道需要提供多少 个测试数据一般 . 的, 一个程序模块由许多子 模块组成 如图 .1 . 1 ? 4,它是一个具有许多执行 路径的程序模块 . 问 : 这个程序模块有多少条 执行路径 ? 另外,为了减少测试时间 , 程序员需要设法减 少测试次数你能帮助程 序员设计一个测试方 法,以减少测试次数吗 ?

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径
?A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

分析 整个模块的任意一条执 行路径都分两步完 成 : 第1步是从开始执行到 点;第2 步是从 A 点执行 A 1 1 到结束. 而第 步可由子模块 或子模块2或子模块3来

完成 第2步可由子模块 或子模块5来完成因此, 分析 ; 4 .
一条指令在整个模块的 执行路径需要用到两个 计数 原理.

解 由分类加法计数原理 子模块1或子模块2或 , 子模块3的子路径共有18 ? 45 ? 28 ? 91(条);
又由分步乘法计数原理, 整个模块的执行路径共 有 91? 81 ? 7371(条).

子模块4或子模块5的子路径共有 38 ? 43 ? 81(条);

在实际测试中 程序员总是把每一个子模块看成一个 , 黑箱, 即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式 来测试整个模块.这样,它可以先分别单独测试 5 个模 块,以考察每个子模块的工作是否一正常.总共需要测 试次数为 18 ? 45 ? 28 ? 38 ? 43 ? 172 . 再测试各个模块之间的信息交流是否正常 只需要测 , 试程序第1步中的各个子模块和第2 步中的各子模块 之间的信息交流是否正常,需要测试次数为2 ? 3 ? 6. 如果每个子模块都正常工作, 并且各子模块之间的信 息交流也正常 那么整个程序模块就工作正常.这样, 测 , 试整个模块的次数就变为 172 ? 6 ? 178 ?次?.

显然,178与7371 的差距是非常大的 . 你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗?

例9 随 着人们生活水平的提 ,某城市家 高 庭汽车拥有量迅速增长汽车牌照号码需要 , 扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组 成办法, 每一个汽车牌照都必须 3 个不重 有 复的英文字母和3 个不重复的阿拉伯数字, 并且3个字母必须合成一组出 ,3个数字也 现 必须合成一组出现那么这种办法共能给多 . 少辆汽车上牌照 ?

分析 按照新规定 牌照可以分为 类,即字 , 2 母组合在左和字母组合 在右.确定一个牌照 的字母和数字可以分 个步骤. 6

解 将汽车牌照分为2类, 一类字母组合在左,另一 类的字母组合在右 . 字母组合在左时,分6个步骤确定一个汽车牌照的 字母和数字 : 第1步, 从26个字母中选1个, 放在首位,有26种选法; 第 2 步, 从剩下的25个字母中选1 个, 放在第2位, 有 25种选法; 第3步, 从剩下的24个字母中选 1 个, 放在第3位, 有 24种选法;

第4步, 从10个数字中选 个, 放在第4位,有10种选法; 1

第5步, 从剩下的9个数字中选1个, 放在第5位,有9 种选法; 第6步, 从剩下的8 个数字中选1个, 放在第6位, 有8 种选法. 根据分步乘法计数原理, 字母组合在左的牌照共 有26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 11 232 000 ?个?. 同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个. 所以,共能给11232000 ? 11232000 ? 22464000 辆汽车上牌照.
思考 你能归纳一下用分类加 法计数原理、分步乘 法计数原理解决计数问 题的方法吗?

用两个计数 原理解决计 数问题时 最 , 重要的是在 开始计算 之 前要进 行仔 细分析 需 要分类还是 需要分步 .

分类要做到 "不重不漏 分类后再分别 ". 对每一类进行计数最后用分类加法计 , 数原理求和 得到总数. , 分步要做到 "步骤完整". 完成了所有 步骤 , 恰好完成任务当然步与步之间要 , 相互独 立 .分步后再计算每一步的 方法 数, 最后根据分步乘法计数 原理, 把完成 每一步方法数相乘得到总数. ,

思考 乘法运算是特定条件下 加法运算的简化分步 , 乘法计数原理和分类加 法计数原理也有这种类 似的 关系吗?

作业:P12习题1.1A组


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