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2016版步步高考前三个月复习数学理科(鲁、京、津专用) 第三篇 回扣4


第三篇 考点回扣

回扣4 数 列

知识方法回顾 易错易忘提醒

知识方法回顾

1.等差数列的有关公式与性质 (1)定义式:an+1-an=d (n∈N*,d为常数). (2)通项公式:an=a1+(n-1)d. n?a1+an? n?n-1? (3)前 n 项和公式:Sn= =na1+ d.

2 2 (4)等差中项:2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2,an≠0).

an-am (5)性质:①an=am+(n-m)d,d= (n,m∈N*,n≠m); n-m ②若 m + n= p + q =2k ,则 am + an = ap +aq= 2ak(m,n , p ,

q,k∈N*); ③若等差数列 {an}的前 n项和为 Sn ,则 Sn , S2n- Sn, S3n-

S2n,?也成等差数列.

2.等比数列的有关公式与性质 an+1 (1)定义式: a =q (n∈N*,q 为非零常数). n (2)通项公式:an=a1qn-1.
?na1,q=1, ? n (3)前 n 项和公式:Sn=?a1?1-q ? a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q
* (4)等比中项:a2 = a a ( n ∈ N ,n≥2,an≠0). n n-1 n+1

(5)性质:①an=amq

n-m

,q

n -m

an = (n,m∈N*). am

②若 m+n=p+q=2k,则 am· an=ap· aq=a2 k (m,n,p,q, k∈N*).

③若等比数列{an} (公比q≠-1)的前n项和为Sn,则Sn,

S2n-Sn,S3n-S2n,?也成等比数列.

3.数列的通项公式的求法

(1)公式法:
①等差数列通项公式;

②等比数列通项公式.
?S1,n=1, (2)已知 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2.

(3)递推关系形如an+1-an=f(n),常用累加法求通项公式. (4)递推关系形如 an+1=f(n),常用累乘法求通项公式. an

(5) 递推关系形如 “an + 1 = pan + q(p 、 q 是常数,且 p≠1 , q≠0)”的数列求通项公式,常用待定系数法,可设an+1+λ =p(an+λ),经过比较,求得λ,则数列{an+λ}是一个等比 数列. (6)递推关系形如 “an+1=pan+qn (q,p为常数,且p≠1, q≠0)”的数列求通项公式,可以将关系式两边同除以 qn转 化为类型(5),或同除以pn+1用累加法求解.

4.数列求和的常见类型及方法 (1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和. (2)形如{an· bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数 列,利用错位相减法求和.
c (其中a,b1,b2,c为 ?an+b1??an+b2? 常数)用裂项相消法求和.

(3)通项公式形如an=

(4)通项公式形如an=(-1)n· n 或 a n = a· (-1)n(其中a为常数, n∈N*) 等正负项交叉的数列求和一般用并项法 . 并项时应 注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. (5) 分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成 cn =an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是 等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求Sn.

易错易忘提醒

1.判断一个数列是不是等比数列时,不可忽视对公比 q是

否为1的讨论.
* 2.a 2 n =an-1an+1 (n≥2,n∈N )是{an}为等比数列的必要而

不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注
意各项不为0.

3.解决等差数列{an}前 n 项和问题常用的有三个公式 Sn= n?a1+an? n?n-1? 2 ; S = na + d ; S = An +Bn(A,B 为常数), n 1 n 2 2 灵活地选用公式,解决问题更便捷.

4.若数列{an}的前n项和Sn=A· qn+B ,且A+B=0 ,A≠0,
则该数列一定为等比数列.

5.求等比数列前n项和时,一定要先讨论公比q是否为1,然
后选用相应的公式.

6.等差、等比数列的性质可类比掌握,注意不要混淆. 7. 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =
?S1,n=1, ? 当 n=1 时, a1 若适合 Sn-Sn-1, 则 n=1 ?Sn-Sn-1,n≥2,

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn -Sn-1,则用分段函数的形式表示.

8.利用错位相减法求和时,要通过前面几项寻找规律,并且 不要漏掉减数式的最后一项,注意符号. 9.公比为字母的等比数列求和时要注意讨论. 10.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等, ? 1 1 1 1 1 1 1? ? - 如 ≠n- ,而是 =2? ?n n+2?. n?n+2? n+2 n?n+2? ? ? 11.通项中含有(-1)n的数列求和时,要把结果写成分n为奇 数和n为偶数两种情况的分段形式.

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