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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分45 空间向量及其运算


开卷速查(四十五)
1.有下列 4 个命题:

空间向量及其运算

A 级 基础巩固练

①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; ②若 p 与 a、b 共面, 则 p=xa+yb; → =xMA → +yMB → ,则 P、M、A、B 共面; ③若MP → =xMA → +yMB →. ④若 P、M、A、B 共面,则MP 其中真命题的个数是( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析:①正确.②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb → 就不成立.③正确.④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则MP → +yMB → 不正确. =xMA 答案:B →· → +AC →· → +AD →· → =( 2.在空间四边形 ABCD 中,AB CD DB BC A.-1 C.1 B.0 D.不确定 )

→ ,AC → ,AD → 为基底, 解析:如图,选取不共面的向量AB

→· → -AC → )+AC →· → -AD → )+AD →· → -AB →) 则原式=AB (AD (AB (AC

→· → -AB →· → +AC →· → -AC →· → +AD →· → -AD →· → =0. =AB AD AC AB AD AC AB 答案:B → 、AD → 、AA → 两两的夹角 3.平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,向量AB 1 → |=1,|AD → |=2,|AA → |=3,则|AC → |等于( 均为 60° ,且|AB 1 1 A.5 C.4 B.6 D.8 )

→ =a,AD → =b,AA → =c,则AC → =a+b+c,AC → 2=a2+ 解析:设AB 1 1 1 → |=5. b2+c2+2a· b+2b· c+2c· a=25,因此|AC 1 答案:A → → +2yBC →- ′=xAB 4.平行六面体 ABCDA′B′C′D′中,若AC → ′,则 x+y+z=( 3zCC A.1 5 C.6 → → +CC → 解析:AC ′=AC ′ → +AB → +CC → =AD ′ → +BC → +CC → =AB ′ → +2yBC → -3zCC → =xAB ′, 1 1 故 x=1,y=2,z=-3, 1 1 7 ∴x+y+z=1+2-3=6. 答案:B →· → =0, →· → 5. 若 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点, 且满足AB AC AC AD ) 7 B.6 2 D.3

→· → =0,M 为 BC 中点,则△AMD 是( =0,AB AD A.钝角三角形 C.直角三角形

)

B.锐角三角形 D.不确定

→ =1(AB → +AC → ). 解析:∵M 为 BC 中点,∴AM 2 →· → =1(AB → +AC → )· → ∴AM AD AD 2 1→ → 1→ → =2AB · AD+2AC· AD =0. ∴AM⊥AD,△AMD 为直角三角形. 答案:C → =(1,5,-2),BC → =(3,1,z),若AB → ⊥BC → ,BP → =(x-1, 6.已知AB y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( 33 15 A. 7 ,- 7 ,4 40 C. 7 ,-2,4 40 15 B. 7 ,- 7 ,4 40 D.4, 7 ,-15 )

→ ⊥BC → ,∴AB →· → =0, 解析:∵AB BC 即 3+5-2z=0,得 z=4. 又 BP⊥平面 ABC, → =(3,1,4), ∴BP⊥AB,BP⊥BC,BC
? ??x-1?+5y+6=0, 则? ?3?x-1?+y-12=0, ?

40 ? x = ? 7, 解得? 15 ? y =- ? 7.

答案:B 7.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值

8 为9,则 λ=__________. 2-λ+4 8 a· b 解析:由已知得9= = , |a||b| 5+λ2· 9 2 ∴8 5+λ2=3(6-λ),解得 λ=-2 或 λ=55. 2 答案:-2 或55 8 .已知 a = (1 - t,1 - t , t) , b = (2 , t , t) ,则 |b - a| 的最小值为 __________. 解析:b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= ?1+t?2+?2t-1?2=
? 1? 9 5?t-5?2+5, ? ?

1 3 5 ∴当 t=5时,|b-a|取得最小值 5 . 3 5 答案: 5

9.如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E 为 AD → =λ(AB → +DC → ),则 λ=________. 的中点,若EF 解析:如图所示,取 AC 的中点 G, 连接 EG、GF,

→ =EG → +GF → =1(AB → +DC → ), 则EF 2 1 ∴λ=2. 1 答案:2

10. 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1,G,C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D. → =CB → +BA → +AA → =CB → +CD → +CC →, 证明:(1)CA 1 1 1 → =1(CB → +CD → +CC → )=1CA → 可以证明:CG 1 3 3 1, → ∥CA → ,即 A ,G,C 三点共线. ∴CG 1 1 → =a,CD → =b,CC → =c,则|a|=|b|=|c|=a, (2)设CB 1 且 a· b=b· c=c· a=0,

→ =a+b+c,BC → =c-a, ∵CA 1 1 →· → ∴CA (c-a)=c2-a2=0, 1 BC1=(a+b+c)· → ⊥BC → ,即 CA ⊥BC , 因此CA 1 1 1 1 同理 CA1⊥BD, 又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两相交直线, 故 A1C⊥平面 BC1D. B级 能力提升练

→ 上且AM → =1 11.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC 1 2 → ,N 为 B B 的中点,则|MN → |为( MC 1 1 21 A. 6 a 15 C. 6 a ) 6 B. 6 a 15 D. 3 a

解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a), a? ? N?a,a,2?.设 M(x,y,z).
? ?

→ 上且AM → =1MC → ∵点 M 在AC 1 2 1, 1 ∴(x-a,y,z)=2(-x,a-y,a-z),

?2a a a? 2 a a ∴x=3a,y=3,z=3,得 M? 3 ,3,3?, ? ?

→ |= ∴|MN 21 = 6 a. 答案:A

2 ? ? a? ?a a? ? ?a- a?2+?a- ?2+? - ?2 3 ? ? 3? ?2 3? ?

12.[2015· 衡水模拟]如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原 点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是? 且∠BDC=90° ,∠DCB=30° . → 的坐标; (1)求向量OD → 和BC → 的夹角为 θ,求 cosθ 的值. (2)设向量AD 解析:(1)如图所示,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,
? 3 1 ? ?,点 D 在平面 yOz 上, , , 0 2 ? ? 2

在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90° , ∠DCB=30° ,BC=2,得 BD=1,CD= 3. 3 所以 DE=CD· sin30° =2,

1 1 OE=OB-BD· cos60° =1-2=2.
? 1 3? 所以 D 点坐标为?0,- , ?, 2 2? ?

1 3? → 的坐标为? ?0,- , ?. 即向量OD 2 2? ? 3 1 ? → → =? → =(0,1,0). ? , ,0?,OB (2)依题意知,OA =(0,-1,0),OC 2 ? ? 2 3 3? → =OD → -OA → =? ?- ,-1, ?, 所以AD 2 2? ? → =OC → -OB → =(0,2,0). BC →· → AD BC 则 cosθ= → ||BC →| |AD
? 3 3? ?- ?×0+?-1?×2+ ×0 2 2? ? ? ? 3? 3? ?- ?2+?-1?2+? ?2· 02+22+02 2? ? ?2 ?





-2 10 =- 5 . 10

13.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E、F 分别 是棱 AB、BC 上的动点,且 AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点 建立空间直角坐标系 O-xyz.

(1)写出点 E、F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; 1 → → → (3)若 A1、E、F、C1 四点共面,求证:A 1F= A1C1+A1E. 2 解析:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a), → → ∴A 1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a),
2 → → ∴A C 1F· 1E=-ax+a(x-a)+a =0,

→ → ∴A 1F⊥C1E,∴A1F⊥C1E. (3)证明:∵A1、E、F、C1 四点共面, → → → ∴A 1E、A1C1、A1F共面. → → → 选A 1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使A1F= → λ1A→ 1C1+λ2A1E, 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)=(-aλ1,aλ1+xλ2, -aλ2), -x=-aλ1, ? ? ∴?a=aλ1+xλ2, ? ?-a=-aλ2, 1 解得 λ1=2,λ2=1.

1 → → → 于是A 1F= A1C1+A1E. 2


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