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指数对数幂函数复习课件 (2)


指、对数,幂函数复习

概念
指数函数

y?a y?x

x

对数函数

幂函数

y ? log a x
α

a ? 0,a ? 1

? ?R

定义域和值域

>定义域 值域

y?a

x

R

(0,??)

y ? log a x (0,??)
y?x
α

R

与?的值有关

函数的图像与性质
y?a 0 ? a ?1 a ?1
x

y ? log a x

y ? xα
? ?0 ? ?0

0 ? a ?1

a ?1

(0,1)

(0,1)

(1,0)

(1,0)

(1,1),(0,0)

(1,1)

在R上是

在R上是

在R上是

在R上是

减函数

增函数

减函数

增函数

在(0,+∞) 在(0,+∞) 上是增函数 上是减函数

一、函数的定义域,值域
1.求下列函数的定义域

1 (1)y ? log2 (5x ? 3) (2) y ? log1 (5x ? 3)
2

3 4 4 ( , ) ? ( ,??) 5 5 5
3 4 ( , ] 5 5
3 ( ,2) ? (2,??) 2

3 (3) y ? log( x ?1) ( x ? ) 2 6 ? 5x ? x 2 ( 4) y ? lg( x ? 3)

(?3,?2) ? (?2,1]

2.求下列函数的值域
(1)y ? log2 ( x ? 3)

[3,??) (3) y ? log2 (3 ? x 2 ? 2x) (??,2]
(2) y ? log2 ( x 2 ? 8) 1 1 (4)已知x ? [?3, 2],求函数f ( x ) ? x ? x ? 1 4 2 的值域 x x (5)已知x ? [1,8],求函数g( x ) ? (log2 )(log2 ) 2 4 的值域

R

二、函数的单调性
3.已知函数y=(1-a)x在R上是减函数,则实数a的取 值范围是( B ) A (1, +∞) B (0,1) C (-∞,1) D (-1,1) 4. 已知不等式a2x>ax-1的解集为{x|x>-1},则实数a的 取值范围是( C ) A (0, 1) B (0,1)∪ (1, +∞) C (1,) D (0, +∞)

5.求下列函数的单调递增 区间 1 x 2 ? x?2 x 2 ? x ?2 (1)y ? 2 , (2) y ? ( ) 2 (3)y ? log2 ( x 2 ? x ? 2), (4) y ? log1 ( x 2 ? x ? 2)
2

复合函数单调性

x
u=g(x)

? u = g (x ) 增 增 增
分解

?y=f(u) 增 减 减 减 增 减
各自判断

减 减 增
复合

y=f(u)
y=f[g(x)]

定义域

6. 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则实数a 的取值范围是( B) A (0, 1) B (1,2) C (1,+∞) D (2, +∞)
令u ? 2 ? ax, 则y ? loga u

由于a ? 0,因此u ? 2 ? ax为定义域上的减函数, ? y ? loga u在定义域上为增函数, ?a ? 1
解法1

解法2

又?函数在 [0,1]上有意义, 2 函数的定义域为 (?? , ),?函数在[0,1]上有意义, a 2 2 ?[0,1] ? (?? , ), ?1 ? ,即a ? 2. a a 2 ?u ? 2 ? ax在[0, 1]上为减函数, ?umin ? u(1) ? 2 ? a ? 0 a ? a ? 2. 0 1

7.若函数y= -log2(x2-ax-a)在区间 (??,1 ? 3) 上是增 函数,则a的取值范围是 ( B )
A.[2 ? 2 3,2], B.[2 ? 2 3,2), C.(2 ? 2 3,2], D.(2- 2 3,2)
2 a a 设u ? x 2 ? ax ? a ? ( x ? ) 2 ? a ? 2 4 要使y在(??,1 ? 3 )上递增,只要使 : u在(-?,1 - 3 )上单调递减。

a ? ? 1? 3 ? ?? 2 2 ? ( 1 ? 3 ) ? a(1 ? 3 ) ? a ? 0 ?

解得2(1 ? 3 ) ? a ? 2, 故所求a的取值范围[2 - 2 3,2)。

8.证明:函数f ( x) ? lg( x ? 2 ? x )在定义域
2

上为单调增函数。
证明: ? x ? R时,x ? 2 ? x 2 ? x ? | x |? 0 ? f ( x)的定义域为R。
设x1 , x2 ? R , 且x1 ? x2 , 则 :
2 2 x1 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x2 ? 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? 2 ? x2 ? 2)

? ( x1 ? x2 ) ?
? ( x1 ? x2 )

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) x ?2? x ?2
2 1 2 2

? ( x1 ? x2 )[1 ?

( x1 ? x2 ) x ?2? x ?2
2 1 2 2

]

2 ( x12 ? 2 ? x1 ) ? ( x2 ? 2 ? x2 ) 2 x12 ? 2 ? x2 ?2

2 ? x1 ? x2 ? 0, x12 ? 2 ? x1 ? 0, x2 ? 2 ? x2 ? 0

? y ? lg x是增函数, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故f ( x)在R上是增函数。

? x1 ? x12 ? 2 ? x2 ? x12 ? 2

三、函数的奇偶性
4x ? b 10.设f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g ( x) ? 是奇函数, x 2 那么a ? b的值是 ( D ) 1 1 A. 1 B. -1 C. ? D. 2 2 11 .函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x 2 )是 ( A )
x

A.是奇函数,但不是偶函数 B. 是偶函数,但不是奇函数

C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数

ax ?1 12.已知函数 f ( x) ? x (a ? 0,a ? 1), f (1) ? 3 a ?1

(1)求f(x) 的表达式和定义域; (2)证明f(x)为奇函数。

2 13.已知函数f ( x) ? a ? x 是奇函数, 试求实数 2 ?1 a,并确定f ( x)的单调性。

2 14.已知函数F( x) ? (1 ? x ) f ( x)(x ? 0)是偶函数, 2 ?1 且f ( x)不恒为0,试确定f ( x)的奇偶性。

四、特有性质
指数函数y=ax 底大图高 对数函数y=logax 底大图底
y=log2x y=log3x
y ? log1 x
3

y ? log1 x
2

在y轴右侧指数函数的底 在直线x=1右侧,在x轴上下 数越大,其图像越在上 两侧,指数函数的底数越 大,其图像越在下方 方

15.如果loga 3 ? logb 3 ? 0, 那么a,b之间的关系是__________ b>a>1 .
1 1 解法一:不等式即为 ? ? 0, log3a log3b ? 0 ? log3a ? log3b,?1 ? a ? b.
y ? log a x y ? log b x
3

解法二:如图所示 ,?1 ? a ? b.

思考:如果log a 3 ? log b 3, 那么a, b之间的关系是 __________ .

如果log a 3 ? log b 3 ? 0, 那么 b>a>1 如果0 ? log a 3 ? log b 3, 那么 1>b>a>0 如果log a 3 ? 0 ? log b 3, 那么 a>1>b>0

16.已知函数y ? loga x在区间 [2, ? ?)上恒有| y |? 1成立, 求实数a的取值范围 .
若a>1, 则在区间[2,+∞)上, logax>1恒成立。 y ∴1<a<2。 若0<a<1, 则在区间[2,+∞)上, logax<-1恒成立。 1 ∴ <a<1。 2
1 1 1 -1 2 2 y

y=logax y=log2x

0 0

x x y ? log 1 x
2

y ? log a x

四、综合应用
( B ) 17. 已知f ( x) ?| loga x | (0 ? a ? 1),则下列各式中正确的是
?1? A. f ? ? ? f ?2? ? ? 3? ?1? C. f ?2? ? f ? ? ? ? 3? ?1? ?1? ?1? f ? ?, B. f ? ? ? f ? ? ? f ?2? ?4? ?4? ? 3? ?1? ?1? ?1? f ? ?, D. f ? ? ? f ?2? ? f ? ? ?4? ?4? ?4?

1

?1? ? f ?2? ? f ? ?,函数在(0,1)上单调递减, ?2? ?1? ?1? ?1? ?f? ?? f? ?? f? ? ?4? ? 3? ?2?

18.已知f ( x) ?| lg x |, 若0 ? a ? b ? c, 且f (a) ? f (c) ? f (b), 则下列不等式中正确的 是 (D )
A. (a-1)(c-1)>0 B. ac>1 C. ab=1 D.0<ac<1

a

c


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