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专题:同角三角函数的基本关系式与诱导公式


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满足要求,高于要求

专题:同角三角函数的基本关系式与诱导公式
知 识 梳 理
1. 角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的

集合是 S={β|β=k· 360° +α, k∈Z}. (3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角 的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角 不属于任何一个象限. 2. 弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,正角的弧度数是正数, 负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0. 180? π (2)角度制和弧度制的互化:180° =π rad,1° = rad,1 rad=? . ? π ?° 180 1 1 (3)扇形的弧长公式:l=|α|· r,扇形的面积公式:S= lr= |α|· r2. 2 2 3. 任意角的三角函数 y 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).三个 x 三角函数的初步性质如下表: 三角函数 sin α cos α tan α 4. 三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作 单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 定义域 R R π {α|α≠kπ+ , 2 k∈Z} 第一象限 符号 + + 第二象 限符号 + - 第三象 限符号 - - 第四象 限符号 - +









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(Ⅰ) 三角函数线

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线

5.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. 6.三角函数的诱导公式 一 角 正弦 余弦 正切 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π-α sinα -cosα -tanα 五 π 2-α cosα sinα 六 π 2+α cosα -sinα sin α (2)商数关系:cos α=tan α.

7.特殊角的三角函数值 角α 角 α 的弧 度数 sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0 120° 2π 3 3 2 1 -2 - 3 150° 5π 6 1 2 3 -2 3 -3 180° π 0 -1 0

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8.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β. cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β. tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

9.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

10.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β). (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = . 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1 -sin 2α= (sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2 ? π? ?. sin?α± ? 4? 11.函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ), b 其中 tan φ=a.

考点一

象限角与三角函数值的符号判断 ).

cos α 【例 1】 (1)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 (2)sin 2· cos 3· tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 ). B.大于 0 D.不存在 B.第二象限角 D.第四象限角

? 【训练 1】 设 θ 是第三象限角,且?cos ?

θ? θ θ =-cos 2,则2是( 2? ?

).

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A.第一象限 C.第三象限 考点二

B.第二象限 D.第四象限 三角函数定义的应用

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

3 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+cos α的值.

考点三

扇形弧长、面积公式的应用

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

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考点四

同角三角函数基本关系式的应用 2sin α-3cos α =___________, 4sin α-9cos α

【例 4】 (1)已知 tan α=2,则

4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ-sin θ 的值为________. 1 【训练 4】 (1)已知 sin α+cos α=5,0<α<π,则 tan α=______. (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________. 考点五 利用诱导公式化简三角函数式

【例 5】 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=________. (2) 设 f(α) = 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ? = (1 + 2sin α ≠ 0) , 则 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

________.

【训练 5】 (1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+tan(-1 089° )tan(- 540° )=________. 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 考点六 利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? 【例 6】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? 11π? ?7π ? 2 ? 【训练 6】 (1)已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? ? ?
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1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________. 考点七 三角函数式的化简、求值问题 ).

【例 7】 (1)(2013· 重庆卷)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 B. C. 3 cos2α-sin2α (2) =________. ?π ? ?π ? 2tan?4-α?cos2?4-α? ? ? ? ? 2+ 3 2

D.2 2-1

【训练 7】 (1)化简:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________. θ θ? ? ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? ? ? (2)化简: (0<θ<π)=____; 2+2cos θ

考点八

三角函数的给角求值与给值求角问题

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 8】 (1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β) ? ? ? ? 的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值.

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1 13 π 【训练 8】 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2, (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

考点九

三角变换的简单应用

1 ? ? ? π? ? π? 【例 9】 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· sin?x- ?. ? ? ? ? ? 4? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ? π π? (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ?

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? π? 【训练 9】 已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

教你审题——三角函数求值中的变角问题 π? 4 π? ? ? 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为 ? ? ? ? ________.

【自主体验】 π? 1 1 ? 已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α-β)的值为________. ? ?

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方法优化——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 10 【典例】 (2013· 浙江卷)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α 4 A.3 3 B.4 3 C.-4 4 D.-3 ( ).

【自主体验】 π? 4? (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为 ? ? ( 2 A. 3 ). 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3 基础巩固练习 一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 ). C.第三象限角 D.第四象限角

2.(2014· 汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆 心角的弧度数为( π A. 3 2π B. 3 ). C. 3 D. 2

2π 3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点, 则 Q 的坐标为( ? 1 3? A.?- , ? ? 2 2? ). ? 3 1? B.?- ,- ? 2? ? 2 ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2 ? 3 1? D.?- , ? ? 2 2? ).

3π 3π? ? 4. 已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上, 且 θ∈[0,2π), 则 θ 的值为( ? ? π A.4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

5.有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角;
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④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是( A.1 二、填空题 B.2 ). C.3 D.4

-x . x2+y2

6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边 2 5 上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______.

7.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的 4 纵坐标为5,则 cos α=____ .

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________.

基础巩固练习 2

一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 ). ).

29π 25π ? 29π? 2.(2014· 临川一中一调)sin 6 +cos?- 3 ?-tan 4 =( ? ? A.0 1 B.2 C.1 1 D.-2 ).

3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.± (sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2

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4.(2014· 石家庄模拟)已知 2 A.5 2 B.-5

sin α+3cos α =5,则 sin2 α-sin αcos α 的值是( 3cos α-sin α

).

C.-2 D.2

5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( π π ? ? ? ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? π? 1 7π? ? ? 7.已知 sin?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. ? ? ? ? π ?π ? 1 ?π ? 8. (2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?=3, 且-π<α<-2, 则 cos?12-α? ? ? ? ? =________. 三、解答题 9.化简: sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α? 5 B.3 4 C.5 5 D.4

).

1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.

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基础巩固练习 3 一、选择题 1.(2014· 郑州模拟)计算 cos 42° cos 18° -cos 48° sin 18° 的结果等于( ).

1 A.2

3 B. 3

2 C. 2

3 D. 2 ).

?π ? 1 2.(2013· 湖州模拟)已知 sin?2+α?=3,则 cos(π+2α)的值为( ? ? 7 A.-9 7 B.9 2 C.9 2 D.-3

?π ? 3 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x=( ? ? 18 A.25 7 B.25 7 C.-25 16 D.-25

).

3 ? 4 ? ?π ? 4.(2013· 成都模拟)已知 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,则 tan?4-α?等于( ? ? ? ? A.7 1 B.7 1 C.-7 D.-7

).

sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 5.(2013· 金华十校模拟)已知 tan?α+4?=-2,且2<α<π,则 π? 等于 ? ? ? sin?α-4? ? ? ( ). 3 5 B.- 10 2 5 C.- 5 3 10 D.- 10

2 5 A. 5

二、填空题 6.(2013· 湖南师大附中模拟)计算: 7.(2013· 南京模拟)设 f(x)= tan 12° - 3 =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3,则 + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

常数 a=________. π? π? 2 ? ? 8 . (2014· 广州模拟 ) 已知 cos4 α - sin4 α = 3 ,且 α ∈ ?0,2? ,则 cos ?2α+3? = ? ? ? ? ________.
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三、解答题 ? π? ?π ? 9.(2014· 浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?=5,求 f(2α)的值. ? ? ? ?

10.(2013· 东莞模拟)已知函数 f(x)=- 3sin2 x+sin xcos x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?=4- 2 ,求 sin α 的值. ? ?

能力提升 一、选择题 π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?等于( ? ? ? ? 13 A.18 13 B.22 3 C.22 1 D.6
13

).

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π? ? 2.(2013· 潍坊模拟)已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α 的最大 ? ? 值是( 1 A.4 3 B.4 ). 3 C.4 2 3 D.2

二、填空题 π? ? ?π ? 3.(2014· 永康模拟)若 sin?α+6?=3sin?2-α?,则 tan 2α=________. ? ? ? ?

三、解答题 π? ? 4.(2012· 广东卷)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 ? ? 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ?

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