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一道2011年全国高中数学联赛试题的简解的再思考


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中学数学研究                 2 0 1 3年第 1 0期( 上)

一道 2 0 1 1年全国高中数学联赛试题的简解的再思考
广东省珠海市实验中学高中部  ( 5 1 9 0 9 0 )   王恒亮   李一淳
  2 0 1 1年全国高中数学联赛一试 B卷第 9题为:
2 2 已知

实数 x , y , z 满足 x , x+y+z=1 , x +y + ?y ?z 2 z =3求实数 x 的取值范围. 2 g ( r ) =r +槡 3 r -2 r +3 ” , 从而通过求 g ( r )的最值来得出

x 的范围, 这种转化思想对高中生来讲是至关重要的, 这也 正是我们平时学习数学所需要积累的.
2 2 事实上, 对于条件为“ a+b +… =m , a +b +… =n ” ,

文[ 1 ]采用代数方法, 但是过程复杂. 文[ 2 ]利用数形 结合给出了一种简洁解法, 最近笔者对该问题作了进一步探 究, 得出了比文[ 2 ]中解法更为简单的解法, 现与大家共享.
2 2 2 2 解: 记f ( x , y , z , r ) =( x -r ) +( y -r ) +( z -r ) =x 2 2 2 2 2 +y +z -2 r ( x+y+z )+3 r =3 r -2 r +3 , 故( x-r ) ? 2 2 3 r -2 r +3 , 故x +槡 3 r -2 r +3恒成立. ?r 2 记 g ( r ) = r+ 槡 3 r -2 r +3 ,则 g ′ ( r ) =1+ 3 r -1 1 , 令g ′ ( r ) =0 , 则 r=- . 2 3 3 r -2 r +3

求其中某个变量的范围这类问题, 上述方法仍然适用, 下面 通过一道美国数学竞赛试题作以说明. 题目( 第2 4届美国中学生数学竞赛)
2 2 2 2 设a , b , c , d , a+b+c +d+e=8 , a +b +c +d ∈R 2 +e =1 6 , 求e m a x 2 2 2 2 解析: 记 h=( a-r ) +( b-r ) +( c -r ) +( d-r ) 2 2 2 2 2 2 +( e -r ) =a +b +c +d +e -2 r ( a+b+c +d+e ) 2 +5 r -1 6 r +1 6 . 2 故e +槡 5 r -1 6 r +1 6恒成立. ?r 2 记h ( r ) = r+ 槡 5 r -1 6 r +1 6 , 不难求得 h ( r ) m i n =



不难判断在( -∞, - 1 / 3 ) 上g ′ ( r )<0 , 即g ( r ) 在区间 ( -∞,-1 / 3 )单调递减, 同理可得在( -1 / 3 , +∞) 上g ′ ( r )>0 , 即g ( r ) 在区间 -∞,-1 / 3 )单调递增, 故g ( r ) / 3. ( m i n =5 故x 5 / 3 . 注意到 x +y +z= 1 , x , 故1 x , ? ?y ?z ?3 / 3. 即x ?1
2 2 2 2 2 而x +y +z =3 , x , 故3 x , 故x .综 ?y ?z ?3 ?1

1 6 / 5 , 故e 6 / 5 . ?1
参考文献 [ 1 ]2 0 1 1年全国高中数 学联 赛 试 题及 参 考答 案. 数 学通 讯 官 方网 h t t p : / / w w w . s h u x u e t o n g x u n . c o m/ 站: [ 2 ]边 欣. 一 道 2 0 1 1年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 的 简 解 [ J ] , 2 0 1 2 ( 2 ) .

上可得 1? x / 3. ?5 注: 上述解法的关键是将所求 x 的范围转化为找到“ x ?    经过如此改动, 试题难度和思维量都略有增加, 此时要 求学生在考虑问题时, 思维更严密, 更全面, 用此题作为竞赛 一试的最后一题显得比较合适.

y ) ( x )+( y ) ( x ) =0 即可. 因 M、 明( A -y B X -x Y X -y Y A -x B A 、 B不共线, 故k , 则( y ) ( x )+( y ) ( x ≠0 A -y B X -x Y X -y Y A -x ) =0 B x 2 x ) ( x )+( x 2 x ) ( x ) ?( A +x B- 0 X -x Y X +x Y- 0 A -x B =0 x x ( x ) ?x A X -x B Y =x 0 A +x X -x B -x Y -y =-k x ?t 0 0 故必要性得证. 充分性: 若k , 则直线 B A 、 直线 X Y都和 x 轴 B A =k X Y =0 X和直线 B Y关于 y 轴对称, 故结论成立. 若直 平行, 即直线 A 线B A 不和 x 轴平行, 则直线 X Y 和直线 A B必定相交, 可设交 由必要性的证明可知, 充分性得证. 点为 K点. 抛物线的情况证明方法完全类似, 故在此不再论述. 由 此可知, 定理 2结果成立. 定理 2的另外一个表述是: 若完全四边形 A B C D顶点都 在某条圆锥曲线上, 则下列三个式子等价: ( 1 ) k , B A +k C D =0 ( 2 ) k , ( 3 ) k ; 即顶点在某条圆锥曲线 D A +k C B =0 C A +k B D =0 上的完全四边形 A B C D , 对边的斜率互为相反数的充要条件 是对角线的斜率互为相反数. 当A B C D四个点中, 有相邻的两个点重合的时候, 则定理 2退化为定理 1 . 对于满足定理 2条件的四边形, 是否还有其 他有趣的性质, 各位读者可以自己探讨.

4 . 拓展.
若定理 1 中的曲线 C为椭圆, 并且将 M点移到椭圆外或 者椭圆内, 那么会有什么结果? 由于圆锥曲线的对称性, 故曲 线C 在N 、 M处的切线斜率和为 0 , 故经过探究, 将定理 1 推广 为如下结果: 定理 2 : M不是圆锥曲线 C上的一点, 过 M作不同的直线 MA和 MB , 分别交圆锥曲线 C于 A 、 X和 B 、 Y , 且A 、 X 、 B 、 Y四 点中任意两点所在直线的斜率都存在, 则k 的充 M A +k M B =0 要条件是 k . B A +k X Y =0 证明: 先证明椭圆和双曲线的情况. 设 M( x , y ) , C的方 0 0
2 2 程为 x / m +y / n=1 ( m , n 不同时为负) . 必要性: 设直线 A M 的方程为 y=k ( x-x )+y , 直线 0 0 B M 的方程为 y=-k ( x-x )+y . 令t =y x , 则2 y 0 0 0 -k 0 0- t=y x , 将A M的直线方程代入曲线 C的方程可得: ( n+ 0 +k 0 2 m ( t -n ) 2 2 2 m k ) x + 2 k m t x +m t -m n=0 , 则x x x A X = A +x X 2 , n+m k 2 ( ( 2 y ) -n ) m 2 k m t 0 -t =- , 同理可得 x x , x B Y = B +x Y = 2 2 n+m k n+m k 2 k m ( 2 y ) y y 0 -t A -y B X -y Y . 因为 k + , 故只需证 B A +k X Y = 2 x x n+m k A -x B X -x Y


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