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2013年数学高考总复习重点精品课件: 线面、面面平行的判定与性质 88张


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章

立体几何

第九章

立体几何

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/>
第九章
第四节 线 、 面 行 判 与 质 面 面 平 的 定 性

第九章

立体几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第九章

第四节

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基础梳理导学

第九章

第四节

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重点难点

引领方向

重点:线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用. 难点:定理的灵活运用.

第九章

第四节

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夯实基础

稳固根基

一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)用定义:直线与平面无公共点. a?α b?α a∥b ? ? ??a∥α. ? ?
? ? ??a∥α. ? ?

(2)判定定理:

α∥β (3)其他方法: a?β

第九章

第四节

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2. 质 理 性定:

a∥α a?β α∩β=b

? ? ??a∥b. ? ?

第九章

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二平与面行 、面平平 1. 定 法 判方 () 用 义 两 平 无 共 1 定:个面公点 a∥β ? ? ? b∥β ? a?α ??α∥β. ? b?α ? a∩b=P? ?

() 判 定 : 2 定理

第九章

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() 其 方 : 3 他法 a⊥α? α∥γ? ? ? ?? α∥β ; ?? α∥β a⊥β? β∥γ? ? ? a∥b ? ? c∥d ? a,c?α ? ??α∥β. b,d?β ? a∩c=A ? ? b∩d=B? .

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2. 质 理 性定: α∥β ? ? γ∩α=a?? a∥b γ∩β=b? ?

.

3. 条 线 三 平 平 所 , 得 段 应 比 . 两 直 被 个 行 面 截截 线 对 成 例

第九章

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疑误 难区

点警 拨示

1. 用 面 行 面 平 的 定 理 性 定 时 应线平、面行判定与质理, 条 不 或 件 结 不 是 见 错 , 决 方 是 件 足 条 与 论 符 常 的 误 解 的 法 弄 清 线 线 、 面 行 系 每 个 理 条 和 论 线 、 面 面 平 关 的 一 定 的 件 结 , 明 这 定 是 什 用 , 备 么 件 能 . 中 确 个 理 干 么 的 具 什 条 才 用 其 线 面行性定是心 平的质理核 ,题 , 证 时找 (或 )出 过 知 线 作 经已直

与知面交平是题关,外证平关 已平相的面解的键另在明行系

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时常错是 ,见误

() “两 直 没 公 点 平 1 条线有共则行

”;() “垂 2

直 同 条 线 两 线 行 于 一 直 的 直 平

”, 恰 的 平 几 中 不 当 把 面 何 的

一 结 迁 到 体 何 来 解 的 键 先 明 们 些 论 移 立 几 中 , 决 关 是 说 它 在 同个面. 一平内

第九章

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2. 意 清 注弄 等量词的含义.

“任意”、“所有”、“无数”、“存在”

3.注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时, 不 两 面 的 意 线 必 找 作 第 个 面 两 是 平 内 任 直 , 须 或 出 三 平 与 个 平面都相交,则交线平行. 应用二面平行的判定定理时,两条相交直线的“相交” 二字决不可忽视. 4.要注意符合某条件的图形是否唯一,有无其他情形.

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思想方法技巧

第九章

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一转的想 、化思 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转 化 :
判定

判 定 判 定 线平 线 行 ?? 线 平 ?? 面 行 ? ? 面 平 . ?? 面 行 性 质 性 质
性质

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二解技 、题巧 要能够灵活作出辅助线、面来解题,作辅助线、面一定 要某定为论据 以一理理依.

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考点典例讲练

第九章

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直线与平面、平面与平面位置关系的判断

[例 1]

已知 m、 是 同 直 n 不的线

, β是 重 的 α、 不 合

平面,

给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平 于 面 行平 α 内的任意一条直线

②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n ③若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β ④若 α∥β,m?α,则 m∥β 上面命题中,真 题 序 是 命的号 题的序号)
第九章 第四节

________.(写出所有真命

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解析: m∥α, m 平行于过 m 作平面与 α 相交的交线, 若 则 并非 α 内任一条直线,故①错; 若 α∥β,m?α,n?β, 可 则能 故②错; m⊥α? ? ? m∥n? ? ?n⊥α? ? ? n⊥β ? ? ?α∥β ,③正确; m∥n, 可 也能 m、n 异面,

α∥β ? ? ??m∥β,④正确. m?α? ?
答案:③④
第九章 第四节

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点评:解 这 问 首 要 悉 面 置 系 各 定 决 类 题 先 熟 线 位 关 的 个 理如 是 项 择则 以 中 选 熟 最 易 出 断 ,果 单 选 ,可 从 先 最 悉 容 作 判 的选项先确定或排除, 再逐步考察其余选项. 要特别注意定理 所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形等.

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(文)设 m,l 是 条 同 直 两不的线 正的 确是 ( )

,α 是 个 面 一平

,则 列 题 下命

A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m

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解析: 两条平行线中一条垂直于一个平面, 则另一条也垂 直于这个平面,故选 B.
答案:B

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(理)(21· 安徽淮南一模)给出命题: 01 (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l、m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m, 则 m⊥α; (3)已知 α、β 表 两 不 平 示个同面 ,m 为平面 α 内的一条直

线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;

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(4)a、b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作 一个平面与 a、b 之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

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解析:() 错;() 正确;() “α⊥β”是“m⊥β”的必要不充 1 2 3 分件该题误 条,命错; () 只有异面直线 a、b 垂直时才可以作出 4

满足要求的平面,故该命题错误.

答案:B

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线面平行的判定
[例 2] (文)在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且

E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证:

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() 直 EF∥平 A D ; 1 线 面 C () 平 EFC⊥平 B D . 2 面 面 C

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证明:(1)在△ABD 中 因 ,为 点,所以 EF∥AD.

E、F 分别是 AB、BD 的中

又 AD?平面 A D ,EF?平面 A D , C C 所以直线 EF∥平面 A D . C

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(2)在△ABD 中 因 ,为

AD⊥BD,EF∥AD, 以 EF⊥BD. 所 CF

在△B D 中,因为 CD=CB,F 为 BD 的 点 所 C 中,以 ⊥BD.

因为 EF?平面 EFC, CF?平面 EFC, 与 CF 交于点 F, EF 所以 BD⊥平面 EFC. 又因为 BD?平面 B D ,所以平面 EFC⊥平面 B D . C C

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(理)如图,正方形 AC BD

和四边形 A E CF

所在平面互相垂

直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1.

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(1)求证:AF∥平面 B E ; D (2)求证:CF⊥平面 B E . D

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(文)如 是 个 数 值 程 框 , 满 该 序 函 图某函求的序图则足程的数 解析式为________.

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证明:() 设 AC∩BD=G, 正 形 1 在方 ∴AC=2,

AC BD

中,AB= 2,

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1 又∵EF=1,AG= AC=1,又∵EF∥AG, 2 ∴四边形 A E GF 为平行四边形,∴AF∥EG,

∵EG?平面 B E ,AF?平面 B E , D D ∴AF∥平面 B E . D

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(2)连 FG. 接 ∵EF∥CG,EF=CG=1 且 CE=1, ∴四边形 CEFG 为菱形,∴EG⊥CF. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. 又∵平面 ACEF⊥平面 ABCD 且平面 ACEF∩平面 ABCD =AC,∴BD⊥平面 ACEF,∴CF⊥BD. 又∵BD∩EG=G,∴CF⊥平面 BDE.

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如图, 在正方体 AC -A1B1C1D1 中, 为 面 AC BD O 底 BD



中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,当点 Q 在什么 位置时,平面 D1BQ∥平面 PO ? A

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解析:当 Q 为 CC1 的 点 , 面 中时平

D1BQ∥平面 PO . A

∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,

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∴PD 綊 CQ,∴PQ 綊 DC,

又 DC 綊 AB,∴PQ 綊 AB,

即 AQ BP

为行边, 平四形

∴QB∥PA.连 DB. 接 ∵P、O 分 为 DD1、DB 的 点 别 中, ∴D1B∥PO.

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又 D1B?平面 PO , A QB?平面 PO , A ∴D1B∥平面 PO ,QB∥平面 PO , A A 又 D1B∩QB=B,∴平面 D1BQ∥平面 PO . A

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面面平行的判定

[例 3]

在四柱 直棱

AC -A1B1C1D1 中,AA1=2,底面 BD

是边长为 1 的正方形,E、F、G 分别是棱 B1B、D1D、DA 的 中点.

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(1)求证:平面 AD1E∥平面 B F ; G (2)求证:D1E⊥平面 AEC.

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证 : (1)∵E、F 分 是 明 别棱

BB1、DD1 的 点 中, . 1E∥BF. ∴D

∴BE 綊 D1F.∴四 形 BED1F 为 行 边 边 平四形

又 D1E?平 AD1E,BF?平 AD1E, 面 面 ∴BF∥平 AD1E. 面 又 G 是 DA 的 点 棱 中 , ∴GF∥AD1. 又 AD1?平 AD1E,GF?平 AD1E, 面 面 ∴GF∥平 AD1E. 面 又 BF∩GF=F,∴平 AD1E∥平 B F . 面 面 G
第九章 第四节

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(2)∵AA1=2,∴AD1= A1A2+A1D2= 5. 1
2 同理,AE= 2,D1E= 3.∴AD1=D1E2+AE2.∴D1E⊥AE.

∵AC⊥BD,AC⊥D1D,∴AC⊥平面 B D 1B1. D 又 D1E?平面 B D 1B1,∴AC⊥D1E. D 又 AC∩AE=A,∴D1E⊥平面 AEC.

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(文)(21· 济南调研)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、 01 γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β )

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解析:

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由正方体交于同一顶点的三个面知 A 错;如图 α∩β=l, m?α,n?β,m∥l,n∥l,知 B 错 正 体 ;方 中平 ,面 AC -A1B1C1D1 BD

A D 1A1⊥平面 AC ,AA1⊥平面 AC ,但 AA1? D BD BD ? m∥n? ? ??n⊥α? m⊥α? ? ??α∥β, D 正确. 故 ? n⊥β ?

平面 A D 1A1, C 错; D 故

答案:D

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(理)01 ( 1· 2 ( )

海 调 口 研 )平面 α∥平面 β 的 个 分 件 一 充 条 是

A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a、b,a?α、b?β、a∥β、b∥α D.存在两条异面直线 a、b,a?α、b?β、a∥β、b∥α

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解析:在正方形 AC -A1B1C1D1 中,取 AC BD BD

为 α,

A D 1A1 为 β,B1C1 为 线 a,可知 A 错;如图() ,α∩β=l, D 直 1 a?α,a∥l, 知 足 可满 B的 件故 条, B错如 ; 图 () ,α∩β=l, 2

a?α,b?β,a∥l,b∥l,满足 a∥β,b∥α,故 C 错 由 面 ;面 平行的判定定理知 D 正确.

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答案:D

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线面、面面平行的性质

[例 4]

用行四体 平于面

AC BD

一组对棱 AB、CD 的平

面截此四面体(如图)

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() 求证:所得截面 M P 1 NQ

是平行四边形; MP NQ 的长定; 周为值 MP NQ

() 如果 AB=CD=a.求 : 边 2 证四形

() 如果 AB=a, 3 CD=b, AB、 成 θ 角 求 边 CD .四 形 面积的最大值,并确定此时点 M 的位置.

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分析:) 由 AB∥平面 M P ( 1 NQ

及线面平行的性质定理得到 得到另一组对边平

四边形一组对边平行, CD∥平面 M P 由 NQ 行.

() 由平行得到比例关系,将四边形 M P 2 NQ 用 AB(CD)表达出来.

的邻的 两边和

() 利用正弦定理将四边形面积用两邻边表示,设四边形 3 一个顶点(如 M)到四面体的 M 所 棱 端 的 离 在的点距为 =x),将面积表达为 x 的函数求极值. x(如 AM

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解析:(1)证明:∵AB∥平面 M P . NQ 平面 ABC∩平面 M P =MN.且 AB?平面 ABC. NQ

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∴由线面平行的性质定理知, AB∥MN.同理可得 PQ∥AB. ∴由平行公理可知 MN∥PQ.同理可得 MQ∥NP. ∴截面四边形 M P NQ 为平行四边形.

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MN MC () ∵由() 可知 MN∥AB.∴ = 2 1 . AB AC AB-MN AC-MC AM 从而有 AB = AC = AC . AB-MN MQ AM MQ 又∵MQ∥CD,∴ AC = CD .从而有 AB = CD . 又∵AB=CD=a,∴MN+MQ=a. ∴平行四边形 M P NQ 的周长为 2(MN+MQ)=2a 定值.

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() 设 AC=c,AM=x.由(1)得: 3 MN c-x MQ x = , = , a c b c ab ∴S?MNPQ=MN· sinθ= c2 x(c-x)· MQ· sinθ ab ?x+?c-x??2 1 ? ? ≤ 2· sinθ= ab· sinθ, ? · c ? 4 2 ? ? c 此时 x=2,点 M 为 AC 中点.

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(02 21·

南市研 通调

)已 直 知线

l⊥平 α, 线 m?平 β, 面 直 面

给下命: 出列题

①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β; ____ ____ .

④l⊥m?α∥β.其 正 命 的 号 中确题序是

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? 解析:l⊥α? ? ??l⊥β? ? α∥β ??l⊥m,故①真; ? ? m?β ? ? l⊥α ? ? ??l∥β或l?β? α⊥β? ??/ l∥m,故②假; ? ? m?β ? ? l⊥α ? ? ??m⊥α? l∥m? ??α⊥β,故③真; ? ? m?β ?
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? l⊥α ? ? ??m∥α或m?α? l⊥m? ??/ α∥β,故④假. ? ? m?β ?

答案:①③

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探索性问题

[例 5]

如,棱 图四锥

P-AC BD

中,PA⊥平面 AC , BD

PA=AB,底面 AC BD 1 PA=BC=2AD.

为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,

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() 求证:平面 PC ⊥平面 P D ; 1 A C () 在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PB ?若存 2 A 在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.

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解析:(1)证明:设 PA=1, 1 由题意 PA=BC=1, AD=2, AB=1, BC=2AD, 由∠ABC =∠BAD=90° ,易知 CD=AC= 2, 由勾股定理得 AC⊥CD, 又∵PA⊥平面 AC ,CD?平面 AC , BD BD ∴PA⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PC , A 又 CD?平面 P D ,∴平面 PC ⊥平面 P D . C A C

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() 作 CF∥AB 交 AD 于 F,作 EF∥AP 交 PD 于 E,连接 2 CE, ∵CF∥AB,EF∥PA,CF∩EF=F,PA∩AB=A,

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∴平面 EFC∥平面 PB , A 又 CE 在平面 EFC 内,CE∥平面 PB , A 1 ∵BC=2AD,AF=BC,∴F 为 AD 的中点, ∴E 为 PD 中 , 棱 点故 使 CE∥平面 APB. PD 上存在点 E,且 E 为 PD 中点,

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(文)02 ( 1· 2 AC BD

延 州 检 边 质

)如 , 棱 图 四 锥

P-AC BD

的底面

为 角 形其 直 梯 ,中

BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,

PA⊥底面 AC BD

,E 是 PC 的中点.

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() 求证:BE∥平面 PD ; 1 A () 若 AP=2AB, 证 2 求 : BE⊥平面 P D . C

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解析:(1)证明:取 PD 的中点 F,连接 AF,FE, 又∵E 是 PC 的中点,

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DC ∴在△P C 中,EF∥DC,且 EF= , D 2 DC 由条件知 AB∥DC,且 AB= 2 ,∴EF 綊 AB, ∴四边形 ABEF 为平行四边形,∴BE∥AF, 又 AF?平面 PD ,BE?平面 PD ,∴BE∥平面 PD . A A A

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() 由() FE∥DC,BE∥AF, 2 1 又∵DC⊥AD,DC⊥PA, ∴DC⊥平面 PD ,∴DC⊥AF, A 在 Rt△PD 中, A ∵AD=AP, 为 PD 的 点 ∴AF⊥PD, F 中, 又 PD∩DC=D,∴AF⊥平面 P C , D 又 BE∥AF,∴BE⊥平面 P C . D

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(理)02 ( 1· 2

广佛市检 东山二

)如 所 , 棱 图示四锥 AC BD

P-AC BD

中,PA⊥底面 AC , 边 BD 四形 PA=AB=BC=2,AD=4.

中,AB⊥AD,BC∥AD,

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() 求四棱锥 P-AC 1 BD

的体积;

() 求证:CD⊥平面 PC ; 2 A (3 在棱 PC 上 否 在 ) 是存点 M(异于点 C), 得 使 BM∥平面

PM PD ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由. A PC

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解析:() 显然四边形 AC 1 BD ∴SAD B C

是直角梯形,

1 1 =2(BC+AD)×AB=2×(2+4 ×2=6, )

又 PA⊥底面 AC , BD ∴VP-AD B C 1 1 =3SAD · PA=3×6×2=4 . B C

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() 证明:∵PA⊥平面 AC ,CD?平面 AC , 2 BD BD ∴PA⊥CD, 在直角梯形 AC BD 中,AC= AB2+BC2=2 2,

CD=2 2,∴AC2+CD2=AD2, ∴AC⊥CD, 又∵PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PC . A

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() 不存在,下面用反证法进行证明. 3 假设存在点 M(异于点 C)使得 BM∥平面 PAD. ∵BC∥AD,且 BC?平面 PAD, AD?平面 PAD, ∴BC∥平面 PAD, 又∵BC∩BM=B, ∴平面 PBC∥平面 PAD, 而平面 PBC 与平面 PAD 相交, 得出矛盾.故不存在这样的点 M.
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课堂巩固训练

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一、解答题 1.(01 21· 山东济南一模)如图,在正方体 AC -A1B1C1D1 BD

中,M、N、P 分别为所在棱的中点,O 为面对角线 A1C1 的中 点.

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() 求证:平面 M P ∥平面 A1C1B; 1 N () 求证:MO⊥平面 A1C1B. 2

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[证明]

() 连接 D1C, 1

∵MN 为△DD1C 的 位 , 中线 ∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B. 同理 MP∥C1B. MN 与 MP 相交,MN,MP?平面 M P ,A1B,C1B?平 N 面 A1C1B, ∴平面 M P ∥平面 A1C1B. N

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() 连接 C1M 和 A1M, 正 体 棱 为 2 设方的长 ∵AC -A1B1C1D1 是 方 , BD 正体

a,

∴C1M=A1M.

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又∵O 为 A1C1 的 点 中 , ∴A1C1⊥MO. 连接 BO 和 BM, 三 形 在角 B O 中, M

6 3 3 经计算知:OB= 2 a,MO= 2 a,BM=2a, ∴OB2+MO2=MB2,即 BO⊥MO. 而 A1C1、BO?平面 A1C1B,∴MO⊥平面 A1C1B.

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2.如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE= EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 A E . C

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() 求三棱锥 D-AEC 的体积; 1 () 设 M 在 段 AB 上 且 足 2 线 ,满 AM=2MB, 在 段 试线 CE

上的确定一点 N,使得 MN∥平面 DE . A

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解析:() ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, 1 ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. ∵BF⊥平面 A E ,则 AE⊥BF, C ∵BC∩BF=B,且 BC、BF?平面 B E , C ∴AE⊥平面 B E ,又 BE?平面 B E ,∴AE⊥BE. C C ∴AB= AE2+BE2=2 2, S△AC D 1 1 = ×AD×DC= ×BC×AB 2 2

1 =2×2×2 2=2 2,
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过 E 作 EH⊥AB 于 H,则 EH⊥平面 ABC,在 Rt△AEB AE· EB 中得 EH= AB = 2. VD-AEC=VE-AC D 1 4 =3×2 2× 2=3.

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() 在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点在 2 , 三角形 BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连接 MN, 则 1 由比例关系易得 CN=3CE. ∵MG∥AE,MG?平面 A E ,AE?平面 A E ,∴MG∥平 D D 面 A E ,同理,GN∥平面 A E ,∴平面 M N ∥平面 A E . D D G D 又 MN?平面 M N ,∴MN∥平面 A E . G D ∴N 点为线段 CE 上 近 C 点的一个三等分点. 靠

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